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1、复数的有关概念一一.虚数单位i(1)定义i2=-1，所以-1的平方根为i(2)i可以和实数进行四则运算，并适合交换律、结合律、分配律.(3)i的幂具有周期性：i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i,(nZ Z)2.复数的概念：形如z=a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，记Re(z)；b是复数z的虚部，记Im(z).复数的有关概念3复数的相等 两个复数的相等的充要条件是：当且仅当实部相等且虚部相等。设z1=a+bi,z2=c+di，（a,b,c,dR）当且仅当a=c，且b=d时，z1=z2.4复数的分类:复数数集之间有如下的关系：N Z Q R C。从
2、复数相等的定义,我们知道,任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有顺序的实数对(a,b)唯一的确定.这就可以借用平面直角坐标系来表示复数.yx0abZ=a+bi5复数的几何意义:点z的横坐标是a,纵坐标是b.复数z=a+bi可以用点z(a,b)来表示复数z=a+bi也可以用向量 OZ来表示。复数的有关概念复数的有关概念5复数的几何意义 复数z=a+bi对应于直角坐标平面上的点Z（a,b），复数也可以看成向量OZ。复平面：表示复数的直角坐标平面叫复平面。实轴就是x轴,虚轴就是y轴。实数与实轴上的点是一一对应；纯虚数对应的点在虚轴上,但虚轴上的点不一定就是纯虚数。复数集C复平面内所有点一一对应复数
3、的有关概念 6复数的模 复平面上复数表示的点到原点的距离。实数的绝对值是数轴上的点到原点的距离，所以复数的模是实数绝对值概念的扩充；两个复数差的模|z1-z2|可以理解为平面上两点间的距离。复数的模有：|z|=|a+bi|=0;|z|2=|z2|=|2=z =a2+b2Z=a+biyxO复数的有关概念7共轭复数：实部相等，虚部为相反数的两个复数叫互为共轭复数，z=a+bi,则 =a-bi8 复数的大小问题 在复数集中是不规定大小关系的。两个复数如果不全为实数，是不能比较它们的大小的。实数的共轭复数是它的本身。两个互为共轭复数在复平面上对应的关于实轴对称。例1.已知(2x-1)+i=y-(3-y
4、)i,其中x,yR.求x,y.解:根据复数相等的定义.得方程组 2x-1=y 1=-(3-y)x=5/2,y=4 例例2 2：计算：1+i+i2+i3+i55 分析一分析一 ：把上式看成一个以i为公比的等比数列,前56项的和，由等比数列的求和公式，原式原式=分析二分析二 ：因为i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，即i的连续四个幂的和等于0,从1到i55，共有56项，所以,原式=0 例例3 3：计算：ii2i3i99 解法一解法一 ：原式=i1+2+3+99 =i9950=(i50)99=(i2)99=-1 解法二：解法二：因为ii2i3i4 =i(-1)(-i)1=-1 原式=ii2i3
5、i99 =ii2i3(-1)16=-1例4.z=-(m2-4)i,(mR)(1)若zR R，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的取值范围；(3)若z在复平面上对应的点在第三象限求m的取值范围；(4)若z=-2，求m的取值范围解：（1）由m2-4=0,得;m=2；得:m=-；m(-,-2)(2,4)m=-2（3）（4）（2）例例5 5：判断对错(1)若z1，z2C，且z1z2，则z1-z20(2)若z1，z2C，且z1-z20，则z1z2(3)若ab，则a+ib+i(4)若zC C，且|z|1，则z-1，1；(5)若zC C，且|z-1|2=(z-1)2（6）若z1,z2C，且z12+z2
6、2=0的 充要条件是z1=z2=0。(1)对；(2)错；(3)错；(4)错；(5)错；(6)错；例6：下列四个命题中正确的命题是（A）2i-1的共轭复数是2i+1；（B）若两个复数的差是纯虚数，则它们一定为共轭复数；（C）若两个复数的和是实数，则它们为共轭复数；（D）若两个复数的和与积都是实数，则它们为共轭复数；例7：已知关于x、y的方程组有实数解，求实数的a、b值。解：x、y是实数，根据复数相等的条件，得方程：代入另一式：（5+4a）-(6+b)i=9-8i;a、b是实数，例8：已知虚数z，使得和 都为实数，求z.解：设z=x+yi(x,yR，且y0)，则 z2=x2-y2+2xyiz1R，
7、Im(z1)=0，又y0，x2+y2=1，同理，由z2R,Im(z2)=0.x2+2x+y2=0解得:x=-,y=；z=评析：复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法。桥梁是设复z=a+bi(a,bR），再根据复数相等的条件来解。例9:设xC，解方程x2+|x|=0分析分析:xR，因为x20，|x|0，所以x=0 xC C，显然这一解法就不完善因此在解题时，要充分考虑复数的特点 x2+|x|=0,x2=-|x|0，所以x是纯虚数，又|x2|=|x|，|x|=0或|x|=1，因此x=0，i例10：求同时满足两个条件的所有复数z.(1)1z+6；（2）z的实数和虚数都是整数。分析：由1z+6知：z+R，否则是不能与实数比较大小，所以，可以复数问题实数化来解决。解：设z=x+yi(x,yR)则：z+=x+yi+=(x+)+(y-)i，1z+6，得：y=0或x2+y2=10 若y=0，代入，得：16矛盾，y0;若x2+y2=10，代入，得：0.5x3，又x、y是整数 x=1或x=3，z=1i或z=33i。