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1、2.2 2.2 直接证明与直接证明与直接证明与直接证明与间接证明间接证明间接证明间接证明2.2.2 反反 证证 法法复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求思路寻求思路，再由综合法，再由综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件（1 1）如果有）如果有5 5只鸽子飞进两只鸽笼，至少只鸽子
2、飞进两只鸽笼，至少有有3 3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2 2）A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析:假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则A A、B B都撒谎都撒谎.由由A A撒谎撒谎,知知B B没有没有撒谎撒谎.那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾.思考？思考？假设假设命题结论的命题结论的反面成立反面成立，经过正确的推理，经过正确的推
3、理,引出矛盾引出矛盾，因此说明假设错误，因此说明假设错误,从而证明原命题成从而证明原命题成立立,这样的的证明方法叫反证法。这样的的证明方法叫反证法。正难则反正难则反基本步骤：(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.归缪的矛盾一般有：归缪的矛盾一般有：(1)(1)与已知条件与已知条件矛盾矛盾；(2)(2)与已有公理、定理、定义与已有公理、定理、定义矛盾；矛盾；(3)(3)自相矛盾。自相矛盾。适宜的题型适宜的题型:(1)(1)直接证明困难直接证明困难 (2)(2)分类过多分类过多 (3)(3)
4、结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“无穷多个无穷多个”类的类的命题；命题；(4)(4)结论为结论为“唯一唯一”类命题；类命题；例例1 1：已知：整数已知：整数a a的平方能被的平方能被2 2整除，整除，求证：求证：a a是偶数。是偶数。证明：证明：假设假设a a不是偶数，不是偶数，则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数)a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以假设不成立，所以a a是偶数。是偶
5、数。注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维方，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。例题例题反证法的证明过程：反证法的证明过程：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理，得出得出矛盾矛盾；用用反证法证明命题的过程用框
6、图表示为：反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立例例2 2：已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。证明：由于证明：由于a 0a 0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=b/ax=b/a，注注:若若结论中有且只有结论中有且只有(有且仅有有且仅有)，唯一存在等语，唯一存在等语句句,是是唯一性问题唯一性问题,则常用反证法，既要证明存在则常用反证法，既要证明存在性，又要证明唯一性。性，又要证明唯一性。如果方程不只一个根，如果方程不只一个根，不妨设
7、不妨设x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2)是是方程的两个根方程的两个根.用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 2 2证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC,DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ABCD是平行四边形是平行四边形所以所以因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接
8、四边形所以所以因此因此所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 2 2由于由于P点点一定不是圆心一定不是圆心O，连结连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平
9、分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，练习：练习：例例4 4：已知已知x0,y0 x0,y0，x+yx+y22，求证：求证：中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。分析：分析：所谓至少有一个所谓至少有一个,就是不可能没有就是不可能没有,要证要证“至少有一个至少有一个”只要证明它的反面只要证明它的反面“所有所有都都”不成不成立即可立即可.注注:“至少至少”、“至多至多”型命题型命题常用反证法常用反证法 归纳总结：归纳总结：三
10、个步骤：三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件）与已知条件矛盾矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义）与已有公理、定理、定义矛盾；矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立），经过正确的推理，经过正确的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!归纳总结：归纳总结：哪些命题适宜
11、用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一”（3）唯一性命题）唯一性命题（2）否定性命题）否定性命题（4）至多，至少型命题）至多，至少型命题推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构例例1 1用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么注：注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。补充补充例题例题 练习练习 求证：求证：是无理数。是无理数。