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1、关于随机变量的数字特征13.12.20221第一页，本课件共有69页第二页，本课件共有69页13.12.20223第四章 随机变量的数字特征 本章主要内容 1 数学期望数学期望 2 方方 差差 3 协方差与相关系数协方差与相关系数 第三页，本课件共有69页13.12.20224 在第二、三章我在第二、三章我们讨论们讨论了随机了随机变变量的分布，量的分布，这这是关于随是关于随机机变变量的一种完整性描述但在量的一种完整性描述但在实际问题实际问题中，要确定一个随中，要确定一个随机机变变量的分布往往是比量的分布往往是比较较困困难难的另一方面，在某些的另一方面，在某些实际问实际问题题中，未必一定需要去全
2、面考察随机中，未必一定需要去全面考察随机变变量的量的变变化情况，而只化情况，而只需知道随机需知道随机变变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数例如，气象分析中常常考察某一数例如，气象分析中常常考察某一时时段的雨量、湿度和日段的雨量、湿度和日照等气象要素的平均照等气象要素的平均值值和极端和极端值值以判定气象情况，而不必掌以判定气象情况，而不必掌握每一个气象握每一个气象变变量的分布函数在量的分布函数在这这些用来作些用来作为显为显示随机示随机变变量分布特征的数字中，最重要的就是随机量分布特征的数字中，最重要的就是随机变变量的数学期望、量的数学期望、方差以及
3、各方差以及各阶阶矩本章主要矩本章主要讨论讨论随机随机变变量的常用数字特征：量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数数学期望、方差、相关系数和矩和矩 4.1 数学期望 第四页，本课件共有69页13.12.202254.1 数学期望 一、数学期望的概念一、数学期望的概念 从分布律并不能直从分布律并不能直观观地看出答案，地看出答案，这说这说明分布律明分布律虽虽然完整然完整地描述了随机地描述了随机变变量，但却不量，但却不够够“集中集中”地反映出它的地反映出它的变变化情化情况因此我况因此我们们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机随机变变量，量，这这些量常是某
4、种平均些量常是某种平均值值 第五页，本课件共有69页13.12.202264.1 数学期望 第六页，本课件共有69页13.12.20227定义定义1.1 4.1 数学期望 第七页，本课件共有69页13.12.202284.1 数学期望 第八页，本课件共有69页13.12.202294.1 数学期望 第九页，本课件共有69页13.12.2022104.1 数学期望 第十页，本课件共有69页13.12.2022114.1 数学期望 第十一页，本课件共有69页13.12.202212例例1-5(一种一种验验血新技血新技术术)在一个很多人的在一个很多人的团团体中普体中普查查某种疾某种疾病，病，为为此要
5、抽此要抽验验N个人的血，可以用两种方法个人的血，可以用两种方法进进行：行：(1)将每个将每个人的血分人的血分别别去去验验，这这就需就需验验N次；次；(2)按按k个人一个人一组进组进行分行分组组，把从把从k个人抽来的血混合在一起个人抽来的血混合在一起进进行行检验检验，如果，如果这这个混合个混合血液呈阴性反血液呈阴性反应应，就，就说说明明k个人的血都呈阴性反个人的血都呈阴性反应应，这样这样，这这k个人的血就只需个人的血就只需验验一次若呈阳性，一次若呈阳性，则则再再对这对这k个人的个人的血液分血液分别进别进行化行化验验这样这这样这k个人的血个人的血总总共要化共要化验验k+1次次假假设设每个人化每个人
6、化验验呈阳性的概率呈阳性的概率为为p，且，且这这些人的些人的试验试验反反应应是相互独立的是相互独立的试说试说明当明当p较较小小时时，选选取适当的取适当的k，按第二种，按第二种方法可以减少化方法可以减少化验验次数，并次数，并说说明明k取什么取什么值值最适宜最适宜 4.1 数学期望 第十二页，本课件共有69页13.12.2022134.1 数学期望 第十三页，本课件共有69页13.12.2022144.1 数学期望 第十四页，本课件共有69页13.12.2022154.1 数学期望 第十五页，本课件共有69页13.12.2022164.1 数学期望 第十六页，本课件共有69页13.12.20221
7、74.1 数学期望 第十七页，本课件共有69页13.12.2022184.1 数学期望 第十八页，本课件共有69页13.12.2022194.1 数学期望 第十九页，本课件共有69页13.12.2022204.1 数学期望 第二十页，本课件共有69页13.12.202221二、二、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 4.1 数学期望 第二十一页，本课件共有69页13.12.2022224.1 数学期望 第二十二页，本课件共有69页13.12.2022234.1 数学期望 第二十三页，本课件共有69页13.12.2022244.1 数学期望 第二十四页，本课件共有69页13.12.20
8、22254.1 数学期望 第二十五页，本课件共有69页13.12.2022264.1 数学期望 第二十六页，本课件共有69页13.12.202227例例1-12 假设市场上对某种产品每年的需求量为假设市场上对某种产品每年的需求量为X(吨吨)，它，它服从服从2000，4000上的均匀分布己知每出售上的均匀分布己知每出售1吨产品可赚吨产品可赚3万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元试问每万元试问每年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平均收益最大？并求年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平均收益最大？并求最大平均收益最大平均收益 4.1 数学期望 第二
9、十七页，本课件共有69页13.12.2022284.1 数学期望 第二十八页，本课件共有69页13.12.202229三、三、数学期望的性质数学期望的性质(1)设设C是常数，是常数，则则有有E(C)=C(2)设设X是随机是随机变变量，量，C是常数，是常数，则则有有E(CX)=CE(X)(3)设设X，Y是随机是随机变变量，量，则则有有E(X+Y)=E(X)+E(Y)这这一性一性质质可推广到有限个随机可推广到有限个随机变变量之和的情况量之和的情况结结合合(2)和和(3)，我，我们们有有 对对于任意的常数于任意的常数a,b，随机，随机变变量量X,Y，则则 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(4
10、)设设X，Y是相互独立的随机是相互独立的随机变变量，量，则则有有 E(XY)=E(X)E(Y)这这一性一性质质可推广到有限个相互独立的随机可推广到有限个相互独立的随机变变量之量之积积的情况的情况 4.1 数学期望 第二十九页，本课件共有69页13.12.202230我我们们来来证证明明(3)和和(4)我我们仅们仅就就连续连续型情形型情形给给出出证证明，离散型明，离散型情形情形类类似可似可证证 4.1 数学期望 第三十页，本课件共有69页13.12.202231性质性质(4)得证得证 例例1-13 设设随机随机变变量量XB(n,p)，试试利用性利用性质质求求E(X)4.1 数学期望 第三十一页，
11、本课件共有69页13.12.2022324.1 数学期望 第三十二页，本课件共有69页13.12.202233将随机将随机变变量分解量分解为为有限个有限个简单简单随机随机变变量之和，然后利用量之和，然后利用性性质质(3)来求来求E(X)，这这种方法有着普遍的意种方法有着普遍的意义义 例例1-14 一民航送客一民航送客车载车载有有20位旅客自机位旅客自机场场开出，旅客开出，旅客有有10个个车车站可以下站可以下车车如到达一个如到达一个车车站没有旅客下站没有旅客下车车就就不停不停车车以以X表示停表示停车车的次数，求平均停的次数，求平均停车车次数次数E(X)(设设每位旅客在各个每位旅客在各个车车站下站
12、下车车是等可能的，并是等可能的，并设设各旅客是否各旅客是否下下车车相互独立相互独立)4.1 数学期望 第三十三页，本课件共有69页13.12.2022344.1 数学期望 第三十四页，本课件共有69页13.12.2022354.1 数学期望 返回返回第三十五页，本课件共有69页13.12.2022364.2 方 差 第三十六页，本课件共有69页13.12.202237一、方差的概念 4.2 方 差 第三十七页，本课件共有69页13.12.2022384.2 方 差 第三十八页，本课件共有69页13.12.2022394.2 方 差 第三十九页，本课件共有69页13.12.2022404.2 方
13、 差 第四十页，本课件共有69页13.12.2022414.2 方 差 第四十一页，本课件共有69页13.12.2022424.2 方 差 第四十二页，本课件共有69页13.12.2022434.2 方 差 第四十三页，本课件共有69页13.12.2022444.2 方 差 第四十四页，本课件共有69页13.12.202245二、方差的性质 4.2 方 差 第四十五页，本课件共有69页13.12.2022464.2 方 差 第四十六页，本课件共有69页13.12.2022474.2 方 差 第四十七页，本课件共有69页13.12.2022484.2 方 差 第四十八页，本课件共有69页13.1
14、2.2022494.2 方 差 第四十九页，本课件共有69页13.12.2022504.2 方 差 第五十页，本课件共有69页13.12.202251定义定义 4.2 方 差 第五十一页，本课件共有69页13.12.2022524.2 方 差 第五十二页，本课件共有69页13.12.2022534.2 方 差 第五十三页，本课件共有69页13.12.202254返回返回4.2 方 差 第五十四页，本课件共有69页13.12.2022554.3 协方差与相关系数 第五十五页，本课件共有69页13.12.202256一、协方差及相关系数的定义一、协方差及相关系数的定义 定义定义3.1 设二维随机变
15、量设二维随机变量(X,Y)，如果，如果EX-E(X)Y-E(Y)存存在，则称在，则称EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量为随机变量X X与与Y Y的的协方差协方差记记为为Cov(X,Y)，即，即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)4.3 协方差与相关系数 第五十六页，本课件共有69页13.12.2022574.3 协方差与相关系数 第五十七页，本课件共有69页13.12.202258二、协方差与相关系数的性质二、协方差与相关系数的性质 4.3 协方差与相关系数 第五十八页，本课件共有69页13.12.2022594.3 协方差与相关系数 第五十九页，本课件共有69页13.12.2022
16、604.3 协方差与相关系数 第六十页，本课件共有69页13.12.2022614.3 协方差与相关系数 第六十一页，本课件共有69页13.12.2022624.3 协方差与相关系数 第六十二页，本课件共有69页13.12.202263注意：注意：4.3 协方差与相关系数 第六十三页，本课件共有69页13.12.2022644.3 协方差与相关系数 第六十四页，本课件共有69页13.12.2022654.3 协方差与相关系数 第六十五页，本课件共有69页13.12.2022664.3 协方差与相关系数 第六十六页，本课件共有69页13.12.202267三、矩三、矩 4.3 协方差与相关系数 第六十七页，本课件共有69页13.12.2022684.3 协方差与相关系数 第六十八页，本课件共有69页13.12.2022感谢大家观看第六十九页，本课件共有69页