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1、4.3.1 4.3.1 空间直角空间直角坐标系坐标系问题引入问题引入 1 1数轴数轴Ox上的点上的点M，用代数的方法怎样表示呢？用代数的方法怎样表示呢？2 2直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？怎样表示呢？数轴数轴Ox上的点上的点M，可用与它对应的实数可用与它对应的实数x表示；表示；直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数可用一对有序实数(x，y)表示表示xOyAOxxM(x,y)xy问题引入问题引入 3 3怎样确切的表示室内灯泡的位置？怎样确切的表示室内灯泡的位置？当建立空间直角坐标系后，空间中的点当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以用有序实数（可以用有
2、序实数（x，y，z）表示）表示OyxzMyxz（x，y，z）yxz 如图，如图，是单位正方体以是单位正方体以O为原点，分别以为原点，分别以射线射线OA,OC,的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC,的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x轴、轴、y 轴、轴、z 轴这时我们轴这时我们说建立了一个说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 ，其中点，其中点O 叫做坐标原叫做坐标原点，点，x轴、轴、y 轴、轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、平面、yOz平面、平面、zOx
3、平面平面空间直角坐标系空间直角坐标系ABCOxyz 设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点M分别作垂直分别作垂直于于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴轴于点于点P、Q和和R空间直角坐标系空间直角坐标系yxzMO 设点设点P、Q和和R在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点那么点M就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）MRQP 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以，我们可以在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴
4、上依次取坐标为x，y和和z的点的点P、Q和和R，分别过，分别过P、Q和和R各作各作一个平面，分别垂直于一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点确定的点MyxzMOMRQP空间直角坐标系空间直角坐标系yxzPMQOMR 这样空间一点这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来）来表示，有序实数组（表示，有序实数组（x，y，z）叫做点叫做点M 在此在此空空间直角坐标系中的坐标间直角坐标系中的坐标，记作，记作M（x，y，z）其中其中x叫做点叫做点M的的横坐标横坐
5、标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点M的的竖坐标竖坐标空间直角坐标系空间直角坐标系yxzABCO OABCABCD是单位正方体以是单位正方体以O为原点，分别以射为原点，分别以射线线OA,OC,OD的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC,OD的长为单的长为单位长，建立位长，建立空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz试试说出正方体的各个顶点说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上空间直角坐标系空间直角坐标系oxyz1.x轴与轴与y轴、轴、x轴与轴与z轴均成轴均成1350,而而z轴垂直于轴垂直于
6、y轴轴1351350 01351350 02.y轴和轴和z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y轴轴(或或z轴轴)的单位长度的一半的单位长度的一半空间直角坐标系的画法：空间直角坐标系的画法：OyxzACB典型例题典型例题写出四点写出四点D，C，A，B的坐标的坐标点点M(x,y,z)是空间直角坐标系是空间直角坐标系O-xyz中的一点中的一点(1)与点与点M关于关于x轴对称的点轴对称的点:(2)与点与点M关于关于y轴对称的点轴对称的点:(3)与点与点M关于关于z轴对称的点轴对称的点:(4)与点与点M关于原点对称的点关于原点对称的点:(x,-y,-z)(-x,y,-
7、z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)空间点的对称问题：空间点的对称问题：规律：规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。关于谁对称谁不变，其余的相反。点点M(x,y,z)是空间直角坐标系是空间直角坐标系O-xyz中的一点中的一点(5)与点与点M关于平面关于平面xOy的对称点的对称点:(x,y,-z)(-x,y,z)(x,-y,z)空间点的对称问题：空间点的对称问题：规律：规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。关于谁对称谁不变，其余的相反。(6)与点与点M关于平面关于平面yOz的对称点的对称点:(7)与点与点M关于平面关于平面zOx的对称点的对称点:例例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞
8、的示意结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子中色点代表钠原子，黑点代表氯原子典型例题典型例题 如图建立空间直角坐标如图建立空间直角坐标系系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标后，试写出全部钠原子所在位置的坐标xyzO在空间直角坐标系中点在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到到点点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？的距离，怎么求？两点间距离公式类比类比猜想猜想在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(x1，y1，z1)和点和点Q(x2
9、，y2，z2)的距离公式的距离公式:一、空间两点间的距离公式：一、空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和和点点Q(x2,y2,z2)的中点坐标的中点坐标(x,y,z):二、空间中点坐标公式：二、空间中点坐标公式：例例1:已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求，求:(1)三角形三边的边长；三角形三边的边长；(2)BC边上中线边上中线AM的长。的长。例例2:求证以求证以 ,三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.例例3:设设P在在x轴上，它到轴上，它到 的距离
10、为的距离为到点到点 的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P的坐标。的坐标。例例4:已知已知 ，在平面，在平面Oyz上是否存在一点上是否存在一点C，使，使 为等边三角为等边三角形，如果存在求形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。坐标，不存在说明理由。例例4:已知已知 ，在平面，在平面Oyz上是否存在一点上是否存在一点C，使，使 为等边三角为等边三角形，如果存在求形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。坐标，不存在说明理由。所以所以存在一点存在一点C，满足条件，满足条件.【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式空间中点坐标公式：空间中点坐标公式：空间直角坐标系空间直角坐标系空间中点的坐标空间中点的坐标