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1、第二节：直线、平面平行的判定及其性质第二节：直线、平面平行的判定及其性质第二章：第二章：点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则
2、由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系知识点一知识点一、直线与平面平行的判定、直线与平面平行的判定ab复习引入复习引入直线与平面有什么样的位置关系？直线与平面有什么样的位置关系？(1)直线在平面内直线在平
3、面内有无数个公共点；有无数个公共点；(2)直线与平面相交直线与平面相交有且只有一个有且只有一个 公共点；公共点；(3)直线与平面平行直线与平面平行没有公共点没有公共点.a aaA 问题问题1 1、观察开门与关门，观察开门与关门，门的两门的两边是什么位置关系当门绕着一边边是什么位置关系当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？所在的平面是什么位置关系？l感知定理感知定理观察问题问题2 2、请同学门将一本书平放请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线封面边缘所在直线l与桌面所在的与桌面所在的
4、平面具有怎样的位置关系？桌面平面具有怎样的位置关系？桌面内有与内有与l 平行的直线吗？平行的直线吗？l动手体验问题问题3、根据以上实例总结在、根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平什么条件下一条直线和一个平面平行？面平行？探究归纳如果平面外一条直线和这个平面内的一如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面条直线平行，那么这条直线和这个平面平行平行符号表示符号表示：平平面外面外的一条的一条直线直线与此平与此平面内面内的一条的一条直线平直线平行行，则该，则该直线直线与此平与此平面平行面平行.直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理：ab线线平行线线平行线面平
5、行线面平行将线面平行转化为线线平行解读定理将空间问题转化为平面问题三个条件不能少例例1 1、如图如图,长方体长方体 的的 六个面中，六个面中，(1)与与AB平行的平面平行的平面是是_;(2)与与 平行的平面平行的平面是是_;(3)与与AD平行的平面平行的平面是是_.CBAD分析分析:OF是是ABE的中位线，的中位线，所以得到所以得到AB/OF.ABCDFOE连结连结OF，例例2.如图，四棱锥如图，四棱锥ADBCE中，中，O为底为底面正方形面正方形DBCE对角线的交点，对角线的交点，F为为AE的中点的中点.判断判断 ABAB与平面与平面DCFDCF的位置关系，的位置关系，并说明理由并说明理由.例
6、例3.如如图，空，空间四四边形形ABCD中，中，E、F分分别是是AB，AD的中点的中点.求求证：EF 平面平面BCD.分析：分析：要证明线面平行要证明线面平行只需证明线线平行，即只需证明线线平行，即在平面在平面BCD内找一条直内找一条直线平行于线平行于EF，由已知的，由已知的条件怎样找这条直线？条件怎样找这条直线？ABCDEF证明：证明：EF BD.EF 平面平面BCD.BD 平面平面BCD,AB、AD的中点，的中点，在在 ABD中中E、F分别是分别是 EF 平面平面BCD，连接连接BD，已知：空间四边形已知：空间四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是 AB、AD的中点的中点.求证：求证：E
7、F/平面平面BCD.ABCDEF注意：注意：证线面平行三个条件缺一不可证线面平行三个条件缺一不可.证明步骤证明步骤：第一步：证线线平行；第二步：证线面平行第一步：证线线平行；第二步：证线面平行_.如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中，中，E、F分别为分别为AB、AD上的点，若上的点，若 ，则则EF与平面与平面BCD的位置关系是的位置关系是EF/平面平面BCDABCDEF变式探究平行线的平行线的判定定理判定定理,分析：分析：要证要证BD1/平面平面AEC，即要在平，即要在平面面AEC内找一条直线内找一条直线与与BD1平行平行.根据已知根据已知条件应该怎样考虑辅条件应该怎样考虑辅助线助线
8、?例例.如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E为为DD1的中点，求证的中点，求证:BD1/平面平面AEC.ED1C1B1A1DCBAO有中点再找中点得中位线有中点再找中点得中位线如图如图:ABCD为平行四边形，为平行四边形，M,N分别是分别是AB,PC的中点的中点求证求证MN/面面PADHPABCDNM分析：分析：关键关键在平面在平面PAD内内找找MN平行线，有中点再平行线，有中点再中点找中点，中点和中中点找中点，中点和中点相连得中位线，从而点相连得中位线，从而得到平行线得到平行线。变式探究1.1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定定要证明直线与平面平行可以运用线
9、面平行的判定定理理；线线平行线线平行 线面平行线面平行2.2.能够运用定理的条件要满足三个条件：能够运用定理的条件要满足三个条件：3.3.运用定理的关键运用定理的关键找平行线找平行线；找平行线又经常会用到；找平行线又经常会用到三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线的判定定理的判定定理,平行公理平行公理.(一般题中有中点再找中点一般题中有中点再找中点,有有分点再找分点得平行关系分点再找分点得平行关系.).)“一线面内、一线面内、一线一线面外、面外、两线平行两线平行”规律总结规律总结4 4数学思想方法：数学思想方法：转化化归的思想方法：转化化归
10、的思想方法：将线面平行转化为线线平行将空间问题转化为平面问题C1ACB1BMNA1如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点，求证:MN平面AA1C1CF证明：设A1C1中点为F,连结NF，FCN为A1B1中点，M是BC的中点，NFCM为平行四边形,故MNCF例：B1C1NF又BCB1C1，MC1/2B1C1即MCNF而CF平面AA1C1C,MN平面AA1C1C,MN平面AA1C1C,大图大图例例 ：在长方体：在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中.（1 1）作出过直线）作出过直线ACAC且与直线且与直线BDBD1 1平行的截面，并
11、说明理由平行的截面，并说明理由.（2 2）设）设E E，F F分别是分别是A A1 1B B和和B B1 1C C的中点，求证：的中点，求证：直线直线EF/EF/平面平面ABCD.ABCD.ABCC1DA1B1D1EFMG GH H 如图所示,正方体ABCDA1B1 C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.分析：根据直线与平面平行的判定定理或平面与平面平行的性质定理来证明.证明证明 分别过分别过E E，F F作作EMEMABAB于于M M，FNFNBCBC于于N N，连接，连接MNMN.BBBB1 1平面平面ABCDABCD，BBBB1
12、 1ABAB，BBBB1 1BCBC，EMEMBBBB1 1，FNFNBBBB1 1，EMEMFNFN.又又B B1 1E E=C C1 1F F，EMEM=FNFN，故四边形故四边形MNFEMNFE是平行四边形，是平行四边形，EFEFMNMN.又又MN MN 平面平面ABCDABCD EFEF平面平面ABCDABCD，所以所以EFEF平面平面ABCDABCD.例：例：如图所示，已知如图所示，已知S S是正三角是正三角 形形ABCABC所在平面外的一点，且所在平面外的一点，且SASA=SBSB=SCSC，SGSG为为SABSAB上的高，上的高，D D、E E、F F分分 别是别是ACAC、BC
13、BC、SCSC的中点，试判断的中点，试判断SGSG 与平面与平面DEFDEF的位置关系，并给予证明的位置关系，并给予证明.解解 SGSG平面平面DEFDEF，证明如下：，证明如下：连接连接CGCG交交DEDE于点于点H H，连接，连接FHFH，如图所示如图所示.DEDE是是ABCABC的中位线，的中位线，DEDEABAB.在在ACGACG中，中，D D是是ACAC的中点，的中点，且且DHDHAGAG.H H为为CGCG的中点的中点.FHFH是是SCGSCG的中位线，的中位线，FHFHSGSG.又又SGSG平面平面DEFDEF，FHFH平面平面DEFDEF，SGSG平面平面DEFDEF.方法二方
14、法二 EFEF为为SBCSBC的中位线，的中位线，EFEFSBSB.EFEF平面平面SABSAB，SBSB平面平面SABSAB，EFEF平面平面SABSAB.同理可证，同理可证，DFDF平面平面SABSAB，EFEFDFDF=F F，平面平面SABSAB平面平面DEFDEF，又，又SGSG平面平面SABSAB，SGSG平面平面DEFDEF.23知识点二：知识点二：直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质24一条直线和一个平面有三种位置关系：一条直线和一个平面有三种位置关系：（1 1）直线在平面内）直线在平面内有无数个公共点。有无数个公共点。（2 2）直线与平面相交）直线与平面相交有且只有一个公
15、共点。有且只有一个公共点。（3 3）直线与平面平行）直线与平面平行没有公共点。没有公共点。线面平行的判定定理线面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么平行，那么这条直这条直线与这个平面平行。线与这个平面平行。简记：简记：线线线线平行平行线面线面平行。平行。abc思考：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行？由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点，所以它们只能平的任意一条直线都没有公共点，所以它们只能平行或异面。行或异面。26 请
16、观察长方体中请观察长方体中A1B1、AB和平面和平面ABB1A1、平、平面面ABCD的位置关系，你能从中得到什么启发？的位置关系，你能从中得到什么启发？ABCDA1B1C1D127 ba 证明：证明：28直线和平面平行的直线和平面平行的性质性质定理定理如果一条直如果一条直线线和一个平和一个平面面平行平行,经过这经过这条直线的平面和这个平面相交条直线的平面和这个平面相交,那么这那么这条直条直线线和交和交线线平行。平行。ba 注意：注意：1、定理三个条件缺一不可。、定理三个条件缺一不可。2、简记、简记:线面线面平行平行线线线线平行平行。29 例、设平面例、设平面、两两相交，两两相交，且且 ，若，若
17、 ，求证：，求证：转化思想转化思想：线线平行：线线平行线面平行线面平行线线平行线线平行证明：证明：302.线线平行线线平行线面平行线面平行1.直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理总结：总结：31例：例：例：例：32(1)(2)证明：证明：33证明思路是：证明思路是：证明思路是：证明思路是：线线线线/线线线线线线线线/面面面面线线线线/线线线线线线线线/面面面面(1)(2)线线线线/面面面面34例：例：例：例：分析分析分析分析证法证法证法证法1 1证法证法证法证法2 235证法证法证法证法2 2利用相似三角形对应边成比例利用相似三角形对应边成比例利用相似三角形对应边成比例利用相似三角
18、形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质及平行线分线段成比例的性质及平行线分线段成比例的性质及平行线分线段成比例的性质（略写）（略写）（略写）（略写）证法证法证法证法1 136我们今天有哪些收获？还有什么疑惑？我们今天有哪些收获？还有什么疑惑？2、直线和平面平行的性质定理、直线和平面平行的性质定理3、直线和平面平行的判定定理和性质定理可以、直线和平面平行的判定定理和性质定理可以进行进行“线线线线平行平行”和和“线面平行线面平行”的相互转化，的相互转化，实现空间问题平面化实现空间问题平面化线线线线平行平行在平面内在平面内作或找一作或找一直线直线线面线面平行平行经过直线作或找经过直线作或找平面与平
19、面相交平面与平面相交直线直线线线线线平行平行小结：小结：1、直线和平面平行的判定定理直线和平面平行的判定定理3738A3 3、39D4 4、例：例：两个全等的正方形两个全等的正方形ABCD和和ABEF所在的平面相交于所在的平面相交于AB，M AC，N FB，且，且AMFN，求证：，求证：MN 平面平面BCE.思路点拨思路点拨方法一：方法一：过过M作作MPBC，过过N作作NQBE，P、Q为垂足为垂足(如图如图1)，连结连结PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又又NQBNCMMP，四边形四边形MPQN是平行四边形是平行四边形.MNPQ.又又PQ平面平面BCE，而，而MN 平面平面BCE，MN平面平
20、面BCE.方法二：方法二：过过M作作MGBC，交，交AB于于G(如图如图2)，连结，连结NG.MGBC，BC平面平面BCE，MG 平面平面BCE，MG平面平面BCE.又又AMFN，ACBF，GNAFBE，同样可证明，同样可证明GN平面平面BCE.MGNGG，平面平面MNG平面平面BCE.又又MN平面平面MNG，MN平面平面BCE.如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角中，侧面对角线线AB1，BC1上分别有两上分别有两点点M，N.且且B1MC1N.求证求证MN 平面平面ABCD.证明：方法一：证明：方法一：分别过分别过M、N作作MMAB于于M，NNBC于于N，连结连结MN.
21、BB1平面平面ABCD，BB1AB，BB1BC.MMBB1，NNBB1.MMNN，又，又B1MC1N，MMNN.故四边形故四边形MMNN是平行四边形，是平行四边形，MNMN，又又MN平面平面ABCD，MN 平面平面ABCD，MN平面平面ABCD.方法二：方法二：过过M作作MGAB交交BB1于于G，连接，连接GN，则，则，B1MC1N，B1AC1B，NGB1C1BC.又又MGNGG，ABBCB，平面平面MNG平面平面ABCD，又又MN平面平面MNG，MN平面平面ABCD.（1 1）平行）平行（2 2）相交）相交复习回顾：复习回顾：平面与平面有几种位置关系？分别是什么？平面与平面有几种位置关系？分
22、别是什么？知识点三：平面与平面平行的判定知识点三：平面与平面平行的判定认识认识1 1如果两个平面平行，那么其如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行另一个平面平行认识认识2 2如果一个平面内的所有直线如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个都和另一个平面平行，那么这两个平面平行平面平行对面面平行的认识对面面平行的认识（1 1）中的平面）中的平面，不一定平行。不一定平行。如图，借助长方如图，借助长方体模型，平面体模型，平面ABCDABCD中直线中直线ADAD平平行平面行平面BCCBCCB B，但平面但平面ABCDABCD与平
23、与平面面BCCBCCB B不平行。不平行。探究：探究：探究：探究：PQ如果平面如果平面内的两条直线是相交内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定的直线，两个平面会不会一定平行？平行？如果平面如果平面内的两条直线是平行直线，平面内的两条直线是平行直线，平面与平面与平面不一定平行。如图，不一定平行。如图，ADPQADPQ，ADAD平面平面BCCBCCB B，PQBCCPQBCCB B，但平面，但平面ABCDABCD与平面与平面BCCBCCB B不平行。不平行。平面与平面平行的判定定理：平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条一个平面内有两条相交相交直线与另一个平面平直线与另一个平面平行行,则
24、这两个平面平行则这两个平面平行.简述为：简述为：线线面面平行平行面面平行面面平行 a b A/即：即：a b b/a/a b=A线不在多，重在相交直线的条数不是关键直线的条数不是关键直线相交才是关键直线相交才是关键判定定理剖析：判定定理剖析：判定定理判定定理:一个平面内一个平面内两条两条相交相交直线直线分别分别平行于平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行.直线直线符号语言符号语言：证题思路：证题思路：要证明两要证明两平面平行，平面平行，关键是关键是在在其中一个平面内其中一个平面内找出找出两条相交直线分别平两条相交直线分别平行于另一个平面行于另一个平面.练习：判断下列
25、命题正确与否。练习：判断下列命题正确与否。1）如如果果一一个个平平面面内内的的一一条条直直线线平平行行于于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行2 2）如果一个平面内的两条直线平行于）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行 3）如果一个平面内的无数条直线平行）如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行于另一个平面，那么这两个平面平行 4）如果一个平面内的任何一条直线都）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行于另一个平面，那么这两个平面平行平行（5）若平面）若平面内的两条直线
26、分别与平面内的两条直线分别与平面平行，则平行，则与与平行；平行；（6）若平面）若平面内有无数条直线分别与平面内有无数条直线分别与平面平行，则平行，则与与平行；平行；（7）平行于同一直线的两个平面平行；）平行于同一直线的两个平面平行；（8）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；行；（9）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面行的平面（10）与同一条直线所成角相等两个平面平行）与同一条直线所成角相等两个平面平行.（11）垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一条直线的两个平面平行.（12）
27、平行于同一平面的两个平面平行）平行于同一平面的两个平面平行.例：如图，在正方体例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是棱分别是棱BC与与C1D1的中点。的中点。求证：求证：面面EFG/平面平面BDD1B1.G分析：由FGB1D1易得FG平面BDD1B1同理GE 平面BDD1B1FGGEG故得面EFG/平面BDD1B1证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.例、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1平面C1BD.分析：在四边形ABC1D1中，ABC1D1且ABC1D1故四边形ABC1D1为平行四边形.即AD
28、1BC1思路：只要证明一个平面内有两条相交的直线思路：只要证明一个平面内有两条相交的直线与另一个平面平行与另一个平面平行 证明：证明：ABCD-A1B1C1D1是正方体是正方体,D1C1/A1B1，D1C1=A1B1,AB/A1B1，AB=A1B1,D1C1/AB，D1C1=AB,四边形四边形D1C1BA为平行四边形为平行四边形,D1A/C1B,又又D1A 平面平面C1BD，C1B 平面平面C1BD，D1A/平面平面C1BD,同理同理D1B1/平面平面C1BD,又又D1A D1B1=D1,D1A 平面平面AB1D1,D1B1 平面平面AB1D1,平面平面AB1D1/平面平面C1BD.第一步：在
29、一个平面内找出两条相交直线；第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。面。第三步：利用判定定理得出结论。第三步：利用判定定理得出结论。例：例：反反例例3分别在两个平行平面内的两条直线分别在两个平行平面内的两条直线都平行都平行4如果一个平面内的两条直线平行于如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行5如果一个平面内的任何一条直线都如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行于另一个平面，那么这两个平面平行平行例例:在正方体在正方体ABCD-A1
30、B1C1D1中，中，若若M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面的中点，求证：平面AMN/平面平面EFDB。ABCA1B1C1D1DMNEF线面平行线面平行 面面平行面面平行线线平行线线平行例：例：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.证证明面面平行的方法有：明面面平行的方法有：1面面平行的定面面平行的定义义；2面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线线都平行于
31、另一个平面，那么都平行于另一个平面，那么这这两个平面平行；两个平面平行；3利用垂直于同一条直利用垂直于同一条直线线的两个平面平行；的两个平面平行；4两个平面同两个平面同时时平行于第三个平面，那么平行于第三个平面，那么这这两个平面平两个平面平行；行；5利用利用“线线线线平行平行”、“线线面平行面平行”、“面面平行面面平行”的的相互相互转转化化1、如图：三棱锥、如图：三棱锥P-ABC,D,E,F分别是棱分别是棱PA，PB，PC中点，中点，求证：平面求证：平面DEF 平面平面ABC。PDEFABC2、如图，、如图，B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N，G分别为分别为ABC，ABD，BC
32、D的重的重心，求证：平面心，求证：平面MNG 平面平面ACD。BACDNMGNMFEDCBAH例：例：如图所示，平面如图所示，平面ABCD平面平面EFCD=CD，M、N、H分别是分别是DC、CF、CB的中点，的中点，求证求证平面平面MNH/平面平面DBF例例.正方体正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中中,求证求证:平面平面ABAB1 1D D1 1/平面平面C C1 1BDBDAD1DCBA1B1C1例：已知例：已知:在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E E、F F分别是分别是CCCC1 1、AAA
33、A1 1的中点，的中点，求证求证:平面平面BDE/BDE/平面平面B B1 1D D1 1F FAD1DCBA1B1C1EFG 如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中中(1)求证：平面求证：平面A1BD 平面平面B1D1C；(2)若若E、F分别是分别是AA1、CC1的中点，的中点，求证：平面求证：平面EB1D1 平面平面FBD.思维点拨：思维点拨：(1)证证BD 平面平面B1D1C，A1D 平面平面B1D1C；(2)证证BD 平面平面EB1D1，DF 平面平面EB1D1.【例例】证明：证明：(1)由由B1B綊綊DD1，得四，得四边边形形BB1D1D是平行四是平行四边边形，形
34、，B1D1 BD，又，又BD 平面平面B1D1C，B1D1平面平面B1D1C，BD 平面平面B1D1C.同理同理A1D 平面平面B1D1C.而而A1DBDD，平面平面A1BD 平面平面B1D1C.(2)由由BD B1D1，得，得BD 平面平面EB1D1.取取BB1中点中点G，得，得AE綊綊B1G，从而，从而B1E AG.又又GF綊綊AD，AG DF.B1E DF，DF 平面平面EB1D1.又又BDDFD，平面平面EB1D1 平面平面FBD.如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是BC上一点，上一点，且且A1B 平面平面AC1D，D1是是B1C1的中点的中点求证：平面求证
35、：平面A1BD1 平面平面AC1D.变式变式3：证明证明：如图所示，连结如图所示，连结A1 1C交交AC1 1于于E.四边形四边形A1ACC1是平行四边形，是平行四边形，E是是A1 1C的中点，连结的中点，连结EDED.A1 1B平面平面AC1 1D，平面平面A1 1BC平面平面AC1 1D=ED，A1BED.E是是A1 1C的中点的中点，D是是BC的中点的中点 D1 1是是B1 1C1 1的中点的中点，BDBD1 1C1 1D，A1D1 1AD，又又A1 1D1 1BD1 1=D1 1，平面平面A A1 1BDBD1 1平面平面AC1 1D.当当AB与与CD异面异面时时，设设平面平面ACD=
36、DH，且，且DH=AC.，平面平面ACDH=AC，ACDH，四四边边形形ACDH是平行四是平行四边边形，形，在在AH上取一点上取一点G，使，使AG GH=CF FD，又又AE EB=CF FD，GFHD，EGBH，又又EGGF=G，平面平面EFG平面平面.EF平面平面EFG，EF.综综上，上，EF.(2)解解：如：如图图所示，所示，连连接接AD，取，取AD的中点的中点M，连连接接ME，MF.E，F分分别为别为AB，CD的中点，的中点，MEBD，MFAC，且且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF为为AC与与BD所成的角所成的角(或其或其补补角角)，EMF=60或或120，在在EFM中由余弦定理
37、得中由余弦定理得，【方法规律方法规律】1 1直直线线和平面平行和平面平行时时，注意把直，注意把直线线和平面的位置关系和平面的位置关系转转化化为为直直线线和直和直线线的的位置关系，直位置关系，直线线和平面平行的性和平面平行的性质质在在应应用用时时，要特，要特别别注意注意“一条直线平一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论的错误结论2 2以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求解其他几何参量降维的思想方法求解其他几何参量 3线面平行和面面
38、平行的判定和性质：线面平行和面面平行的判定和性质：4要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一，要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一，辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难免免.【高考真题高考真题】(2009福建卷福建卷)设设m，n是平面是平面内的两条不同直内的两条不同直线线；l1，l2是平面是平面内的内的两条相交直两条相交直线线，则则 的一
39、个充分而不必要条件是的一个充分而不必要条件是()Am 且且l1 Bm l1且且n l2Cm 且且n Dm 且且n l2【规范解答规范解答】解解析析：选选项项A作作条条件件，由由于于这这时时两两个个平平面面中中各各有有一一条条直直线线与与另另一一个个平平面面平平行行，不不能能得得到到，但但却却能能得得到到选选项项A，故故选选项项A是是必必要要而而不不充充分分条条件件；选选项项B作作条条件件，此此时时m，n一一定定是是平平面面内内的的两两条条相相交交直直线线(否否则则，则则推推出出直直线线l1l2，与与已已知知矛矛盾盾)，这这就就符符合合两两个个平平面面平平行行的的判判定定定定理理的的推推论论“一
40、一个个平平面面内内如如果果有有两两条条相相交交直直线线分分别别平平行行于于另另一一个个平平面面内内的的两两条条相相交交直直线线，则则这这两两个个平平面面平平行行”，故故条条件件是是充充分分的的，但但是是在在时时，由由于于直直线线m，n在在平平面面内内的的位位置置不不同同，只只能能得得到到m，n与与平平面面平平行行，得得不到不到ml1，nl2的结论，故条件是不必要的，故选项的结论，故条件是不必要的，故选项B中的条件是充分而不必要的；中的条件是充分而不必要的；选选项项C作作条条件件，由由于于m，n只只是是平平面面内内的的两两条条不不同同直直线线，这这两两条条直直线线可可能能相相互互平平行行，故故得
41、得不不到到的的必必然然结结论论，这这个个条条件件是是不不充充分分的的，但但却却能能得得到到选选项项C，故故选选项项C是是必必要要而而不不充充分分条条件件；选选项项D作作条条件件，由由nl2可可得得n，平平面面内内的的直直线线m，n分分别别与与平平面面平平行行，由由于于m，n可可能能平平行行，得得不不到到的的必必然然结结论论，故故这这个个条条件件是是不不充充分分的的，当当时时，只只能能得得到到m但但得得不不到到nl2，故故条条件件也也不是必要的，故选项不是必要的，故选项D中的条件是既不充分也不必要的中的条件是既不充分也不必要的答案：答案：B本本题题是教材上两个平面平行的判定定理的推是教材上两个平
42、面平行的判定定理的推论论，隐隐含了一个必然关系含了一个必然关系“m，n为为相交直相交直线线”而而设计设计出来的，目的是考出来的，目的是考查查考生考生对对两个平面平行关系及充分两个平面平行关系及充分必要关系的掌握必要关系的掌握【探究与研究探究与研究】解解本本题题很很容容易易出出现现把把充充分分而而不不必必要要条条件件判判断断为为必必要要而而不不充充分分条条件件的的错错误误，问问题题的的根根源源是是作作为为选选择择题题，在在题题目目的的叙叙述述上上和和一一般般问问题题中中的的叙叙述述正正好好相相反反在在一一般般问问题题的的叙叙述述中中往往往往是是给给出出条条件件P，Q后后，设设问问P是是Q的的什什
43、么么条条件件，其其解解决决方方法法是是看看PQ、QP能能不不能能成成立立，确确定定问问题题的的答答案案，但但在在选选择择题题中中却却把把“P是是Q的的什什么么条条件件”中中的的条条件件P放放到到了了选选项项中中，而而把把Q放放在在了了题题干干中中，这这就就容容易易使使考考生生误误以以为为“Q是是P的的什什么么条条件件”，导导致致错错解解题题目目考考生生在在解解决决充充要要条条件件的的问问题题时时一一定定要注意要注意题题目中所目中所说说的什么是的什么是P，什么是，什么是Q.解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型
44、(如长方如长方体模型，空间四边形模型体模型，空间四边形模型)作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项A、C，通过简单的回顾两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项，通过简单的回顾两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项D和选项和选项C基本一致，也可以排除，就剩下了选项基本一致，也可以排除，就剩下了选项B.解答选择题要学会排除法解答选择题要学会排除法.(2009 (2009山东卷山东卷)如如图图，在直四棱柱，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD为为等腰梯等腰梯形，形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E、E1、F分分
45、别为别为棱棱AD、AA1、AB的中点，求的中点，求证证：直：直线线EE1平面平面FCC1.思维点拨：思维点拨：在平面在平面FCC1中找一条线平行于中找一条线平行于EE1或证平面或证平面ADD1A1平面平面FCC1均可均可.【例例】证明：证法一：证明：证法一：取取A1B1的中点的中点为为F1，连结连结FF1，C1F1，由于，由于FF1BB1CC1，所，所以以F1平面平面FCC1，因此平面，因此平面FCC1即即为为平面平面C1CFF1.连结连结A1D，F1C，由于，由于A1F1 D1C1 CD，所以四，所以四边边形形A1DCF1为为平行四平行四边边形，因此形，因此A1DF1C.又又EE1A1D，得
46、，得EE1F1C，而，而EE1 平面平面FCC1，F1C 平面平面FCC1，故，故EE1平面平面FCC1.证法二：证法二：因为因为F为为AB的中点，的中点，CD=2，AB=4，ABCD，所以所以CD AF，因此四，因此四边边形形AFCD为为平行四平行四边边形，所以形，所以ADFC.又又CC1DD1，FCCC1=C，FC 平面平面FCC1，CC1 平面平面FCC1，所以平面，所以平面ADD1A1平面平面FCC1，又，又EE1 平面平面ADD1A1，所以，所以EE1平面平面FCC1.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中中，O为正方形为正方形ABCD的中的中 点，点，求证求
47、证：B1O 平面平面A1C1D.变式变式1：证明：证明：分别连结分别连结BD和和B1D1，则则O BD且且A1C1B1D1O1.BB1綊綊DD1，BB1D1D是平行四是平行四边边形形 BD綊綊B1D1，OD綊綊O1B1.连结连结O1D，则则四四边边形形B1ODO1是平行四是平行四边边形，形，B1O DO1.DO1平面平面A1C1D，B1O 平面平面A1C1D，且且B1O DO1，B1O 平面平面A1C1D.已知已知ABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P是平面是平面ABCD外一点，外一点，M是是PC的中点，的中点，在在DM上取一点上取一点G，过，过G和和AP作平面交平面作平面交平面BDM于于
48、GH，求证：，求证：AP GH.思维点拨：思维点拨：先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行，先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行，然后由线面平行转化为所要证明的线线平行然后由线面平行转化为所要证明的线线平行【例例】证明：证明：如图所示，连结如图所示，连结AC，交，交BD于于O，连结连结MO，由由ABCD是平行四是平行四边边形得形得O是是AC的中点又的中点又M是是PC的中点，的中点，知知AP OM，AP 平面平面BMD，DM平面平面BMD，故，故PA 平面平面BMD.由平面由平面PAHG平面平面BMDGH，知，知PA GH.如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中
49、中(1)求证：平面求证：平面A1BD 平面平面B1D1C；(2)若若E、F分别是分别是AA1、CC1的中点，的中点，求证：平面求证：平面EB1D1 平面平面FBD.思维点拨：思维点拨：(1)证证BD 平面平面B1D1C，A1D 平面平面B1D1C；(2)证证BD 平面平面EB1D1，DF 平面平面EB1D1.【例例】证明：证明：(1)由由B1B綊綊DD1，得四，得四边边形形BB1D1D是平行四是平行四边边形，形，B1D1 BD，又，又BD 平面平面B1D1C，B1D1平面平面B1D1C，BD 平面平面B1D1C.同理同理A1D 平面平面B1D1C.而而A1DBDD，平面平面A1BD 平面平面B
50、1D1C.(2)由由BD B1D1，得，得BD 平面平面EB1D1.取取BB1中点中点G，得，得AE綊綊B1G，从而，从而B1E AG.又又GF綊綊AD，AG DF.B1E DF，DF 平面平面EB1D1.又又BDDFD，平面平面EB1D1 平面平面FBD.如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是BC上一点，上一点，且且A1B 平面平面AC1D，D1是是B1C1的中点的中点求证：平面求证：平面A1BD1 平面平面AC1D.变式变式3：证明证明：如图所示，连结如图所示，连结A1 1C交交AC1 1于于E.四边形四边形A1ACC1是平行四边形，是平行四边形，E是是A1 1C