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1、2.2.1综合法和分析法综合法和分析法问题问题1：本题的条件和结论是什么？：本题的条件和结论是什么？问题问题2：本题的证明顺序是什么？：本题的证明顺序是什么？提示：提示：从已知利用基本不等式到待证结论从已知利用基本不等式到待证结论 1综合法的定义综合法的定义 利用利用 和某些数学和某些数学 、等，经等，经过一系列的过一系列的 ，最后推导出所要证明的，最后推导出所要证明的 成立，这成立，这种证明方法叫做综合法种证明方法叫做综合法 2综合法的框图表示综合法的框图表示已知条件已知条件定义定义推理论证推理论证结论结论定理定理公理公理 (P表示表示 、已有的、已有的 、等，等，Q表示所要表示所要 )已知
2、条件已知条件定义定义定理定理公理公理证明的结论证明的结论问题问题1：本题证明从哪里开始？：本题证明从哪里开始？提示：提示：从结论开始从结论开始问题问题2：证题思路是什么？：证题思路是什么？提示：提示：寻求每一步成立的充分条件寻求每一步成立的充分条件 1分析法的定义分析法的定义 从从 出发，逐步寻求使它成立的出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(、等等)为止，这种证明方法叫为止，这种证明方法叫做分析法做分析法 2分析法的框图表示分析法的框图表示要证明的结论要证明的结论充分条件充分条件已知条件已知条件定
3、理定理定义定义公理公理 1综合法是从综合法是从“已知已知”看看“可知可知”逐步推向未知，由因导逐步推向未知，由因导果，通过逐步推理寻找问题成立的必要条件它的证明格果，通过逐步推理寻找问题成立的必要条件它的证明格式为：因为式为：因为，所以，所以，所以，所以，所以所以成立成立 2分析法证明问题时，是从分析法证明问题时，是从“未知未知”看看“需知需知”，执果索，执果索因，逐步靠拢因，逐步靠拢“已知已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件它的证明格式：要证分条件它的证明格式：要证，只需证，只需证，只需证，只需证，因为因为成立，所以成立，所以成立成立 一点通一点通综合
4、法不但是数学证明中的重要方法之一，也综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其它解答题步骤书写的重要方法，其特点是是其它解答题步骤书写的重要方法，其特点是“由因导由因导果果”综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等，其证明问题的一般步骤为：数列问题、函数问题等等，其证明问题的一般步骤为：第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件包括隐含条
5、件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法 第二步：转化条件，组织过程第二步：转化条件，组织过程.把题目的已知条件，转把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路晰的思路 第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进
6、行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取思总结解题方法的选取1已知数列已知数列an中，中，a11，且，且(n1)an，(n2)an1，n成等差数列，成等差数列，bn(n1)ann2.(1)求证：数列求证：数列bn是等比数列；是等比数列；(2)求求an的通项公式的通项公式2如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是是PC的中点的中点(1)证明：证明：CDAE；(2)证明：证明：PD平面平面ABE.证明：证明：(1)在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，PA
7、底面底面ABCD，CD平面平面ABCD，故故PACD.ACCD，PAACA，CD平面平面PAC.而而AE平面平面PAC，CDAE.(2)由由PAABBC，ABC60，可得，可得ACPA，E是是PC的中点，的中点，AEPC.由由(1)知，知，AECD，且且PCCDC，AE平面平面PCD.而而PD平面平面PCD，AEPD.PA底面底面ABCD，PAAB又又ABAD，AB平面平面PAD，ABPD.又又ABAEA，综上得综上得PD平面平面ABE.一点通一点通 (1)从本例中可以看出，已知条件简单而证明的结论比从本例中可以看出，已知条件简单而证明的结论比较复杂，这时我们一般采用分析法，在叙述过程中较复杂
8、，这时我们一般采用分析法，在叙述过程中“要证要证”“只需证只需证”“即要证即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误这些词语必不可少，否则会出现错误 (2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解问题顺利获解 例例3(12分分)已知已知ABC的三个内角的三个内角A，B，C为等差为等差数列，且数列，且a，b，c分别为角分别为角A，B，C的对边，的对边，求证：求证：(ab)1(bc)13(abc)1.一点通一点通综合法和分析法各有优缺点从寻求
9、解题综合法和分析法各有优缺点从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞冗长也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表琐，文辞冗长也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程理地表述解答过程6设设a，b(0，)，且，且ab，求证：，
10、求证：a3b3a2bab2.证明：法一：证明：法一：(分析法分析法)要证要证a3b3a2bab2成立，成立，即需证即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立成立又因又因ab0，故只需证故只需证a2abb2ab成立，成立，即需证即需证a22abb20成立，即需证成立，即需证(ab)20成立成立而依题设而依题设ab，则，则(ab)20显然成立显然成立由此命题得证由此命题得证法二：法二：(综合法综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.a0，b0，ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)a3b3a2bab2.1综合法适用的范围综合法适用的范围 (1)定义明确的题型，如证
11、明函数的单调性、奇偶性，求定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；证无条件的等式或不等式问题等；(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型近欲得结论的题型 2分析法适用的范围分析法适用的范围 分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题而结论式子较复杂的问题3综合法与分析法的比较综合法与分析法的比较 比比较较综综合法合法分析法分析法推理方向推理方向顺顺推，由因推，由因导导果果逆推，逆推，执执果索因果索因表述形式表述形式形式形式简洁简洁，条理清晰，条理清晰叙述繁叙述繁琐琐，易出，易出错错思考的思考的侧侧重点重点侧侧重于已知条件重于已知条件提供的信息提供的信息侧侧重于重于结论结论提供的信息提供的信息点点击击下下图进图进入入“应应用用创创新演新演练练”