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1、交换理论基础交换理论基础1.基本要求基本要求（1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。（2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定 义、计算。义、计算。（3）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。（4）掌握等待制交换系统的基本理论。）掌握等待制交换系统的基本理论。2.重点、难点重点、难点 重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待 制交换系统的基
2、本理论。制交换系统的基本理论。难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者 之间的关系。之间的关系。3.说明说明 交交换换理理论论基基础础部部分分概概念念和和公公式式较较多多，力力求求理理解解公公式式推推导导过过程程，掌握重要结论。掌握重要结论。2关于关于“交换理论交换理论”交交换换理理论论是是随随着着电电话话交交换换技技术术的的应应用用和和发发展展而而产产生生的的一一门门学学科科。它它的的任任务务是是研研究究电电话话负负载载、电电话话交交换换系系统统结结构构和和服服务务质质量量之之间间的数量关系的数量关系,提供最优系统设计理论和方法
3、提供最优系统设计理论和方法。交交换换理理论论的的研研究究对对象象不不仅仅限限于于电电话话交交换换系系统统，其其原原理理和和方方法法还还应应用用于于其其他他各各类类信信息息交换系统。交换系统。3 通通信信网网络络与与交交换换机机是是典典型型的的服服务务系系统统。它它们们利利用用所所拥拥有有的的资资源源（信信道道带带宽宽资资源源、计计算算资资源源、存存储储资资源源等等）或或设设备备为为用用户户提提供供服服务务，并并满满足足特特定定的的服服务务质质量量要要求求。因因为为用用户户的的服服务务需需求求是是随随机机发发生生的的，每每次次服服务务占占用用资资源源的的时时间间也也是是随随机机的的，所所以以这这
4、是是一一种种随随机机服服务务系统系统，需要借助于，需要借助于概率论概率论及及随机过程随机过程的理论。的理论。交换理论研究方法交换理论研究方法 4 对对于于电电路路交交换换系系统统而而言言，它它们们的的服服务务对对象象是是用用户户的的呼呼叫叫。根根据据其其交交换换机机制制，在在电电路路连连接接建建立立以以后后交交换换时时延延可可以以忽忽略略不不计计。但但呼呼叫叫到到达达时时刻刻和和持持续续时时间间的的随随机机性性导导致致交交换换服服务务设设备备忙忙闲闲状状态态的的不不确确定定性性，当当服服务务设设备备处处于于全全忙忙状状态态时时，新新到到达达的的呼呼叫叫就就不不能能得得到到服服务务。所所以以其其
5、主主要的要的QoS指标是呼叫的损失率，简称指标是呼叫的损失率，简称呼损呼损率。率。对对于于分分组组交交换换系系统统而而言言，它它们们的的服服务务对对象象是是分分组组，它它的的交交换换机机制制是是存存储储转转发发。所所以以分分组组交交换换系系统统的的主主要要QoS指指标标是是分分组组的的转转发发时时延延和和丢失率丢失率。5交换理论研究方法交换理论研究方法(续续)2.1 概率论与随机过程概率论与随机过程 二二项项分分布布：交交换换系系统统中中的的各各种种服服务务设设备备，如如各各级级交交换换单单元元的的输输入入输输出出链链路路、交交换换机机的的中中继继线线等等，这这些些设设备备的占用情况往往可以用
6、二项分布来分析。的占用情况往往可以用二项分布来分析。泊泊松松分分布布：在在实实际际问问题题中中，有有许许多多随随机机变变量量服服从从泊泊松松分分布布。例例如如，一一段段时时间间内内电电话话局局收收到到的的呼呼叫叫次次数数，某某路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。概概率率论论与与随随机机过过程程是是研研究究随随机机现现象象的的数数学学工工具具，内内容容十十分分丰丰富富，本本节节主主要要介介绍绍与与交交换换理理论论密密切切相相关关的的内容，包括：内容，包括：6指指数数分分布布：在在交交换换理理论论中中，有有两两种种很很重重要要的的随随机机变变量量服服
7、从从指指数数分分布布，这这就就是是两两个个相相邻邻呼呼叫叫的的间间隔隔时间和电话呼叫的占用时长。时间和电话呼叫的占用时长。随随机机过过程程：随随机机过过程程理理论论的的内内容容极极为为广广泛泛，与与交交换换理理论论密密切切相相关关的的是是马马尔尔可可夫夫过过程程，尤尤其其是是马马尔尔可可夫夫过过程程的的特特殊殊情情况况，即即泊泊松松过过程程和和增增消消过过程程（生灭过程生灭过程）。72.2 通信业务量通信业务量 通通信信业业务务量量是是衡衡量量交交换换系系统统在在一一定定时时间间内内提提供供的的服服务务数数量量的的指指标标，是是学学习习交交换换理理论论首首先先必必须须掌掌握握的一个重要概念，也
8、是交换理论研究的对象之一。的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。业业务务量量又又称称为为业业务务负负载载。在在一一个个交交换换系系统统中中，我我们们把把请请求求服服务务的的用用户户称称为为业业务务源源（负负载载源源），而而把把为为业业务务源源提提供供服服务务的的设设备备（如如接接续续网网络络中中的的内内部部链路、中继线、信令处理器等）称为链路、中继线、信令处理器等）称为服务器服务器。82.2.1 话务量的概念话务量的概念 电电话话通通信信的的业业务务源源，简简称称话话源源；电电话话通通信信的的业业务务量，通常称为量，通常称为话务量话务量。我我们们来来分分析析决决定定话话务务量量大大小小的
9、的因因素素。首首先先，话话务务量量与与所所考考察察的的时时间间有有关关，显显然然考考察察时时间间越越长长，这这段段时时间间里里发发生生的的呼呼叫叫就就越越多多，因因而而话话务务量量就就越越大大。其其次次，影影响响话话务务量量大大小小的的是是呼呼叫叫强强度度，也也就就是是单单位位时时间间里里发发生生的的平平均均呼呼叫叫数数，呼呼叫叫强强度度越越大大，话话务务量量就就越越大大。再再者者，每每个个呼呼叫叫占占用用设设备备的的时时长长也也是是影影响响话话务务量量大大小小的的一一个个因因素素。在在相相同同的的考考察察时时间间和和呼呼叫叫强强度度情情况况下下，每每个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。个呼叫
10、的占用时间越长，话务量就越大。9 如如果果用用Y表表示示话话务务量量，用用T表表示示计计算算话话务务量量的的时时间间范范围围，用用表表示示呼呼叫叫强强度度，用用S表表示示呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长，则话务量可表示为：长，则话务量可表示为：影影响响话话务务量量的的第第一一因因素素是是时时间间，话话务务量量计计算算中中的的各各个个参参数数都都与与时时间间有有关关。Y的的单单位位取取决决于于S的的单单位位，当当S用用不不同同的的时时间间单单位位时时，同同一一话话务务量量，其其数数值值是是不不同同的的。如如果果S以以小小时时为为时时间间单单位位，则则话话务务量量的的单单位位叫叫作作“小小时时呼
11、呼”，常常用用符符号号“TC”表表示示。如如果果S以以分分钟钟为为时时间间单单位位，则则话话务务量量的的单单位位叫叫作作“分分钟钟呼呼”。也也有有用用“百百秒秒”作作时时间间单单位位，这这时时话话务务量量的的单单位位叫叫作作“百百秒秒呼呼”，常用符号，常用符号“CCS”表示。表示。话务量的定义话务量的定义 10Y=T S=CS 对对于于大大量量随随机机发发生生的的呼呼叫叫，有有些些呼呼叫叫可可能能遇遇到到电电话话局局忙忙。对对于于这这类类呼呼叫叫，不不同同的的交交换换系系统统有有不不同同的的处处理理方方法法。一一种种系系统统是是让让遇遇忙忙呼呼叫叫等等待待，一一旦旦有有了了空空闲闲的的服服务务
12、设设备备，呼呼叫叫就就继继续续进进行行下下去去，这这样样的的系系统统叫叫作作待待接接制制系系统统或或等等待待制制系系统统。另另一一种种系系统统，它它对对不不能能立立刻刻得得到到服服务务的的呼呼叫叫的的处处理理方方法法是是给给用用户户送送“忙忙音音”。用用户户听听到到忙忙音音后后，必必须须放放弃弃这这次次呼呼叫叫，然然后后再再重重新新呼呼叫。这种系统叫做叫。这种系统叫做明显损失制系统明显损失制系统。对对于于等等待待制制系系统统来来说说，如如果果等等待待时时间间不不限限，那那么么流流入入系系统统的的话话务务量量都都能能被被处处理理，只只是是有有一一些些呼呼叫叫要要等等待待一一段段时时间间才才能能得
13、得到到接接续续。对对于于明明显显损损失失制制系系统统来来说说，流流入入系系统统的的话话务务量量有有一一部部分分被被处处理理了了，另另外外一一部部分分则则被被“损失损失”掉了。掉了。等待制与明显损失制等待制与明显损失制 11 我我们们把把单单位位时时间间的的话话务务量量叫叫做做话话务务量量强强度度或或负负载载强强度度。习习惯惯上上常常把把“强强度度”两两个个字字省省略略。这这样样，当当人人们们谈谈及及话话务务量量都都是是指指话话务务量量强强度度。当当所所谈谈及及的的话话务务量量不不是是单单位位时时间间内内的的话话务务量量时时，应应特特别别指指明明计计算算时时间间，如如T小小时时的话务量等。的话务
14、量等。话务量强度话务量强度 12 一一般般地地说说，电电话话局局的的话话务务量量强强度度经经常常处处于于变变化化之之中中。话话务务量量强强度度的的这这种种变变化化叫叫做做话话务务量量的的波波动动性性，它它是是多多方方面面因因素素影影响响的的综综合合结结果果。用用概概率率论论的的语语言言说说，话话务务量量的的波波动动是是一一个个随随机机过过程程。经经过过对对话话务务量量波波动动的的长长期期观观察察和和研研究究，发发现现话话务务量量的的波波动动存存在在着着周周期期性性。具具有有重重要要意意义义的的是是一一昼昼夜夜内内各各小小时时的的波波动动情情况况，为为了了在在一一天天中中的的任任何何时时候候都都
15、能能给给用用户户提提供供一一定定的的服服务务质质量量，电电话话局局服服务务设设备备数数量量的的计计算算应应根根据据一一天天中中出出现现的的最最大大话话务务量量强强度度进进行行。我我们们把把一一天天中中出出现现最最大大平平均均话话务务量量强强度度的的60分分钟钟的的连连续续时时间间区区间间称称为为最最繁繁忙忙小小时时，简简称称“忙时忙时”。话务量的特性话务量的特性 13 我我们们把把流流入入系系统统的的话话务务量量叫叫做做流流入入话话务务量量或或流流入入负负载载。完完成成了了接接续续的的那那部部分分话话务务量量叫叫做做完完成成话话务务量量或或完完成成负负载载。流流入入话话务务量量与与完完成成话话
16、务务量量之之差差，就就是是损损失话务量或损失负载。失话务量或损失负载。流入话务量和完成话务量流入话务量和完成话务量 14定定义义 流流入入话话务务量量强强度度等等于于在在一一次次呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长内业务源发生的平均呼叫数。长内业务源发生的平均呼叫数。令令A表表示示流流入入话话务务量量强强度度，表表示示单单位位时时间间内内发发生生的的平平均均呼呼叫叫数数，S表表示示呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长长，则则根据流入话务量强度的定义为根据流入话务量强度的定义为 当当和和S使使用用相相同同的的时时间间单单位位时时，流流入入话话务务量量强强度度A无无量量纲纲。为为了了纪纪念念话话务务理
17、理论论的的创创始始人人，丹丹麦麦数数学学家家AKErlang，将将话话务务量量强强度度的的单单位位定定名名为为“爱爱尔尔兰兰”，并用，并用“e”或或“E”表示。表示。流入话务量强度的定义流入话务量强度的定义 15SAl l=性质性质1 A 或或a分别为分别为N条入线或单条入线在呼条入线或单条入线在呼 叫平均占用时长内流入的呼叫数，叫平均占用时长内流入的呼叫数，A N a。性质性质2 a 是单条入线被占用的概率（占用时是单条入线被占用的概率（占用时 间百分数）。间百分数）。性质性质3 A是是N条入线中同时被占用的平均数。条入线中同时被占用的平均数。流入话务量强度的性质流入话务量强度的性质 16定
18、定义义 服服务务设设备备的的完完成成话话务务量量强强度度等等于于这这组组设设备备在在一一次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。令令Ac表表示示m个个服服务务器器的的完完成成话话务务量量强强度度，S表表示示呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长长，c 为为单单位位时时间间内内完完成成服服务务的的呼叫数，则有：呼叫数，则有：完完成成话话务务量量强强度度的的单单位位也也用用“爱爱尔尔兰兰”。设设单单个个服服务务器器的的完完成成话话务务量量强强度度用用 ac表表示示，则则 m 个个服服务务器器完成的总话务量强度完成的总话务量强度Ac=mac。完成话务量强度
19、的定义完成话务量强度的定义 17SAccl l=性质性质1 Ac 或或 ac分别为分别为m个服务器或单个个服务器或单个 服务器在呼叫平均占用时长内完服务器在呼叫平均占用时长内完 成服务的平均呼叫数成服务的平均呼叫数，Ac=mac。性质性质2 ac 是单个服务器的占用概率，是单个服务器的占用概率，即即 利用率。利用率。性质性质3 Ac 是是 m 个服务器中同时被占用的个服务器中同时被占用的 平均数。平均数。完成话务量强度的性质完成话务量强度的性质 18 从从定定义义可可以以看看出出，流流入入话话务务量量强强度度A与与完完成成话话务务量量强强度度Ac有有着着完完全全相相同同的的形形式式和和量量纲纲
20、，其其差差别别在在于于和和c，一一个个是是单单位位时时间间内内发发生生的的平平均均呼呼叫叫数数，一一个个是是单单位位时时间间内内完完成成服服务务的的平平均均呼呼叫叫数数。在在发发生生的的全全部部呼呼叫叫中中，有有一一小小部部分分会会因因为为设设有有找找到到空空闲闲的的服服务务设设备备而而被被损损失失掉掉，所所以以，在在明明显显损损失失制制系系统统中中，与与c 之之差差，正正是是损损失失掉掉的的那那部部分分呼呼叫叫。如如果果一一个个系系统统的的损损失失非非常常小小，则则 c，在在这这种种情情况况下下，完完成成话话务务量量强强度度近近似似等等于于流流入入话话务务量量强强度度，在在工工程程计计算算中
21、中可可以以不不加加区区分分，笼笼统统地地使使用用“话话务务量量”这这个个概概念。念。流入话务量和完成话务量比较流入话务量和完成话务量比较 19例例 假假设设在在 100 条条线线的的中中继继线线群群上上，平平均均每每小小时时发发生生2100次次占占用用，平平均均占占用用时时长长为为 1/30小小时时。求求这这群群中中继继线线上上的的完完成成话话务务量量强强度度；并并根根据据完完成成话话务务量量强强度度的的性性质说明其意义。质说明其意义。解：根据题意解：根据题意 c=2100呼叫呼叫/小时小时 S=1/30小时小时/呼叫呼叫 Ac=cS=21001/30=70e 根根据据完完成成话话务务量量强强
22、度度性性质质1，70e可可理理解解为为在在平平均均占占用用时时长长1/30小小时时内内，平平均均有有70次次占占用用发发生生；根根据据性性质质2，单单条条中中继继线线的的占占用用概概率率(利利用用率率)为为0.7；根根据据性性质质3，70e意意味味着着在在100条条中中继继线线中中，同同时时处处于于工工作作状状态的平均有态的平均有70条，空闲着的平均有条，空闲着的平均有30条。条。20完成话务量强度举例完成话务量强度举例2.2.2 数据业务量数据业务量 数数据据通通信信如如果果采采用用分分组组交交换换方方式式，交交换换系系统统采采用用等等待待制制服服务务，分分组组丢丢失失率率可可以以忽忽略略，
23、那那么么流流入入和和流流出出的业务量强度将相等，业务量强度为：的业务量强度将相等，业务量强度为：式式中中代代表表业业务务量量强强度度；为为数数据据分分组组的的到到达达(速速)率率，即即单单位位时时间间内内到到达达的的平平均均分分组组数数；S=1/是是分分组组的的平平均服务时间，均服务时间，称为服务称为服务(速速)率。率。业业务务量量强强度度也也具具有有话话务务量量强强度度的的那那些些性性质质，其其中中最最重重要要的的是是单单服服务务设设备备的的业业务务量量强强度度等等于于它它被被占占用用的的概率，即处于概率，即处于“忙忙”状态的概率。状态的概率。21m ml ll lr r/=S2.2.3 交
24、换系统的服务质量交换系统的服务质量 和话务负荷能力和话务负荷能力 服服务务质质量量是是说说明明交交换换系系统统给给呼呼叫叫提提供供服服务务的的可可能能性或者呼叫发生等待的可能性及等待时间等指标。性或者呼叫发生等待的可能性及等待时间等指标。实实际际的的交交换换系系统统都都是是有有损损失失的的系系统统。有有损损失失的的系系统又分为明显损失制系统和等待制系统。统又分为明显损失制系统和等待制系统。1.明显损失制系统的服务质量指标明显损失制系统的服务质量指标一、服务质量一、服务质量 按呼叫计算的呼损按呼叫计算的呼损 B 在在时时间间(t1,t2)内内损损失失的的呼呼叫叫数数CL(t1,t2)与与在在同同
25、一一时时间间内内发发生生的的呼呼叫叫总总数数C(t1,t2)的的比比，称称为为(t1,t2)时时间间内内按按呼呼叫计算的呼损，即叫计算的呼损，即 22()()2121,ttCttCBL=在在时时间间(t1,t2)内内损损失失的的话话务务量量YL(t1,t2)与与在在同同一一时时 间间 内内 流流 入入 的的 话话 务务 量量Y(t1,t2)的的比比，称称为为(t1,t2)时时间间内内按按负负载载计计算算的的呼呼损损，即：即：在在时时间间(t1,t2)内内所所有有服服务务设设备备全全部部阻阻塞塞的的时时间间TB(t1,t2)与与所所考考察察的的时时间间段段(t1,t2)长长度度的的比比，称称为为
26、按按时时间间计计算算的的呼呼损损，即即所所有有服服务器全忙的概率：务器全忙的概率：23()()2121,ttYttYHL=()mBPttttTE=-=1221,明显损失制系统的服务质量指标明显损失制系统的服务质量指标 按负载计算的呼损按负载计算的呼损 H 按时间计算的呼损按时间计算的呼损 E 以以上上所所定定义义的的呼呼损损指指标标B、H、E取取值值在在01之之间间，而而且且它它们们的的数数值值很很接接近近。所所以以我我们们统统一一用用呼呼损损概概率率P代代表表B、H、E。系系统统所所能能达达到到的的呼呼损损概概率率常常称称为为服服务务等等级级。简简记记为为GoS(Grade of Servi
27、ce)，服服务等级取决于系统的话务量和服务器数量。务等级取决于系统的话务量和服务器数量。2.等待制系统的服务质量指标等待制系统的服务质量指标 为为了了定定量量地地说说明明等等待待制制系系统统的的服服务务质质量量或或服服务务等等级级，常常采采用用以以下下指指标标：呼呼叫叫发发生生等等待待的的概概率率、呼呼叫叫等等待待时时间间大大于于任任意意给给定定值值的的概概率率、平平均均等等待待时时间间等。（这里对等待制系统暂不作进一步讨论。）等。（这里对等待制系统暂不作进一步讨论。）24 所所谓谓交交换换系系统统的的话话务务负负荷荷能能力力，指指的的是是在在给给定定服服务务质质量量指指标标的的条条件件下下，
28、系系统统所所能能承承担担的的话话务务量量强强度度。话话务务负负荷荷能能力力实实质质上上代代表表了了交交换换系系统统的的效效率率。影影响响系系统统话话务务负负荷荷能能力力的的因因素素很很多多，如如呼呼损损率率指指标标、服服务务设设备备容容量量、系系统统结结构构、服服务务方方式式、呼呼叫叫流流的的性性质质等等。在在一一定定的的服服务务质质量量指指标标条条件件下下，交交换换系系统统的的话话务务负负荷荷能能力力，常常用用完完成成话务量强度话务量强度Ac与服务设备容量与服务设备容量m的比来表示。的比来表示。二、话务负荷能力二、话务负荷能力是是每每个个服服务务器器承承担担的的平平均均话话务务量量强强度度，
29、表表示示了了服服务务器器（如如中中继继线线）的的利利用用率率，。当当然然也也表表示示服服务务设设备备被被占占用用的概率或被占用的时间比例。的概率或被占用的时间比例。25mAc/=h h2.3 明显损失制交换系统的基本理论明显损失制交换系统的基本理论 2.3.1 呼损指标的分配呼损指标的分配 呼呼损损是是交交换换系系统统服服务务质质量量的的重重要要指指标标，这这个个指指标标关关系系到到用用户户对对电电话话交交换换系系统统所所提提供供服服务务的的满满意意程程度度，也也涉涉及及到到运运营营商商投投资资的的大大小小和和经经济济效效益益。呼呼损损标标准准由由有关行政主管部门制定。有关行政主管部门制定。从
30、从经经济济性性和和技技术术的的合合理理性性角角度度，我我们们来来分分析析呼呼损损的的分分配配问问题题。一一般般情情况况下下，一一个个端端到到端端的的接接续续路路由由要要经过若干个选择级，在每个选择级上都有呼损。经过若干个选择级，在每个选择级上都有呼损。26 首首先先来来分分析析一一个个接接续续路路由由的的总总呼呼损损概概率率PB和和各各选选择择级级的的呼呼损损概概率率pk之之间间的的关关系系。要要准准确确地地计计算算PB是是一一件件很很复复杂杂的的事事情情，因因为为各各选选择择级级的的占占用用存存在在着着一一定定的的依依赖赖关关系系。如如果果假假设设各各选选择择级级的的工工作作是是完完全全独独
31、立立的的，则呼损则呼损PB可表示为：可表示为：27()()()=-=-=nkknBppppP121)1(11111LL呼损指标的分配呼损指标的分配 实实际际的的交交换换系系统统中中，呼呼损损率率pk一一般般都都很很小小，大大约约在百分之零点几，忽略所有在百分之零点几，忽略所有pk的乘积项，则的乘积项，则 这这样样，总总呼呼损损可可近近似似看看作作各各选选择择级级呼呼损损之之和和，下下面的问题就是怎样把总呼损分配到各选择级上去？面的问题就是怎样把总呼损分配到各选择级上去？1 平均分配（平均分配（简单简单，但不合理）。，但不合理）。2 根据各选择级的费用和在接续中的作用和影根据各选择级的费用和在接
32、续中的作用和影 响分配响分配（复杂，但合理）。（复杂，但合理）。28nkBppppPLLLL+21呼损指标的分配呼损指标的分配 电电话话交交换换系系统统是是一一种种典典型型的的设设备备共共享享系系统统，所所谓谓服服务务设设备备泛泛指指各各种种在在电电话话接接续续过过程程中中，为为用用户户提提供供服服务务的的共共享享资资源源。在在分分析析讨讨论论中中，服服务务设设备备具具体体是是哪哪种种并并不不重重要要。用用户户是是产产生生话话务务量量的的源源泉泉，称称为为负负载载源源或或话话源源，负负载载源源的的真真正正含含义义要要广广泛泛得得多多，一一般般地地说说，凡凡是是向向本本级级设设备备送送入入话话务
33、务量量的的前前级级设设备备，都都是本级的负载源。是本级的负载源。2.3.2 关于利用度的概念关于利用度的概念 服务服务(器器)设备设备与与负载负载源源 29 如如果果接接线线网网络络能能够够把把任任何何空空闲闲的的入入线线连连接接到到任任何何空空闲闲的的出出线线，这这叫叫做做“全全利利用用度度”接接线线网网络络，这这种种情情况况下下，每每一一个个负负载载源源能能够够使使用用所所有有服服务务器器中中的的任任何何一一个个。当当然然也也有有“部部分分利利用用度度”接接线线网网络络，其其中中任任一一负负载载源源只只能能使使用用所所有有服服务务设设备备中中的的一一部部分分设设备备。把把负负载载源源能能够
34、够使使用用的的服服务务器器数数称称为为“利利用用度度”。显显然然，全全利利用用度度情情况况下的利用度等于服务器的数量。下的利用度等于服务器的数量。全利用度和部分利用度全利用度和部分利用度 302.3.3 服务设备占用概率分布服务设备占用概率分布问题的提出：问题的提出：1）服务设备同时占用数的概率分布问题）服务设备同时占用数的概率分布问题;2）呼损的计算问题）呼损的计算问题;3）服务设备的利用率问题。）服务设备的利用率问题。呼呼损损是是明明显显损损失失制制系系统统的的基基本本服服务务指指标标，利利用用率率表表明明设设备备的的经经济济效效益益，所所以以呼呼损损和和利利用用率率是是交交换换理论的中心
35、课题。理论的中心课题。什什么么决决定定呼呼损损和和利利用用率率？是是系系统统内内所所进进行行着着的的随随机机过过程程。因因此此对对全全利利用用度度明明显显损损失失制制系系统统的的研研究究必须从服务设备占用概率分布开始。必须从服务设备占用概率分布开始。31 假设有一全利用度的随机服务系统，服务设备数假设有一全利用度的随机服务系统，服务设备数量为量为m，它为，它为N个负载源服务。个负载源服务。假设：假设：1）系统按明显损失制方式工作；）系统按明显损失制方式工作；2）所研究的系统满足生灭过程条件）所研究的系统满足生灭过程条件，且满足，且满足 统计平衡条件。统计平衡条件。32服务设备占用概率分布服务设
36、备占用概率分布 当当系系统统处处于于统统计计平平衡衡状状态态时时，可可由由生生灭灭过过程程状状态态 概概率率 一一般般解解求求得得 服服务务设设备备的的占占用用概概率率分分布布。显显然然，所所研研究究的的系系统统具具有有有有限限个个状状态态，在在统统计计平平衡衡条条件下，系统处于状态件下，系统处于状态 k 的概率为：的概率为：式式中中 k 和和 k分分别别是是系系统统处处于于状状态态 k 时时的的呼呼叫叫发发生强度和呼叫结束强度。生强度和呼叫结束强度。33服务设备占用概率分布服务设备占用概率分布mkPPkkk,2,1021110LLLLLL=-m mm mm ml ll ll l1211102
37、1101001-+=mmPm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml lLLLLLL k和和k的计算的计算 k常采用以下两种计算方法：常采用以下两种计算方法：1）假假设设呼呼叫叫强强度度 k 与与空空闲闲的的负负载载源源数数成成正正比比，因因为为呼呼叫叫总总是是由由空空闲闲着着的的负负载载 源源发发 起起的的，所所以以这这种种假假设设是是自自然然、合合理理的的。如如果果在在任任 意意时时 刻刻 系系统统处处于于状状态态 k ，N个个负负 载载 源源 中中有有k个个处处于于忙忙状状态态，N-k个个处处于空闲状态，则呼叫强度于空闲状态，则呼叫强度k可以表示为：可以表示为：
38、为一个空闲负载源的呼叫强度。为一个空闲负载源的呼叫强度。k=(N-k)34假假设设不不管管空空闲闲着着的的负负载载源源有有多多少少，呼呼叫叫强强度度k始始终终是一个与系统状态无关的常数，即是一个与系统状态无关的常数，即k=。2）实实际际计计算算中中，究究竟竟采采用用哪哪一一种种方方法法计计算算k，取取决决于于负负载载源源数数目目N的的大大小小。当当负负载载源源数数很很大大（在在理理论论上上N）时时，其其中中处处于于忙忙状状态态的的负负载载源源数数在在全全部部负负载载源源数数中中只只占占一一个个很很小小的的比比例例，呼呼叫叫强强度度基基本本上上取取决决于于总总负负载载源源数数，这这时时就就可可以
39、以近近似似的的认认为为呼呼叫叫强强度度k 是是一一个个常常数数，即即可可以以采采用用第第二二种种方方法法计计算算k。如如果果负负载载源源数数N不不是是很很大大，因因而而不不能能忽忽略略忙忙负负载载源源数数的的影影响时，就要用第一种方法计算响时，就要用第一种方法计算k。35 k和和k的计算的计算 k的计算方法的计算方法 呼呼叫叫的的占占用用时时长长近近似似服服从从指指数数分分布布，如如果果呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长长为为S，则则在在非非常常小小的的时时间间区区间间t内内呼呼叫叫结结束束其其占占用用的的概概率率为为1-e-t/S，并并且且与与该该呼呼叫叫已已经经占占用用了了多多少少时时间间
40、无无关关。由由于于t很很小小，呼呼叫叫结结束束占占用用的的概概率率可可以以近近似似的表示为：的表示为：因因此此，在在有有一一个个占占用用情情况况下下，呼呼叫叫结结束束强强度度1=1/S=。当当系系统统中中有有k个个呼呼叫叫占占用用时时，由由于于每每个个呼呼叫叫是是独独立立的的，并并都都以以强强度度=1/S 结结束束自自己己的的占占用用，则则状状态态k下的呼叫结束强度应为下的呼叫结束强度应为1-e-t/St/S+o(t)(指数函数展开，忽略高次指数函数展开，忽略高次项项）k=k=k/S 36 k和和k的计算的计算 根根据据负负载载源源数数N的的大大小小及及其其与与服服务务设设备备数数量量m的的关
41、关系系，下下面面分分四四种种不不同同的的情情况况来来研研究究服服务务设设备备的占用概率分布。的占用概率分布。占用概率分布占用概率分布1.二项分布二项分布 研研究究负负载载源源数数 N 不不大大于于服服务务设设备备数数量量 m（即即Nm）的的情情况况。根根据据前前面面对对k和和k计计算算方方法法的的讨讨论，令：论，令：式式中中S为为呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长长，为为一一个个空空闲闲负载源的平均呼叫强度。负载源的平均呼叫强度。37NkSkkNkk,2,1,0,/,)(LL=-=m ma al l由占用概率分布公式由占用概率分布公式 其中其中=S，根据话务量强度的定义，根据话务量强度的定义，
42、是一个是一个空闲负载源的流入话务量强度。空闲负载源的流入话务量强度。（推导过程参看教材）（推导过程参看教材）38NkPCPSkkNNNNPSkSSSkNNNNPPkkNkkkk,2,1)()1()2)(1()/()/3()/2()/1()1()2()1(000021110LLLLLLLLLLLL=+-=+-=-b ba aa aa aa aa am mm mm ml ll ll l！()NNNPb bm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml l+=+=-1111211102110100LLLLLL二项分布二项分布将将P0代入代入Pk，m个服务设备有个服务设备有k个占
43、用的概率为个占用的概率为令令 a=/(1+)，最后得，最后得 上上式式的的占占用用概概率率分分布布显显然然是是二二项项分分布布。式式中中a表表示示的的是是一一个个负负载载源源处处于于忙忙状状态态的的概概率率。根根据据话话务务量量强强度度的的性性质质，a就就是是每每个个负负载载源源的的话话务务量量强强度度。式式a=/(1+)给给出出了了在在Nm的的条条件件下下，一一个个负负载载源源的的话话务务量量强强度度与与一一个个空空闲闲负负载载源源的的话话务务量量强强度度之之间间的的关关系系。已已知知a或或，就可求得服务设备的占用概率分布。，就可求得服务设备的占用概率分布。39二项分布二项分布NkCCPkN
44、kkNNkkNk,2,1,0111)1(1LL=+-)(+=+=-b bb bb bb bb bb b()NkaaCPkNkkNk,2,1,0)1(LL=-=-例例 已已知知m6，N6，若若每每一一话话源源忙忙的的概概率率为为a0.667，试求服务设备处于各种占用状态的概率。，试求服务设备处于各种占用状态的概率。解解 N=m6 服务设备占用服从二项分布。服务设备占用服从二项分布。已知已知 a0.667，由公式，由公式计算得：计算得：P0=0.001，P1=0.016，P2=0.082 P3=0.219，P4=0.329，P5=0.264，P6=0.088且满足且满足 P0+P1+P2+P3+P
45、4+P5+P6=1 40二项分布举例二项分布举例NkaaCPkNkkNk,2,1,0)1(LL=-=-研究负载源数研究负载源数N大于服务设备数量大于服务设备数量m(Nm)的的情况。根据情况。根据k和和k的计算方法，令：的计算方法，令：k=(N-k)，k=k/S，k=0,1,2m 代入占用概率分布公式，得代入占用概率分布公式，得m个设备有个设备有k个占用的概率分布为：个占用的概率分布为：2.恩格塞特分布恩格塞特分布上式所描述的概率分布称为上式所描述的概率分布称为恩格塞特分布恩格塞特分布。41mkPCPkkNk,2,1,00LL=b b100-=miiiNCPb bmkCCPmiiiNkkNkLL
46、2,1,00=b bb b 在在实实际际的的工工程程计计算算中中，一一般般不不使使用用，而而是是用用流流入入话话务务量量强强度度 A 或或负负载载源源的的话话务务量量强强度度 a。由由于于A=Na，若若呼呼损损率率为为B，则则服服务务设设备备的的完完成成话话务务量量强强度度 Ac=A(1-B)。根根据据完完成成话话务务量量强强度度的的定定义义，Ac 等等于于平平均均同同时时占占用用数数。因因此此，N-Ac 是是平平均均空空闲闲负负载载源源数。于是每个空闲负载源的话务量强度数。于是每个空闲负载源的话务量强度为：为：将将的的不同表达式不同表达式代入代入恩格塞特分布公式，恩格塞特分布公式，可可得到采
47、用不同参数计算得到采用不同参数计算Pk的公式形式。的公式形式。（参考教材给出的结果）（参考教材给出的结果）42恩格塞特分布恩格塞特分布)1(1)1(BaaBANAANAc-=-=-=b b例例 有有6个个接接续续用用的的机机键键，它它们们为为7 个个用用户户服服务务，设设每每个个空空闲闲用用户户每每分分钟钟平平均均发发生生 0.665 个个呼呼叫叫，每每次次呼呼叫叫平平均均占占用用 2分分钟，试计算钟，试计算6个机键的占用概率分布。个机键的占用概率分布。解解 N=7，m6，Nm 机键的占用服从恩格塞特分布。机键的占用服从恩格塞特分布。已知已知 0.665 呼叫呼叫/分分钟钟，S=2 分钟分钟/
48、呼叫呼叫 所以所以 =S 1.33 爱尔兰，由公式爱尔兰，由公式 计算得：计算得：P0=0.0027，P1=0.0255，P2=0.1016 P3=0.2253，P4=0.2997，P5=0.2391，P6=0.1060 43恩格塞特分布举例恩格塞特分布举例mkCCPmiiiNkkNkLL2,1,00=b bb b 研研究究负负载载源源数数为为无无穷穷大大，服服务务设设备备数数量量有有限限(N，m有有限限或或Nm)的的情情况况，此此时时可可认认为为呼呼叫叫强强度度不不再再与与系系统统的的状状态态有有关关，而而是是一一个个常常数数。根据根据k和和k的计算方法，令：的计算方法，令：k=，k=k/S
49、，k=0,1,2m 代入占用概率分布公式，得代入占用概率分布公式，得3.爱尔兰分布爱尔兰分布 44mkPkSPkkLL,2,1,0!)(0=l l120!)(!2)(1-+=mSSSPml ll ll lLL 根根据据流流入入话话务务量量强强度度的的定定义义，S 就就是是系系统统的的流流入入话话务务量量强强度度。令令AS，则则m个个服服务务设设备备中中有有k个被占用的概率为：个被占用的概率为：上上式式所所示示的的概概率率分分布布称称为为 爱爱尔尔兰兰分分布布。由由爱爱尔尔兰兰分分布布可可以以得得到到递递推推式式 Pk=Pk-1(A/k)。由由此此可可见见，在在kPk-1；在在kA区区域域内内P
50、kPk-1。当当 k=A（如如果果A是是整整数数）或或 k=A(如如果果A不是整数不是整数)Pk值达到最大。值达到最大。45爱尔兰分布爱尔兰分布mkiAkAPmiikk,2,1,0!/!/0LL=例例 设设有有6条条中中继继线线，其其话话源源数数很很大大，已已知知话话源源的的呼呼叫叫强强度度是是每每分分钟钟2个个呼呼叫叫，每每个个呼呼叫叫平平均均占占用用2分分钟钟。试试求求中中继继线线群群的占用概率分布。的占用概率分布。解解 N=，m6（有限）（有限）中继线群的占用服从爱尔兰分布。中继线群的占用服从爱尔兰分布。已知已知 2 呼叫呼叫/分分钟钟，S=2 分钟分钟/呼叫呼叫 所以所以 A=S 4