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1、反证法12/13/2022一、问题情境一、问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说出理由吗？你能对小华的判断说出理由吗？假设假设昨天晚上没有下雨，昨天晚上没有下雨，那么那么地上应是干的，这与早地上应是干的，这与早晨地上全湿了晨地上全湿了相矛盾相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。，所以说昨晚下雨是正确的。小华的理由：我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。12/13/2022例：甲命题例：甲命题“在在ABC中，如果中，如果ABc，BCa，CAb，且，且
2、C90，那么，那么abc”是真命题（勾股定理）是真命题（勾股定理）乙命题乙命题“在在ABC中，如果中，如果ABc，BCa，CAb，且，且C90，那么，那么abc”是真命是真命题吗？题吗？假设假设abc，根据勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，一定有一定有C90，这与已知条，这与已知条C90矛盾，因此，矛盾，因此，假设假设abc是错误的，于是可知是错误的，于是可知abc这就说明：命题这就说明：命题“在在ABC中，如果中，如果ABc，BCa，CAb，且，且C90，那么，那么abc”是真命题是真命题12/13/2022先先假设假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑结论的反面是正确的，然后通过逻辑推
3、推理理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相相矛盾矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确，说明假设不成立，从而得到原结论正确这种证明方法叫做这种证明方法叫做“反证法反证法”12/13/2022二、反证法的步骤二、反证法的步骤(1)从命题的结论的否定面出发；从命题的结论的否定面出发；(2)根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设；盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设
4、；(3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，其中推出矛盾是关键。肯定结论，其中推出矛盾是关键。12/13/2022万事开头难，让我们走好第一步！万事开头难，让我们走好第一步！写出下列各结论的反面：（1）a/b；（2）a0；（3）b是正数；（4）aba180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90这个假设不成立这个假设不成立.(2)由由90B180，90C180，则则A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不成立两个底角都是钝角这个假设也不成立故
5、原命题正确故原命题正确等腰三角形的底角必定是锐角等腰三角形的底角必定是锐角.说明说明：本例中：本例中“是锐角是锐角(小于小于90)”的反面有的反面有两种情况两种情况，这，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的此题是对反证法的进一步理解进一步理解.12/13/2022大家议一议！通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法？我来告诉你（经验之谈）我来告诉你（经验之谈）（1）以否定性判断作为结论的命题；）以否定性判断作为结论的命题；（2）以）以“至
6、多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式等形式陈述的命题；陈述的命题；（3）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题；结论的命题；（4）一些不等量命题的证明；）一些不等量命题的证明；（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等等.(如平行线的传递性的证明）如平行线的传递性的证明）12/13/2022注意注意:用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。的。12/13/2022