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1、关于随机变量及其分布(4)第一页，本课件共有96页变量化是进一步研究的基础变量化是进一步研究的基础.例例 电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述.例例 检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散变量来描述1、随机变量概念、随机变量概念显然，每一个随机试验都可以引进一个变量来刻画。显然，每一个随机试验都可以引进一个变量来刻画。这种与试验结果关联起来的变量叫随机变量这种与试验结果关联起来的变量叫随机变量(random variable).第二页，本课件共有96页设 是试验E的样本空间,若则称 X()为 上的 随机变量，简记 r.v.X.r.v.一般用大写字母 X,Y,Z,或小写希腊字母,表示.
2、定义定义2.12.1按一定法则第三页，本课件共有96页 定义域定义域 事件域 随机性随机性 r.v.r.v.X X 的可能取值不止一个的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值，但不试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值能预知取哪个值 概率特性概率特性 X X 以一定的概率取某个值以一定的概率取某个值 随机变量随机变量是上的映射,具有如下特点第四页，本课件共有96页如前所述，随机变量是一个特殊的函数（事件的概率也是一个特殊函数）。回顾一般的函数y=f(x).对值域的某个子集E,其原像可以表示为简记为随机变量函数的原像是样本空间子集即事件也用类似记法。第五页，本课件共有96页
3、表示“某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次”这一事件X=0表示掷硬币反面朝上。例如把随机事件写为函数把随机事件写为函数（随机变量）的原像，（随机变量）的原像，是用随机变量研究事件是用随机变量研究事件概率的最关键一步。概率的最关键一步。第六页，本课件共有96页 在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v.,例如=儿童的发育情况 X()身高,Y()体重,Z()头围.各 r.v.之间可能有一定的关系,也可能没有关系 即 相互独立第七页，本课件共有96页离散型离散型非离散型非离散型r.v.分类分类 其中一种重要的类型为 连续性连续性 r.v.引入引入 r.v.重要意义重要意义 任何随机现象
4、可任何随机现象可 被被 r.v.描述描述 借助微积分方法借助微积分方法 将讨论进行到底将讨论进行到底第八页，本课件共有96页2、离散型随机变量离散型随机变量定义定义 若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个,则称 X 为离散型随机变量描述X 的概率特性常用概率分布或分布律X P 或即2.2一、分布律一、分布律第九页，本课件共有96页分布律的性质分布律的性质q 非负性q 归一性X 或第十页，本课件共有96页解解 例例1 1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概率分布.令 X 表示例
5、1 第十一页，本课件共有96页首先，首先，k的取值只能是的取值只能是0,1,2,3.再求取各个值时的概率。再求取各个值时的概率。kpk 0 1 2 3 40.60.240.0960.03840.0256第十二页，本课件共有96页用分布律来计算事件的概率用分布律来计算事件的概率例例2 2 在上例中,计算例2解解第十三页，本课件共有96页例例3 3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0 p 1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的分布律.解解P(X=k)=P(前 k 1次击中 r 1次，第 k 次击中目标)
6、例3帕斯卡分 布第十四页，本课件共有96页注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当第十五页，本课件共有96页归纳地令第十六页，本课件共有96页(1)0 1 分布分布是否超标等等.常见离散常见离散r.v.的分布的分布凡试验只有两个结果,常用0 1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X=xk 1 0Pk p 1-p0 p 0 为常数指数分布第四十七页，本课件共有96页xf(x)0第四十八页，本课件共有96页对于任意的 0 a b,应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命 指数分布常作为各种“寿命”分布的
7、近似第四十九页，本课件共有96页(3)正态分布正态分布若X 的 d.f.为则称 X 服从参数为 ,2 的正态分布记作 X N(,2)为常数，正态分布 亦称高斯(Gauss)分布第五十二页，本课件共有96页q f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的，f(x)的形状不同.若 1 0 为常数指数分布第六十六页，本课件共有96页1xF(x)0 xf(x)0第六十七页，本课件共有96页(3)正态分布正态分布若X 的 d.f.为正态分布第六十八页，本课件共有96页N(-3,1.2)第六十九页，本课件共有96页第
8、七十页，本课件共有96页正态变量的条件 若 r.v.X 受众多相互独立的随机因素影响 每一因素的影响都是微小的 且这些正、负影响可以叠加则称 X 为正态 r.v.第七十一页，本课件共有96页可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；第七十二页，本课件共有96页一种重要的正态分布一种重要的正态分布是偶函数，分布函数记为标准正态其值有专门的表供查.标准正态分布N(0,1)密度函数第七十三页，本课件共有96页第七十四页，本课件共有96页-xx第七十五页，本课件共有96页对一般的正态分布：
9、X N(,2)其分布函数作变量代换第七十六页，本课件共有96页例例5 5 设 X N(1,4),求 P(0 X 1.6)解解P380 附表3例5第七十七页，本课件共有96页例例6 6 已知且 P(2 X 4)=0.3,求 P(X 0).解一解一例6第七十八页，本课件共有96页解二解二 图解法0.2由图0.3第七十九页，本课件共有96页例例 3 原理设 X N(,2),求解解一次试验中,X 落入区间(-3,+3)的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小由3 原理知，当3 原理第八十页，本课件共有96页标准正态分布的上 分位数 z设 X N(0,1),0 3故至少要进行 4 次独立测量才能满
10、足要求.第八十三页，本课件共有96页4 r.v.函数的分布函数的分布方法方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件2.4求求 随机因变量Y=g(X)的密度函数 或分布律问题问题 已知已知 随机变量随机变量 X 的概率密度函数 或分布律.连续型离散型第八十四页，本课件共有96页设 随机变量 X 的分布律为由已知函数 g(x)可求出 随机变量 Y=g(x)的所有可能取值，则 Y 的概率分布可以求出。离散型离散型 r.v.函数的分布函数的分布离散型第八十五页，本课件共有96页例例1 1 已知 X 的概率分布为X pk-1 0 1 2求 Y 1=2X 1 与 Y 2=X 2 的分布律解解Y 1pi-3
11、 -1 1 3例1第八十六页，本课件共有96页Y 2pi1 0 1 4Y 2pi0 1 4第八十七页，本课件共有96页已知 X 的概率密度 f(x)或分布函数求 Y=g(X)的概率密度 函数方法：（1）从分布函数出发（2）用公式直接求概率密度 连续性连续性 r.v.函数的分布函数的分布 连续性第八十八页，本课件共有96页例例3 3 已知 X 的 d.f.为为常数，且 a 0,求 fY(y)解解当a 0 时，例3第八十九页，本课件共有96页当a 0 时，故第九十页，本课件共有96页定理：设 X N(,2),Y=a X+b,则Y N(a+b,a22)特别地，若 X N(,2),则第九十一页，本课件共有96页例例4 4 已知 X N(0,1),Y=X 2,求 f Y(y)解解 从分布函数出发yy当 y 0 时，例5第九十二页，本课件共有96页故第九十三页，本课件共有96页94例例5 5 设随机变量 X 的概率密度函数是求求Y=X2的概率密度函数。的概率密度函数。解解:当 y 0 时，第九十四页，本课件共有96页95此时此时,所以所以,第九十五页，本课件共有96页感谢大家观看第九十六页，本课件共有96页