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1、主要内容：电力系统的稳态可用一组代代 数方程组数方程组来描述，怎样建立建立并求解求解这样的方程组?4-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵电力系统等值电路的计算一般采用节点方程法，即以母线电压为待求量。第四章第四章 电力网络的数学模型电力网络的数学模型一、节点方程一、节点方程n个独立节点的节点方程一般写成矩阵形式简写为二、节点导纳矩阵的物理意义二、节点导纳矩阵的物理意义在i点注入电流，除i点外的其余各点均接地，测i点电压在i点注入电流，除k点外的其余各点均接地，测k点电压导纳矩阵的特点：1直观易得；2非对角元素很多是0例4-1(P72)注意非标变比变压器的等值电路（参阅P32图2-12）三、节点导纳矩
2、阵的修改三、节点导纳矩阵的修改3）(3)从网络节点i与节点j之间切除一条支路yij，由于未增节点，则矩阵行列不变，只是与i、j有关的元素改变Yii=-yijYij=yijYji=yijYjj=-yij(1)从网络i节点引出一条支路yik到新增节点k，则矩阵新增一行一列Ykk=yik，Yik=Yki=-yik，原来的Yii要增加Yii=yik(2)从网络i节点引出一条支路yij到节j，由于未增节点，则矩阵行列不变，只是与i、j有关的元素改变Yii=yijYij=-yijYji=-yijYjj=yij例4-2（P75）注意为什么Y55=0？四、支路间存在互感时的节点导纳四、支路间存在互感时的节点导
3、纳 矩阵矩阵常用方法：解耦等值电路在解耦后的等值电路中节点方程为注意：双端口四节点的独立方程个数只有2个4-2 网络方程的解法网络方程的解法一、用高斯消去法求解网络方程一、用高斯消去法求解网络方程方法表达式上式数学意义很简单：行列式的行变其物理意义也不复杂：带电流移置的星 网变换。（下面以星三角变换为例）等值电路变换公式例4-3（P78）注意由3节点的三角形网络变为2节点的支路（基本上只需移动电流源）二、用高斯消去法简化网络二、用高斯消去法简化网络n节点网络的节点方程写成分块矩阵展开成表达式消去1m节点（VA）得简化后的n-m个节点的网络方程为例4-4（P81）一个6节点网络被简化为3节点的网
4、络（方法一）用星-网变换逐个消去1、2、3节点（方法二）用（4-18）式一次消去1、2、3三个节点4-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵一、节点阻抗矩阵元素的物理意义一、节点阻抗矩阵元素的物理意义首先应注意：这里讲的是节点阻抗矩阵，依然针对网络节点方程，而不是回路方程。节点方程为ZI=V其中，Z=Y-1I为节点注入电流源而不是回路电流。节点方程的矩阵展开式为阻抗矩阵元素：对角元素称为自阻抗或输入阻抗（在i点注入电流，其它节点注入电流为0，测Vi）非对角元素称为互阻抗（在k点注入电流，其它节点注入电流为0，测Vi）*注意互阻抗与转移阻抗的区别：转移阻抗（在i点施加电势，k点对地短路，测k点的短路电流I
5、k）二、用支路追加法形成节点阻抗矩二、用支路追加法形成节点阻抗矩 阵（略）阵（略）原因：节点方程是以节点电压为求解对象，所以方程（4-20）实际上是一个答案方程，形成Z的过程实际是人工求解的过程，较为烦琐，不如借助于计算机求Y-1。三、用线性方程直接解法对导纳矩三、用线性方程直接解法对导纳矩 阵求逆（略）阵求逆（略）原因：矩阵求逆的数学方法很多，计算机数值辅助程序也很多，没必要针对某一种方法来分析。第十一章第十一章 电力系统的潮流计算电力系统的潮流计算 11-3 复杂电力系统潮流计算的数学复杂电力系统潮流计算的数学 模型模型一、潮流计算的定解条件一、潮流计算的定解条件网络的节点方程是潮流计算的
6、基础方程，n个节点的方程形式可写成功率形式写成更直观的形式分析（11-25）式的特征：这是一组非线性复数方程（功率是电压的二次函数）；每个节点有4个变量P、Q、V、，n个节点有4n个变量；方程组按实部和虚部分别平衡共计有2n个独立方程，因此（11-25）为不定方程，需要将4n个变量中的2n个变量设为定量，使方程成为定解方程。基本方法：每个节点的4个变量中的2个设为确定量（已知量），另2个为待求量。依确定量的不同，节点分成三种类型：1、PQ节点P、Q为确定量，V、为待求量。电力系统绝大部分节点被当作PQ节点。2、PV节点P、V为确定量，Q、为待求量。发电厂出口母线、担当调压任务的枢纽变电站（无功
7、可调）一般被当作PV节点。3、平衡节点V、为确定量，P、Q为待求量。整个系统中只有一个这种节点，起平衡P的作用，一般选择主调频电厂为平衡节点。二、潮流计算的约束条件二、潮流计算的约束条件11-4 牛顿牛顿-拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算一、牛顿一、牛顿-拉夫逊法的基本原理拉夫逊法的基本原理 单变量非线性方程f(x)=0(11-29)先给出一个预估的近似值x(0)，它与真值的误差设为x(0)，则x=x(0)+x(0)满足方程(11-29)：f(x(0)+x(0)=0将上式展开成泰勒级数并略去x(0)的二次以上高阶项这是一个以修正量x(0)为待求量的线性方程，称为修正方程，解修正量得修正后的近似
8、解为x(1)仍有误差，按同样步骤反复迭代，迭代公式为迭代过程收敛判据牛顿迭代的几何意义将牛顿迭代法用于n变量的非线性方程组F（X）=0 得迭代过程收敛判据二、节点电压用直角坐标表示时的二、节点电压用直角坐标表示时的 牛顿牛顿-拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算节点电压表示为导纳矩阵元素表示为将上面两个表示式代入（11-25）式，并分别使实部和虚部左右平衡，得假定系统中1m号节点为PQ节点，第i个节点的设定功率为Pis和Qis，则由（11-45）式构造非线性方程：假定系统中m+1n-1号节点为PV节点，则可构造非线性方程：上面（11-46）、（11-47）共有2(n-1)个方程，由于平衡节点的电压
9、是给定的，不参与迭代，故共有2(n-1)个ei、fi变量，不难写出此非线性定解方程的修正方程为潮流计算流程：（1）由上一步迭代算出的e(k)和f(k)计算出P(k)、Q(k)、V2(k)（2）检验max|P(k)，Q(k)，V2(k)|？如满足，则停止迭代，转入各支路功率计算和平衡节点功率计算；否则继续（3）用e(k)和f(k)计算雅可比矩阵中的各个元素（4）用高斯消去法求解修正方程，得出修正量e(k)、f(k)（5）修正各节点电压e(k+1)=e(k)+e(k)，f(k+1)=f(k)+f(k)（6）返回第（1）步进入下一轮迭代三、节点电压用极坐标表示时的牛三、节点电压用极坐标表示时的牛 顿
10、顿-拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算节点电压表示为导纳矩阵元素仍然表示为将上面两个表示式代入（11-25）式，并分别使实部和虚部左右平衡，得依然假定1m号节点为PQ节点，m+1n-1号节点为PV节点，n号节点为平衡节点。根据（11-57）第一式对所有PQ、PV节点构造非线性方程根据（11-57）第二式对所有PQ节点构造非线性方程两式中包含n-1+m个方程，与待求量个数相同。这两式的修正方程为式中雅可比矩阵分为四个子阵H为(n-1)(n-1)阶，N为(n-1)m阶，K为m(n-1)阶，L为mm阶。各子阵中的元素表达式为注意仔细观察：雅可比矩阵中的元素量纲均为功率，而最右边修正量为无量纲列向量。牛
11、顿迭代的算法和步骤与直角坐标类似。11-5 P-Q分解法潮流计算分解法潮流计算算法本质：根据电力系统实际特点，对极坐标牛顿法数学模型进行简化。实际特点：输电线路（支路）电抗比电阻大得多，母线（节点）有功功率P变化主要受电压相位的影响，无功功率Q变化主要受电压幅值影响。对极坐标牛顿法数学模型的简化步骤：（1）(1)根据输电线路实际特点，结合分析雅可比各子阵Hij、Nij、Kij、Lij表达式，可认为Nij0，Kij0因此修正方程简化为（2）实际输电线路两端电压相角差ij一般不大（10o20o），故有实际节点上无功负荷的等效导纳在节点自导纳中只占很小比例，即由（11-62）、（11-63）得H、L元素的常数简化式为Hij=ViVjBij(11-66)(i,j=1,2,n-1)Lij=ViVjBij(11-67)(i,j=1,2,m)矩阵H、L分别写成修正方程（11-64）、（11-65）可写成整理并写成展开式式（11-72）、（11-73）就是P-Q分解法潮流计算模型，与极坐标牛顿法（11-60）比较：系数矩阵由一个(n-1+m)(n-1+m)阶大矩阵简化为(n-1)(n-1)阶、mm阶两个小矩阵系数矩阵元素由变量变为常数，对计算机编程计算而言，无须每步迭代都对系数矩阵元素进行更新，大大降低计算时间虽然模型不如牛顿法全面（计算精度相同），但满足一般工程要求，故P-Q分解法更具有实用性