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1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(二)y=ax2y=ax2+k y=a(x-h)2y=a(x-h)2 +k上下平移上下平移|k|个单位个单位左右平移左右平移|h|个单位个单位上上下下平平移移|k|个个单单位位左左右右平平移移|h|个个单单位位结论结论:一般地，抛物线一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与与y=ax2形状相同，位置不同形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系ya(x-)2a0a0图象平移规律左加右减左加右减x，上加小减，上加小减y对称轴顶点及最值当当最小值k当当最大值k增减性二次函数y=a(x-h)2+k的性质直线直线当xh,左减，当xh，右
2、增当xh,左增，当xh，右减(,k)解解:所以所以,顶点坐标是顶点坐标是(-3,2),(-3,2),对称轴是对称轴是x=-3x=-321 1 2 3 x0-5 -4 -3 -2 -1-4-3-2-1y1.5 0 -2.52 2-2.5 0 1.5注意：注意：列表时自变量列表时自变量取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。用用“五点法五点法”画二次函数的图象：画二次函数的图象：1：用配方法或公式法求出：用配方法或公式法求出顶点顶点坐标，对称坐标，对称轴和确定开口方向。轴和确定开口方向。2：利用抛物线的对称：利用抛物线的对称性写出抛物线和性写出抛物线和y轴的交点及该点的对称点轴的交点及该点的对称点的坐
3、标。的坐标。3:令令y=0，解方程，解方程 求出与求出与x轴的两交点坐标轴的两交点坐标，若无交点，则任，若无交点，则任意找意找一对对称点一对对称点。4：列表，描点，连线，画出图象。：列表，描点，连线，画出图象。例例.已知已知 .(1)(1)写出抛物线的开口方向写出抛物线的开口方向,顶点坐标顶点坐标,对称对称轴轴,最值最值;(2)(2)求抛物线与求抛物线与x x轴轴,y,y轴的交点坐标轴的交点坐标;(3)(3)作出函数的草图作出函数的草图;(4)(4)观察图象观察图象:x:x为何值时为何值时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大;x x为何值时为何值时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减
4、小;(5)(5)观察图象观察图象:当当x x何值时何值时,y,y0;0;当当x x何值时何值时,y=0;y=0;当当x x何值时何值时,y,y0.0.二次函数解析式常见设法二次函数解析式常见设法8:顶点式（交点式）顶点式（交点式）已知抛物线与已知抛物线与x轴两交点坐标（轴两交点坐标（x1，0）（）（x2，0），可设交点式可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)例例1:已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）,求解析式 解：由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，设解析式为y=a(x-1)(x-3),过（0，-3），a(0-1)(0-3)=-3,a=-1 y=-(x-1)(x-3),
5、即y=-x2+4x-3例例2、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，y0。yOx(3)、求它的解析式和顶点坐标；、求它的解析式和顶点坐标；例例3、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x
6、+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即：y=-2x2+4x根据函数性质求函数解析式根据函数性质求函数解析式例例4：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
7、（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232二次函数综合应用二次函数综合应用例例4：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:（1）a=0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标
8、，顶点坐标M（-1，-2）121212例例4：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:(2)由由x=0，得，得y=-抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，-）由由y=0，得，得x2+x-=0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）3
9、2323212例例4：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0 xy(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2例例4：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对
10、称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2yxD：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的面积的面积=ABMD=42=41212例例4：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物
11、线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，为何值时，y随的增大而减小，随的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解解解0 xx=-1(0,-)(-3,0)(1,0)3 2:(5)(-1,-2)当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2当当x-1时，时，y随随x的增大的增大而减小而减小;例例4：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，为何值时，y0？1232解解:0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知由图象可知(6)当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0谢谢观赏