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1、1.3.2 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值一、复习与引入一、复习与引入:上节课上节课,我们讲了利用函数的导数来研究我们讲了利用函数的导数来研究函数函数y=f(x)的单调性这个问题的单调性这个问题.其基本的步骤其基本的步骤为为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数f(x);解不等式解不等式f(x)0得得f(x)的单调递增区的单调递增区间间;解不等式解不等式f(x)f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内函数的极值点一定出现在区间的内部部,区间的端点不能成为极值点区间的端点不能成为极值点.而使函数取而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部得最大值、最小
2、值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点.在上节课中在上节课中,我们是利用函数的导数来我们是利用函数的导数来研究研究函数的单调性的函数的单调性的.下面下面我们我们利用函数的利用函数的导数来研究导数来研究函数的函数的极值问题极值问题.由上图可以看出由上图可以看出,在函数取得极值处在函数取得极值处,如果曲线有切线的话如果曲线有切线的话,则切线是水平的则切线是水平的,从从而有而有f(x)=0.但反过来不一定但反过来不一定.如函数如函数y=x3,在在x=0处处,曲线的切线是水曲线的切线是水平的平的,但这点的函数值既不比它附近的点但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大的函数值大,也
3、不比它附近的点的函数值小也不比它附近的点的函数值小.假设假设x0使使f(x)=0.那么在什么情况下那么在什么情况下x0是是f(x)的极值点呢？的极值点呢？o oaX00bxy 如上图所示如上图所示,若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点,则则x0两侧附近点的函数值必须小于两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此因此,x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是增函数只能是增函数,即即f(x)0;x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即f(x)0.oaX0bxy 同理同理,如上图所示如上图所示,若若x0是是f(x)极小值点极小值点,则在则在x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能
4、是减函数只能是减函数,即即f(x)0.从而我们得出结论从而我们得出结论:若若x0满足满足f(x)=0,且在且在x0的两侧的导数异号的两侧的导数异号,则则x0是是f(x)的极的极值点值点,f(x0)是极值是极值,并且如果并且如果f(x)在在x0两侧两侧满足满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)的极大值点的极大值点,f(x0)是极大值是极大值;如果如果f(x)在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,则则x0是是f(x)的极小值点的极小值点,f(x0)是是极小值极小值.从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看,曲线在极值点处曲线在极值点处切线的斜率为切线的斜率为0,并且并且,曲线在极大值点
5、左侧曲线在极大值点左侧切线的斜率为正切线的斜率为正,右侧为负右侧为负;曲线在极小值曲线在极小值点左侧切线的斜率为负点左侧切线的斜率为负,右侧为正右侧为正.一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:(1)如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f(x)0,右右侧侧f(x)0,那么那么,f(x0)是是极大值极大值;(2)如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么,f(x0)是是极小值极小值.如何求函数的最大（小）值呢？如何求函数的最大（小）值呢？假设假设y=f(x)在闭区间在闭区间a，b上的图象是上的图象是一
6、条连续不间断的曲线，则该函数在一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值，函数的一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使内的极值只可能在使f(x)=0的点取得，因此把函数在区间端的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使点的值与区间内使f(x)=0的点的值作比的点的值作比较，最大者必为函数在较，最大者必为函数在a，b上的最大值，上的最大值，最小者必为最小值。最小者必为最小值。求函数求函数y=f(x)在在a，b的的最大（小）值最大（小）值步骤如下：步骤如下
7、：（1）求函数）求函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内所有内所有使使f(x)=0的点；的点；（2）计算函数）计算函数f(x)在区间内使在区间内使f(x)=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。个为最大值，最小的一个为最小值。例例1已知函数已知函数y=x34x+4，（1）求函数的极值，并画出函数的大致）求函数的极值，并画出函数的大致图象；图象；（2）求函数在区间）求函数在区间3，4上的最大值和上的最大值和最小值最小值解：（解：（1）y=(x34x+4)=x24 =(x+2)(x2)令令y=0，解得，解得x1=2，x2=2x2
8、(2,2)2y+00+y 极大值极大值 极小值极小值 当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表的变化情况如下表:当当x=2时，时，y有极大值且有极大值且y极大值极大值=当当x=2时，时，y有极小值且有极小值且y极小值极小值=（2）f(3)=7，f(4)=9 =，与极值点的函数值比较得到该函数在区与极值点的函数值比较得到该函数在区间间3，4上上 最大值是最大值是9 ，最小值是最小值是例例2求求y=(x21)3+1的极值的极值.解：解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令令y=0解得解得x1=1，x2=0，x3=1.当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表的变化情况如下表:
9、x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y 无极值无极值 极小值极小值0 无极值无极值 当当x=0时，时，y有极小值且有极小值且y极小值极小值=0例例3求函数求函数y=x42x2+5在区间在区间2，2上的最大值与最小值上的最大值与最小值解：先求导数，得解：先求导数，得y=4x34x,令令y=0 即即4x34x=0，解得解得x1=1，x2=0，x3=1.导数导数y 的正负以及的正负以及f(2)，f(2)如下表：如下表：x2(2,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2y000y13 4 5 4 13 从上表知从上表知:当当x=2时，函数有最大值时，函数有最大值13，当当x=1
10、时，函数有最小值时，函数有最小值4 例例4 已知已知 ,(0,+).是否存在实数是否存在实数,使使f(x)同时满足下列两个条同时满足下列两个条件：件：（1）f(x)在在(0，1)上是减函数，在上是减函数，在1，+)上是增函数；上是增函数；（2）f(x)的最小值是的最小值是1，若存在，求出若存在，求出a,b，若不存在，说明理由，若不存在，说明理由.解：设解：设g(x)=f(x)在在(0，1)上是减函数，在上是减函数，在1,+)上上是增函数是增函数 g(x)在在(0，1)上是减函数，在上是减函数，在1,+)上上是增函数是增函数.所以所以即即解得解得 经检验，经检验，a=1,b=1时，时，f(x)满
11、足题设的满足题设的两个条件两个条件.练习题练习题1函数函数y=1+3xx3有有()(A)极小值极小值1，极大值，极大值1 (B)极小值极小值2，极大值，极大值3 (C)极小值极小值2，极大值，极大值2 (D)极小值极小值1，极大值，极大值3D2函数函数y(x21)31的极值点是的极值点是()(A)极大值点极大值点x=1 (B)极大值点极大值点x=0 (C)极小值点极小值点x=0 (D)极小值点极小值点x=1C3函数函数f(x)=x 的极值情况是的极值情况是()(A)当当x=1时取极小值时取极小值2，但无极大值，但无极大值 (B)当当x=1时取极大值时取极大值2，但无极小值，但无极小值 (C)当
12、当x=1时取极小值时取极小值2，当，当x=1时取时取极大值极大值2 (D)当当x=1时取极大值时取极大值2，当，当x=1时取时取极小值极小值2D4若函数若函数y=x3+ax2bx27在在x=3时有时有极大值，在极大值，在x=1时有极小值，则时有极小值，则a=；b=.395函数函数y=348xx3的的 极大值是极大值是 ,极小值是极小值是 y|x=4=125y|x=4=1316函数函数y=，当，当x=时取得极时取得极大值为大值为 ；当；当x=时取得极小时取得极小值为值为 .00247已知函数已知函数f(x)x3+ax2+bxa2在在x1处处有极值为有极值为10，求，求a，b的值的值a=4，b=11