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1、2.3生活中的优化问题生活中的优化问题知识要点知识要点 生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。解决的基本高等问题，这些问题通常称为优化问题。解决的基本思路是思路是优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题的解答优化问题的解答用导数解决数学问题用导数解决数学问题例例1某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，每次都购买x吨，运费为吨，运费为4万元万元/次，一年的总存储费用为次，一年的总存储费用为4x万元，万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则要使一年的总费用与
2、总存储费用之和最小，则x=_吨吨令令y=0,得得x=200 x20时，时，y20时，时，y0 x=20是函数是函数y在在(0,+)内唯一极值点内唯一极值点x=20时时y最小最小例例1某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，每次都购买x吨，运费为吨，运费为4万元万元/次，一年的总存储费用为次，一年的总存储费用为4x万元，万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=_吨吨y有最小值有最小值160点评：实际问题的求解，首先要建立函数模点评：实际问题的求解，首先要建立函数模型，然后根据导数或不等式等方法，解决最型，然后根据导数或
3、不等式等方法，解决最值问题。值问题。例例2在半径为在半径为R的圆上取一个圆心角为的圆上取一个圆心角为(弧度弧度)的扇形的扇形卷成的卷成的圆锥圆锥，问问为为多大多大时时，圆锥圆锥的体的体积积最大？最大？解：设圆锥的底面半径为解：设圆锥的底面半径为r,高为高为h,体积为体积为V例例2在半径为在半径为R的圆上取一个圆心角为的圆上取一个圆心角为(弧度弧度)的扇形的扇形卷成的卷成的圆锥圆锥，问问为为多大多大时时，圆锥圆锥的体的体积积最大？最大？点评：本题涉及到的量有点评：本题涉及到的量有、r、h、V，关键，关键是把是把V表示成其中一个量的函数，然后利用导表示成其中一个量的函数，然后利用导数求解，对文科考
4、生可以转化为数求解，对文科考生可以转化为V的导数。的导数。(1)当汽车以当汽车以40千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？地要耗油多少升？(2)(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为多少升？油量最少，最少为多少升？1.(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为多少升？油量最少，最少为多少升？1.设耗油量为设耗油量为h(x)升升,依题意得依题意得1.令令h(x)=0,得得x=801.当当x(0,80)时，时
5、，h(x)0,h(x)是增函数是增函数1.所以，当所以，当x=80时，时，h(x)取极小值取极小值h(80)=11.251.因为因为h(x)在在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值上只有一个极小值，所以它是最小值点评：本题是根据经验公式建立耗油量的函点评：本题是根据经验公式建立耗油量的函数模型，然后利用导数求最小值，要求学生数模型，然后利用导数求最小值，要求学生具有函数、导数及其应用等基本知识和应用具有函数、导数及其应用等基本知识和应用数学知识分析和解决实际问题的能力。数学知识分析和解决实际问题的能力。例例4现有一张半径为现有一张半径为R的磁盘的磁盘,存储区是半径介于存储区是半径介于r
6、与与R的环行的环行区域区域.为了保障磁盘的分辨率为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于磁道之间的宽度必须大于m,最外面的磁道不存储任何信息，每比特最外面的磁道不存储任何信息，每比特(基本存储单位基本存储单位)所占所占有的磁道长度不得小于有的磁道长度不得小于n;如果每条磁道存储的信息与磁道的如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比长度成正比,那么那么(1)计算磁盘的存储量计算磁盘的存储量;(2)是不是是不是 r越小越小,磁盘的存储量越大磁盘的存储量越大?最大存储量是多少最大存储量是多少?解：解：(1)存存储量量应该是每一磁道的存是每一磁道的存储量的量的总和和由于磁道之由于磁道之间的的宽度不
7、得小于度不得小于m,且最外面的磁道不存且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道数最多可达任何信息，所以磁道数最多可达由于每比特所占有的磁道长度不得小于由于每比特所占有的磁道长度不得小于n，每条磁道存储的，每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比信息与磁道的长度成正比,所以第所以第k条磁道的存储量最多为条磁道的存储量最多为例例4现有一张半径为现有一张半径为R的磁盘的磁盘,存储区是半径介于存储区是半径介于r与与R的环行的环行区域区域.为了保障磁盘的分辨率为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于磁道之间的宽度必须大于m,最外面的磁道不存储任何信息，每比特最外面的磁道不存储任何信息，每比特(基本存储单位
8、基本存储单位)所占所占有的磁道长度不得小于有的磁道长度不得小于n;如果每条磁道存储的信息与磁道的如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比长度成正比,那么那么(1)计算磁盘的存储量计算磁盘的存储量;所以磁道所以磁道总存存储量量例例4现有一张半径为现有一张半径为R的磁盘的磁盘,存储区是半径介于存储区是半径介于r与与R的环行的环行区域区域.为了保障磁盘的分辨率为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于磁道之间的宽度必须大于m,最外面的磁道不存储任何信息，每比特最外面的磁道不存储任何信息，每比特(基本存储单位基本存储单位)所占所占有的磁道长度不得小于有的磁道长度不得小于n;如果每条磁道存储的信息与磁
9、道的如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比长度成正比,那么那么(2)是不是是不是 r越小越小,磁盘的存储量越大磁盘的存储量越大?最大存储量是多少最大存储量是多少?所以不是所以不是 r越小越小,磁盘的存储量越大磁盘的存储量越大点评：本题的生活背景具有时代信息，是数点评：本题的生活背景具有时代信息，是数列，函数的综合应用题，关键要求出磁道数，列，函数的综合应用题，关键要求出磁道数，及每一道的存储量，然后表示磁盘存储量，及每一道的存储量，然后表示磁盘存储量，再利用导数解决问题。再利用导数解决问题。例例5:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮的四角切去相等方形铁皮的四角切去相等的正方形的正方形
10、,再把它的边沿虚再把它的边沿虚线折起线折起(如图如图),做成一个无做成一个无盖的方底箱子盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为多少时多少时,箱子的容积最大箱子的容积最大?最大容积是多少最大容积是多少?解解:设箱底边长为设箱底边长为x cm,则箱高则箱高h=(60-x)/2 cm.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱箱子的容积很小子的容积很小,因此因此,且且V(40)=16000 是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子
11、容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.注意：注意：题中有单位时在题中有单位时在假设和答中假设和答中均要均要写单位写单位，在，在说说明取得最值明取得最值的时候可以利用问题的实际意义来说明，的时候可以利用问题的实际意义来说明，也可以直接利用函数的单调性来说明，后面一定要也可以直接利用函数的单调性来说明，后面一定要答答！例例6:如图如图,铁路线上铁路线上AB段长段长 100km,工厂工厂C到铁路的到铁路的 距离距离CA=20km.现在要现在要 在在AB上某一处上某一处D,向向C修修 一条公路一条公路.已知铁路每吨已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料为了使原料 从供应站从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省的运费最省,D应修在何处应修在何处?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千则公路上每吨千米的运费为米的运费为5t元元.这样这样,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂运到工厂C的总运费为的总运费为令令 ,在在 的范围内有的范围内有唯一解唯一解x=15.所以所以,当当x=15(km),即即D点选在距点选在距A点点15千米时千米时,总运总运费最省费最省.