2.3-2.4 分块矩阵.ppt

《2.3-2.4 分块矩阵.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.3-2.4 分块矩阵.ppt（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 一一.基本概念基本概念 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 1 0 4 50 1 0 4 50 0 1 7 60 0 1 7 63 2 1 0 03 2 1 0 06 5 4 0 06 5 4 0 02.3 分块矩阵分块矩阵 1 0 01 0 0 1 2 1 2 0 1 00 1 0 4 5 4 50 0 10 0 1 7 6 7 63 2 1 3 2 1 0 00 06 5 4 6 5 4 0 00 0=E3 B C O2分块矩阵分块矩阵(partitioned matrix)第二章第二章第

2、二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 A=A1,A2,An.二二.常用的分块法常用的分块法 1.A=a11 a21 am1 a12 a22 am2 a1n a2n amn ,A1=,a11 a21 am1 An=,a1n a2n amn A2=,a12 a22 am2 2.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 1=a11,a12,a1n,1 2 mA=.2.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A=2=a21,a22,a2n,m=am1,am2,amn,第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3

3、 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 A A=A A1 1 O O O OO O A A2 2 O O O O O O A As s,称为称为分块对角矩阵分块对角矩阵(或或准对角矩阵准对角矩阵),其中其中A1,A2,As都是方阵都是方阵.2.分块对角矩阵分块对角矩阵(semi-diagonal matrix)例如例如 2 1 02 1 0 0 0 0 0 0 2 10 2 1 0 0 0 0 0 0 20 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 3 4 3 4.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块

4、矩阵 三三.基本运算基本运算 1.分块加法分块加法 A A=A A1111 A A1212 A A1 1r rA A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr,B B=B B1111 B B1212 B B1 1r rB B2121 B B2222 B B2 2r r B Bs s1 1 B Bs s2 2 B Bsrsr,A A1111+B B1111 A A1212+B B1212 A A1 1r r+B B1 1r r A A2121+B B2121 A A2222+B B2222 A A2 2r r+B B2 2r r A As

5、 s1 1+B Bs s1 1 A As s2 2+B Bs s2 2 A Asrsr +B Bsrsr .A A+B B=第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A=A A1111 A A1212 A A1 1r rA A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr,为常数为常数为常数为常数.A A1111 A A1212 A A1 1r r A A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr.则则则则 A A=2.分块数乘分块数乘 2.3 2.3

6、分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1、，为同型矩阵，则为同型矩阵，则、，设分块对角矩阵运算性质分块对角矩阵运算性质：2.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2、3、2.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 例例5 设设求求解解2.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 解：解：例例62.3 2.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变

7、换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2x1 3x2+4x3=4 x1+2x2 x3 =3 2x1+2x2 6x3=2 一一.初等变换初等变换 公元前公元前1世纪世纪,九章算术九章算术 初等变换初等变换,相当于相当于高斯消元法高斯消元法 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3=4 4 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 2 2x x1 1+2+2x

8、 x2 2 6 6x x3 3=2 2 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3=4=4 x x1 1+x x2 2 3 3x x3 3=1 1 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 x x2 2 2 2x x3 3=2 2 2 2 (1)1)x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 0 0=0 0 1/2 1/2 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 2 2 6

9、6 2 2轻轻轻轻装装装装上上上上阵阵阵阵 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 (1)1)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2

10、 0 0=0 0 (2)2)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1 5 5x x3 3=1 1 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 0 0=0 0 (2)2)1 1 0 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1=5=5c c+1 1x x2 2=2 2c c 2 2 x x3 3=c c其中其中c为任意实数为任意实数.1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (2)2)2 2 1 0 1 0 5 5 1 1 0

11、 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (1)1)5 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Gauss-Jordan reduction第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1.初等行变换初等行变换(elementary row operations)初等列变换初等列变换(elementary column operations)(1)对换变换对换变换:ri rj,(2)倍乘变换倍乘变换:ri k,(3)倍加变换倍加

12、变换:ri+krj.初等变换初等变换(1)对换变换对换变换:ci cj,(2)倍乘变换倍乘变换:ci k,(3)倍加变换倍加变换:ci+kcj.初等行变换初等行变换 初等列变换初等列变换 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 若矩阵若矩阵A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为B,则称则称A与与 B等价等价(equivalent).记为记为A B.(1)反身性反身性(reflexivity)A A,容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质:(2)对称性对称性

13、(symmetry)A B B A,(3)传递性传递性(transitivity)A B,B C A C.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2.行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵 A 中非零行的数目为中非零行的数目为A的的阶梯数阶梯数.1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,行阶梯形行阶梯形(row echelon form)注意注意 不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵!

14、1 1 0 0 40 1 0 2 20 2 0 2 30 0 0 0 4第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 则称则称A为为行最简形行最简形(reduced reduced row row echelon formechelon form).如果阶梯阵如果阶梯阵A还满足如下条件还满足如下条件 各非零行有元素各非零行有元素1,非零行非零行1所在列的其余元素全为所在列的其余元素全为0,1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0注注1:用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明

15、:任何一个矩阵都任何一个矩阵都 可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为行最简形变换化为行最简形 矩阵矩阵.例如例如 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 3.若若m n矩阵矩阵 A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为 Er Or(n r)O(m r)r O(m r)(n r)的形式的形式,为为A的的(等价等价)标准形标准形 则称则称 注注2:用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都任何一个矩阵都 可以经过有限次初等变换化为标准形可以经过有限次初等变换化为标准形.(c

16、anonical form).第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 每个矩阵都可以经过有限次初等行变换每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵。进而化为行最简阶梯形矩阵。例4 设试用初等行变换将试用初等行变换将A A化为行阶梯形，化为行阶梯形，进而化为行最简简阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。注注1：2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 解解2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 第二章第二章第二章第二

17、章 矩阵矩阵矩阵矩阵 继续使用初等行变换，将继续使用初等行变换，将继续使用初等行变换，将继续使用初等行变换，将B B B B 化为行最简阶梯形矩阵化为行最简阶梯形矩阵化为行最简阶梯形矩阵化为行最简阶梯形矩阵2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 注：矩阵的初等变换是可逆的2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 二二.初等矩阵初等矩阵(elementary reduction matrices)E ci cj E(i,j)E ci k E(i(k)E c

18、i+kcj E(j,i(k)E ri rj E(i,j)(1)E ri k E(i(k)(2)E ri+krj E(i,j(k)(3)一次初等变换一次初等变换一次初等变换一次初等变换 1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i,j)=第第第第i i行行行行1 1 0 11 01 1 1 1 第第第第j j行行行行第第第第i i列列列列第第第第j j列列列列第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换

19、与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i(k)=第第第第i i行行行行1 k 1 1 第第第第i i列列列列1 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i,j(k)=第第第第i i行行行行 1 k 1 1 第第第第j j行行行行 第第第第i i列列列列第第第第j j列列列列1 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 0 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 1a b ca b cx y zx

20、y z1 2 31 2 3,=x y zx y za b ca b c1 2 31 2 30 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 1a a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3,=x x a a 1 1y y b b 2 2z z c c 3 31 1 k k 0 00 1 00 1 00 0 10 0 1a b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3,=a a+k+kx x b b+k+ky y c c+k+kz z x y z x y z 1 2 3 1 2 31 1 k k 0 00 1 00 1 00 0 10 0 1a a x x

21、 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3.=a a a ak+k+x x 1 1b b b bk+k+y y 2 2c c c ck+k+z z 3 31 0 01 0 00 1 00 1 00 0 0 0 k ka b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3,=a a b cb cx x y zy zk k 2 2k k 3 3k k1 0 01 0 00 1 00 1 00 0 0 0 k ka a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3,=a a x x k kb b y y 2 2k kc c z z 3 3k k第二章第二章第二章第二章

22、矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2.初等矩阵的性质初等矩阵的性质 定理定理1.1.对对m n矩阵矩阵A进行一次初等进行一次初等行行变换变换 相当于在相当于在A的的左左边乘以相应的初等边乘以相应的初等 矩阵矩阵;对对A施行一次初等施行一次初等列列变换相变换相 当于在当于在A的的右右边乘以相应的初等矩边乘以相应的初等矩 阵阵.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 定理定理1.2.m n

23、矩阵矩阵A,m阶初等矩阵阶初等矩阵 P1,P2,Ps s.t.P1P2PsA为行最简形为行最简形.例如例如,0 0 1 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 0 0 1 1 2 2 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 (2)2)1 1 0 0 5 5 0 0 1 1 2 2 A=A 0 0 1 1 1 0 1 0=A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1=1 1 2 2 0 1 0 1 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初

24、等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 定理定理1.3.m n矩阵矩阵A,m阶初等矩阵阶初等矩阵P1,P2,Ps 及及m阶初等矩阵阶初等矩阵 Q1,Q2,Qt s.t.P1P2PsAQ1Q2Qt=E ,mm n n (r r)其中其中r为一个不超过为一个不超过minm,n的非负的非负 整数整数.定理定理定理定理1.61.6 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 例如例如,0 0 1 1 2 2 2 4 2 4 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2

25、 2 1 1 0 0 5 5 0 0 1 1 2 2 A=A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1=1 1 2 2 0 1 0 1 初等初等初等初等 行变换行变换行变换行变换 5 5 (2)2)1 1 0 5 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 1 1 2 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 5 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 1 1 2 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 0 1 0 0 1