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1、二次根式二次根式全章复习全章复习二次根式的定义二次根式的定义:二次根式的性质二次根式的性质:a (aa (a 0)0)-a (a-a (a0)0)=a a 第二节课学习了二次根式的乘法和一种化简方法a0,b01.将被开方数尽可能分解成几个平方数将被开方数尽可能分解成几个平方数。2.应用应用化简二次根式的步骤：根式运算的结果中，被开方数应不含能开得根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。尽方的因数或因式。运算的结果应该是最简二次根式或整式。运算的结果应该是最简二次根式或整式。3.将平方项应用将平方项应用 化简化简.二次根式的除法公式：二次根式的除法公式：二二 次次 根根 式式三个
2、概念两个性质两个公式四种运算最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式有理化因式有理化因式1、2、加加 、减、乘、除、减、乘、除二、知识结构二、知识结构2、1、a都是非负数都是非负数.式子式子 ，与算术平方根的共同点与算术平方根的共同点:S94S225+S一般地，形如一般地，形如 （a0）的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式a都是形如都是形如 的式子的式子，a其中其中a为整式或分式，为整式或分式，a叫做叫做被开方式被开方式1.判断下列各式是否是二次根式判断下列各式是否是二次根式.2.下列各式一定是二次根式的是（下列各式一定是二次根式的是（）.A.B.C.D.C()()()()由由2x-1
3、0，得得即当即当x取大于或等于取大于或等于 的实数时，式子的实数时，式子 有意义有意义2112-x例例1 x取什么实数时，二次根式取什么实数时，二次根式 有意义有意义？12-x解解：二次根式二次根式 有意义的条件是有意义的条件是2x-1012-x21x并且它的平方等于并且它的平方等于,a即即).0(0 aa总是一个非负数总是一个非负数所以所以,)0(aa的算术平方根的算术平方根表示表示因为因为)0(，aaa即即)0()(2=aaa1.数数a没有算术平方根，则没有算术平方根，则a的取值范围是（的取值范围是（）.A.a0 B.a0 C.a0,b0时时,如果如果 ,那么那么ab。解：1.平方法。平方
4、法。分析：例2.比较 和 的大小。2.差值法差值法性质：如果a-b0,那么ab;如果a-b0,那么a0,b0时，如果时，如果 ,那么那么 ab ;如果如果 ，那么，那么 a0,b0时，如果时，如果ab,那么那么 。4.倒数法：倒数法：例4.比较 和 的大小。解：二、解含有二次根的方程（组）二、解含有二次根的方程（组）例5.解方程解：去括号，得：移项，得：合并同类项，得：系数化为1，得：例6.解方程解：另解：例7.解方程组解：化简，得：X2+,得：把 代入，得：例8.解方程解：方程化简，得：小结：1、比较两个含有二次根式的数的大小的方法：（1）平方法）平方法（2）差值法）差值法（3）比值法）比值
5、法（4）倒数法）倒数法2、应用解方程（组）的基本方法和二次根式的性质解含有二次根式的方程（组）4。什么叫无理数？什么叫实数？实数与数轴的点有什么关系？无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。5。二次根式有哪些性质？6。什么是最简二次根式。什么是最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。7。什么是同类二次根式：。什么是同类二次根式：几个二次根式化成几个二次根式化成最简二次根式最简二次根式以后，如果以后，如果被开被开方数方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式
6、。相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。解：（1）原式（2）原式观察题目的特点观察题目的特点是否能应用是否能应用乘法公式乘法公式（1）填空：根式 中可以与 合并的二次根式有 个；（2）选择：下列计算正确的是（）3C（3）选择：下列计算正确的是（）C比较根式的大小比较根式的大小.提高题提高题解解:137146+146+=（）26+2 +14=20+2 8484（）137+2=20+2910146+0137+又解：因为 ，又因为两个非负数的和为0，注：即算术平方根非负性的应用例例2.已知 ，求 的值所以 ，解得 故 解：因为 ，例例3.已知 ，在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求
7、 的值 分析分析 题中只给出了a、x、y 的一个方程，却要求出分式的值，所以必须充分利用隐含条件所以原式 注：中 即被开方数非负性和 性质的应用代入原方程得：，所以 所以 由(1)、(3)得 ，由(2)、(4)得 ，又a、x、y是两两不同的实数，解法1：因为 ，所以 ，即 ，例例4.当 时，求 的值整理得 （凑），原式分析分析 直接把x的值代入太麻烦，利用 把 中的根号去掉，问题就好解决一点了 解法2.因为 ，所以 ，即 ，整理得 （降次），原式例例4.当 时，求 的值例例5.已知实数a、b满足 ，求s的取值范围解：因为 ，所以 ，解得：，所以 利用 和 的性质练习练习1.已知 ，求代数式 的
8、值解：原式两边同乘以 ，得：练习练习2.设实数x、y、z满足：求x、y、z的值利用 进行配方：解：移项：所以 ，解得 练习练习3.求适合下列关系式的 m 的值解：因为 ，解得：，代入原式得：，所以 ，联立(1)、(4)得：(3)2(2)得：，3.(2005.3.(2005.青岛青岛)有意义的条件是有意义的条件是_2.2.（20200505.吉林）当吉林）当 _时，时，有意义。有意义。4.4.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围解：解：33a=4a=4说明：说明：二次根式被开方二次根式被开方数大于等于数大于等于0 0，所以求二，所以求二次根式中字母的取值范次根式中字母的取
9、值范围常转化为不等式围常转化为不等式(组组)解得解得2.(2005.2.(2005.湖北黄冈市湖北黄冈市)已知已知x,yx,y为实数为实数,且且 ,则则 的值为的值为()()A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-1题型题型2:2:二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用D1.1.已知：已知：,求求 的值的值.解得解得解：由题意，得解：由题意，得题型题型4:4:同类二次根式同类二次根式1.下列与是同类二次根式的有:()B.C.D.A.2.下列与不是同类二次根式的有:()B.C.D.A.（题中 ）BD（3）一个数的立方根与这个数的平方根相）一个数的立方根与这个数的
10、平方根相等，则这个数是（等，则这个数是（）A.0 B.1 C.0和和1 D.0和和-1AC（4 4）(04(04浙江浙江)有下列说法：有下列说法：实数和数轴上的实数和数轴上的点一一对应；点一一对应；不带根号的数一定是有理数；不带根号的数一定是有理数；负数没有立方根；负数没有立方根；是是1717的平方根。其中的平方根。其中正确的有（正确的有（）（A A）0 0个个 （B B）1 1个个 （C C）2 2个个 （D D）3 3个个C（6）（）（02朝阳区）下列二次根式中，最简朝阳区）下列二次根式中，最简 二次根式是（二次根式是（）A.B.C.D.DA(7)(7)（02 02 四川）下列各组二次根式
11、中，是同类四川）下列各组二次根式中，是同类 二次根式的是（二次根式的是（）A A B B C C D D（9）能使等式）能使等式 成立的成立的x的取值范围是（的取值范围是（）Ax2 B x2 C x0 Dx2（8）(04浙江浙江)若数轴上表示数若数轴上表示数x的点在原点的的点在原点的 左边，则化简左边，则化简 的结果是（的结果是（）A.-4x B.4x C.-2x D.2xCB（10）下列各式中成立的是）下列各式中成立的是（）A.B.C.D.D（11）（01 湖北湖北02 山西）山西）已知已知ab0，则代数式则代数式 可可化为（化为（）CA.B.C.D.2.填空题：填空题：2-140（5）举一个含有字母）举一个含有字母x的二次根式，使其的二次根式，使其 一定有意义。一定有意义。（6）(05新疆新疆)请你写出两个你喜欢的无理数，请你写出两个你喜欢的无理数，使它们的和等于有理数使它们的和等于有理数_。（7）（）（02 江西）若江西）若x5，则，则 =_（8）(05湖北黄石湖北黄石)最简根式最简根式 是同类二次根式，是同类二次根式，ab=_.3.判断下列语句是否正确，为什么？判断下列语句是否正确，为什么？