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1、3.3.3 最大值与最小值最大值与最小值江苏如东马塘中学江苏如东马塘中学 张伟锋张伟锋一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，如果及其附近有定义，如果f f(x(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都大，我们就说附近所有各点的函数值都大，我们就说f f(x(x0 0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值，记作，记作y y极大值极大值=f(x=f(x0 0)，x x0 0是极是极大值点大值点。如果。如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都附近所有各点的函数值都小，我们就说小，我们就说f(xf(x0
2、0)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。记作。记作y y极小值极小值=f=f(x(x0 0)，x x0 0是极小值点是极小值点。极大值与极小值。极大值与极小值统称为极值统称为极值.一、函数极值的定义一、函数极值的定义知知 识识 回回 顾顾1 1、在在定定义义中中，取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点，极极值值点点是是自自变变量量(x)(x)的值，的值，极值极值指的是指的是函数值函数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个局部局部概念，极值只概念，极值只是某个点的函数值与它是某个点的函数值与它附近点附近点的函的函数值比较是最大或最小数值比较是最大或最小,并并不意味不意味着
3、它在函数的整个的定义域内最大着它在函数的整个的定义域内最大或最小。或最小。3 3、函数的、函数的极值不是唯一极值不是唯一的即一个的即一个函数在某区间上或定义域内极大值函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。或极小值可以不止一个。4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的系即一个函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值，如下图所示，如下图所示，是极大值点，是极大值点，是极小值是极小值点，而点，而 (3)(3)用用函函数数的的导导数数为为0 0的的点点，顺顺次次将将函函数数的的定定义义区区间间分分成成若若干干小小开开区区间间，并并列列
4、成成表表格格.检检查查f f(x x)在在方方程程根根左左右右的的值的符号，求出极大值和极小值值的符号，求出极大值和极小值.二、二、求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤:(1)(1)求导数求导数f(xf(x););(2)(2)求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根(x(x为极值点为极值点.).)注意注意:如果函数如果函数f(x)f(x)在在x x0 0处取得极值处取得极值,意味着意味着如如y=xy=x3 3反之不一定成立！反之不一定成立！一一.最值的概念最值的概念(最大值与最小值最大值与最小值)新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0
5、 0,使使得对任意的得对任意的xxI,总有总有f(x)f(xf(x)f(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值.最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的.1.1.在定义域内在定义域内,最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一;注意注意:2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.二二.如何求函数的最值如何求函数的最值?(1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性;(2)(2)利用函数的图象利用函数的图象;(3)(3)利用函数的导数利用函数的导数;如如:求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,
6、3上的最值上的最值.如如:求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值.(2)(2)将将y=y=f(xf(x)的的各各极极值值与与f f(a)(a)、f(bf(b)比比较较，其其中中最最大大的的一一个个为为最最大大值，最小的一个为最小值值，最小的一个为最小值 (1)(1)求求f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)利用导数求函数利用导数求函数f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 上最值的步骤上最值的步骤:例例1 1、求函数求函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解:f(x)=2x-4f(x)=2x-4令令f(xf(x)=0)=0，即即2x2x4=04=0，得得x=2x=2x x-1-1（-1,21,2）2 2（2 2，4 4）4 40 0-+8 83-1 故故函函数数f f(x)(x)在在区区间间-1-1，44内内的的最最大大值为值为8 8，最小值为最小值为-1-1 函数函数 ，在，在1 1，1 1上的最小值为上的最小值为()()A.0 B.A.0 B.2 C.2 C.1 1D.13/12D.13/12A A练练 习习例例2 2、解：解：变式变式练习练习:P77P777878