《2.2.2《间接证明-反证法》课件(新人教选修2-2)..ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.2.2《间接证明-反证法》课件(新人教选修2-2)..ppt（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.2.22.2.2间接证明间接证明-反证法反证法一一.复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？（1 1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程（2 2）“两边凑两边凑”综合分析法综合分析法练习练习二二.练习练习思考？思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A
2、 A、B B都都撒谎。则撒谎。则C C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则C C真真;由由A A假假,知知B B真真.那么假设那么假设“C C没有撒谎没有撒谎”不成立不成立;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.那么那么A A假且假且B B假假;这与这与B B假矛盾假矛盾.推出矛盾推出矛盾.推翻假设推翻假设.原命题成立原命题成立.分析分析:由假设由假设反证法反证法 反证法：反证法：假设假设命题命题结论结论的的反面成立反面成立，经过正确的，经过正确的推理推理,引出引出矛盾矛盾，因此说明，因此说明假设错误假设错误,从而从而间接间接证明证明原命题成立原命题成
3、立,这样的的证明方法这样的的证明方法叫叫反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反把这种不是直接证明的方法称为把这种不是直接证明的方法称为间接证明间接证明（indirectproofindirectproof）.注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法请你请你概括反证法的证明过程：概括反证法的证明过程：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立，假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真即假设原结论的反面为真.归谬归谬从反设和已知条件出发，从反设和已知条件出发，经
4、过一系列正确的逻辑推理，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果得出矛盾结果.存真存真由矛盾结果，断定反设不真，由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立从而肯定原结论成立.请你请你概括反证法的证明过程：概括反证法的证明过程：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真归谬矛盾：归谬矛盾：（1 1）与已知条件）与已知条件矛盾矛盾；（2 2）与反设矛盾；）与反设矛盾；（3 3）与已有公理、定理、定义）与已有公理、定理、定义矛盾；矛盾；（4 4）自相矛盾。）自相矛盾。应用反证法的情形：应用反证法的情形：(1)(1)直接证明比较困难直接证明
5、比较困难;(2)(2)直接证明需分成很多类直接证明需分成很多类,而对立命而对立命题分类较少题分类较少;（3)3)结论有结论有“至少至少”,“至多至多”,“有无有无穷多个穷多个”之类字样之类字样（4 4）结论为）结论为 “唯一唯一”之之类的命题；类的命题；假设a，b，c三个数均不大于0 证明：证明：即a0，b0，c0，则abc0，(x1)2(y1)2(z1)23.0与假设矛盾，所以假设不成立故原命题成立 即a，b，c至少有一个大于0.解题反思：解题反思：证明本题时，你是怎么想到反证法的？证明本题时，你是怎么想到反证法的？反设时应注意什么？反设时应注意什么？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的反证
6、法中归谬是核心步骤，本题中得到的 逻辑矛盾归属哪一类？逻辑矛盾归属哪一类？例例2 2：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么例例2 2：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么解题反思：解题反思：证明该问题的关键要注意什么？证明该问题的关键要注意什么？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？（1 1）必须先否定结论，对于结论的）必须先否定结论，对于结论的反面出现多反面出现多种种可能，要可能，要逐一逐一论证，缺少任何一种可能，证论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的。明都是不完全的。解题反思：解题反思：用反证法证题要把握三点：三
7、维用反证法证题要把握三点：三维P49P49（2 2）反正法必须）反正法必须从否定结论进行推理从否定结论进行推理，且，且必须必须根据这一条件进行论证根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法（3 3）推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已）推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公里知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公里相违背等，但推导出的相违背等，但推导出的矛盾矛盾必须是必须是明显明显的。的。例3：求证：两条相交直线有且只有一个交点证明设两直线为a、b，假设结论不成立
8、，即有两种可能：无交点；不只有一个交点(1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾故假设不成立，原命题正确即两条相交直线有且只有一个交点本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？例例4 4 求证：求证：是无理数。是无理数。例例5、设、设a3+b3=2，求证，求证a+b2证明：假设证明：假设a+b2，则有，则有a2b，从而，从而 a3812b+6b2b3，a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.因为因为6(b1)2
9、+22，所以，所以a3+b32，这与题，这与题设条件设条件a3+b3=2矛盾，矛盾，所以，原不等式所以，原不等式a+b2成立。成立。练习.已知四面体SABC中，SA底面ABC，ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影求证：H不可能是SBC的垂心解题反思：解题反思：证明该问题的关键是哪一步？证明该问题的关键是哪一步？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？一、选择题1应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()结论相反判断，即假设原命题的结论公理、定理、定义等原命题的条件ABC D答案C解析由反证法的规则可知都可作为条件使用，故应选C.2命题“三角形
10、中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A两个内角是直角B有三个内角是直角C至少有两个内角是直角D没有一个内角是直角答案C解析“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.3如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个正数D两个都是负数答案C解析假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.归纳总结：归纳总结：1.1.哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或 含有“至多”
11、、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.2.2.归谬归谬是是“反证法反证法”的核心步骤，归谬的核心步骤，归谬得得 到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形情形.证证:假设这两个方程都没有实根假设这两个方程都没有实根,则则 10 且且 20,从而有从而有:1+20.又又1+2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p
12、22-2p1p2=(p1-p2)20,与与 1+20 矛盾矛盾.即即 1+20,假设不成立假设不成立.故这两个方程至少有一个有实根故这两个方程至少有一个有实根.4.若若 p1p2=2(q1+q2),证证明明关关于于 x 的的方方程程 x2+p1x+q1=0 与与 x2+p2x+q2=0 中中,至少有一个方程有实根至少有一个方程有实根.练习，练习，P教材教材91 4.设三个正数设三个正数 a,b,c 满足条件满足条件 +=2,求证求证:a,b,c 中至中至少有两个不小于少有两个不小于 1.b1a1c1a,b,c 三数均小于三数均小于 1,证证:假设假设 a,b,c 中至多有一个数不小于中至多有一
13、个数不小于 1,这包含两种情况这包含两种情况:即即 0a1,0b1,0c1,1,1,b1a1c1 +3,b1a1c1也与已知条件矛盾也与已知条件矛盾.a,b,c 中恰有两数小于中恰有两数小于 1,不妨不妨设设 0a1,0b1,1,b1a1c1 +2+2,b1a1c1假假设设不成立不成立.a,b,c 中至少有两个不小于中至少有两个不小于 1.证证:假设假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全小于全小于 ,即即:12-1+a+b 1212-4+2a+b 1212-9+3a+b 1212-a+b-3212-2a+b-9272-3a+b-2192173212由由式得式得-a-b ,与与式相加得式
14、相加得-4a-2 与与式相加得式相加得-6a-4 9272由由式得式得-2a-b ,显显然然与与矛盾矛盾,假设不成立假设不成立.故故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于 .12 3.设设 f(x)=x2+ax+b,求证求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不中至少有一个不小于小于 .12课堂练习课堂练习 1.已已知知 abc 0,求求证证:三三个个方方程程 ax2+bx+=0、bx2+cx+=0 与与a4c4cx2+ax+=0 中至少有一个方程有实数根中至少有一个方程有实数根.b4 2.对于函数对于函数 f(x)=x2+ax+b(a,
15、b R),当当 x-1,1 时时,|f(x)|的的最大值为最大值为 M,求证求证:M .123.方程方程 x2-mx+4=0 在在-1,1 上有解上有解,求实数求实数 m 的取值范围的取值范围.1.证证:设三个方程的判别式分别为设三个方程的判别式分别为1,2,3,由由 1+2+3=b2-ac+c2-ba+a2-cb=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 12即即 1+2+3 0.故所述三个方程中至少有一个方程有实数根故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.1,2,3 中至少有一个非负中至少有一个非负.2.对于函数对于函数 f(x)=x2+ax+b(a,b R),当当 x-1,1 时时,|
16、f(x)|的的最大值为最大值为 M,求证求证:M .12|f(-1)|=|1-a+b|.12证证:假设假设 M,则则|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|,121212121212|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|+2 +=2,即即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2.又又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,与与式式矛盾矛盾.假设不成立假设不成立.12 M.3.方程方程 x2-mx+4=0 在在-1,1 上有解上有解,求实数求实数 m 的取值范围的取值范围.解解:先考
17、虑先考虑 x2-mx+4=0 在在-1,1 上无解时上无解时 m 的取值范围的取值范围.包含两种情况包含两种情况:方程方程 x2-mx+4=0 无实数解无实数解;方程方程有实数解有实数解,但解不在但解不在 -1,1 上上.设设 f(x)=x2-mx+4,则则等价于等价于=m2-160;等价于等价于:0;0.0;1;2mf(1)0.或或-1 1;0;2mf(-1)0;f(1)0.或或 解得实数解得实数 m 取值的集合取值的集合 A=(-5,5).故所故所求实数求实数 m 的取值范围是的取值范围是:CRA=(-,-55,+).1.1.若若a0a0，证明：，证明：x x的方程的方程ax=bax=b有
18、且只有一个根有且只有一个根.2.2.证明：证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.练练 习习3.2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C，在b上任取两点B,D，试证：AB和CD也是异面直线.ADBCab用用反证法证明命题反证法证明命题“若若p p则则q q”的过程用框图的过程用框图表示为：表示为：肯定条件肯定条件p p否定结论否定结论q q导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾“p p且非且非q q”为为 假假“若若p p则则q q”为为 真真反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论的反
19、面成-立；立；（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -论正确论正确归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件）与已知条件矛盾矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义）与已有公理、定理、定义矛盾；矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。分析本题中，含有“至少存在一个”词，可考虑使用反证法点评1.反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的2对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法例4已知0 x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)，又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾，若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)，又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0时有f(x0)x0.点评(1)对于f(f(x0)的性质知之甚少，直接证明有困难，而用反证法，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能(2)反设中有两种情况，必须逐一否定