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1、 必修必修(bxi)(bxi)四四 平平面向量面向量专题专题(zhunt)(zhunt)复习复习第一页，共56页。知知识识(z(zh h shishi)网网络络平面(pngmin)向量加法、减法加法、减法(jinf)数乘数乘向量向量坐标表示坐标表示两向量数量积两向量数量积零向量、单位向量、零向量、单位向量、共线向量、相等向量共线向量、相等向量向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量基本定理平面向量基本定理两向量的夹角公式两向量的夹角公式向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件两点的距离公式两点的距离公式向量的概念向量的概念解决解决图形图形的平的平行和行和比例比例问题问题解决解决图形图形的垂的垂
2、直和直和角度角度,长度长度问题问题向量的初步应用第二页，共56页。向量向量(xingling)定义：定义：既有大小既有大小(dxio)又有方向的量叫向量。又有方向的量叫向量。重要重要(zhngyo)概概念：念：（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方
3、向相反的向量.一、平面向量概念一、平面向量概念第三页，共56页。几何几何(j h)表示表示 :有向线段有向线段(xindun)向向量量(xingling)的的表表示示字母表示字母表示 坐标表示坐标表示 :(x，y)若若 A(x1,y1),B(x2,y2)则则 AB=(x2 x1,y2 y1)一、平面向量概念一、平面向量概念第四页，共56页。向量向量(xingling)的模的模（长度）（长度）1.设设 a=(x ,y),则则2.若表示向量若表示向量(xingling)a 的起点和终点的坐的起点和终点的坐标分别标分别 为为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则一、平面向量一、平面向量(xing
4、ling)概念概念第五页，共56页。1.向量向量(xingling)的加法运算的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则(fz)OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则(fz)坐标运算坐标运算:则则a +b=重要结论：重要结论：AB+BC+CA=0设设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)AC OC一、平面向量概念一、平面向量概念第六页，共56页。2.向量向量(xingling)的减法运算的减法运算1）减法）减法(jinf)法则：法则：OAB2）坐标）坐标(zubio)运算运算:若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则则a b=3 3.加加法
5、减法运算律法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2,y1 y2)OAOB=一、平面向量概念一、平面向量概念第七页，共56页。练习(linx)第八页，共56页。120oADBCO第九页，共56页。120oADBCOreturn第十页，共56页。4.实数实数(shsh)与向量与向量 a 的积的积定义定义(dngy)：坐标坐标(zubio)运运算：算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！a a是一个是一个是一个是一个向量向量.它的它的它的它的长度长度|a a|=|=|a|；它的它的它的它的方向方向若若a
6、a=(x,y),则则 a=(x,y)=(x,y)(2)当当0时时,a 的方向的方向与与a方向方向相反相反.(1)当当0时时,a 的方向的方向与与a方向方向相同相同；一、平面向量概念一、平面向量概念第十一页，共56页。则则存在唯一实数存在唯一实数，使得，使得结论结论:设表示与非零向量同向的单位向量设表示与非零向量同向的单位向量.定理定理1:两个非零向量两个非零向量平行平行(方向相同或相反方向相同或相反)一、平面向量一、平面向量(xingling)概概念念第十二页，共56页。向量垂直充要条件的两种形式向量垂直充要条件的两种形式:二、平面向量(xingling)之间关系向量平行向量平行(共线共线)充
7、要条件的两种形式充要条件的两种形式:第十三页，共56页。（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等坐标相等.即即:那么那么 三、平面(pngmin)向量的基本定理如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有有且只有一对实数一对实数 使使第十四页，共56页。1、平面向量数量积的定义：、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：OABB1(四四)数量积数量积4、运算律、运算律:3、数量积的坐标运算、数量积的坐标运算第十五页，共56页。5、数量
8、、数量(shling)积的主要性质及其坐标积的主要性质及其坐标表示：表示：第十六页，共56页。OBA综上所述：原命题综上所述：原命题(mng t)成立成立第十七页，共56页。CNDBMOA解解:第十八页，共56页。CNDBMOA第十九页，共56页。例例3、已知已知a=(3,-2)，b=(-2,1)，c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c=m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c=a-2b第二十页，共56页。O A B P另解另解:可以试着将可以试着将第二十一页，共56页。说明：说明：(1)本题是个重要题型：设
9、本题是个重要题型：设O为平为平面上任一点，则：面上任一点，则：A、P、B三点三点(sn din)共线共线 或令或令=1 t，=t，则，则 A、P、B三点共线三点共线(n xin)(其中其中+=1)(2)当当t=时，时，常称常称为为OAB的中线的中线(zhngxin)公式公式(向量式向量式)第二十二页，共56页。例例5.设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证求证(qizhng)：A、B、D 三点共线。三点共线。分析分析(fnx)要证要证A、B、D三点三点(sn din)共共线，可证线，可证AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5
10、bAB=2 BD A、B、D 三点共线三点共线AB BD且且AB与与BD有公共点有公共点B第二十三页，共56页。例例6.设非零向量设非零向量(xingling)不共线，不共线，若若 试求试求 k.解：解：由向量由向量(xingling)共线的充要条件得：共线的充要条件得：即即 又又 不共线不共线 由平面向量的基本由平面向量的基本(jbn)定理定理 第二十四页，共56页。第二十五页，共56页。解：设顶点解：设顶点(dngdin)D的坐标为（的坐标为（x，y）例例8 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐的坐标分别为（标分别为（2，1）、（）、（1，3）、（）、（3，4），求），求顶
11、点顶点D的坐标的坐标第二十六页，共56页。例例9.已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段(xindun)AB中点中点M和三等分点坐标和三等分点坐标P，Q的坐标的坐标.解：解：(1)求中点求中点M的坐标，由中点公式可知的坐标，由中点公式可知 M(，2)(2)因为因为 =(1，3)(2，1)=(3，2)第二十七页，共56页。第二十八页，共56页。例例10.设设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足满足(1)为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限,求求的范围的范围.解解:(1)设设P(x,y)，则，则 (x2,y3)=(3,1)+(5
12、,7),所以所以(suy)x=5+5，y=7+4.解得解得=(2)由已知由已知5+50,7+40,所以所以(suy)1.第二十九页，共56页。例例1111（1 1）已知）已知 =（4 4，3 3），向量），向量(xingling)(xingling)是垂直于是垂直于 的单位向量的单位向量(xingling)(xingling)，求，求 .第三十页，共56页。第三十一页，共56页。例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=B
13、DDC解：（解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC第三十二页，共56页。（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又B、D、C共线共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x=D(,)x-y-1=0 y=AD=(,-)第三十三页，共56页。（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|=+=BDDC=+=AD =BDDC22例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,
14、-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=BDDC第三十四页，共56页。例例14.14.已已知知a=(2,3),b=(-4,7),a=(2,3),b=(-4,7),则则a a在在b b上上的的投投影影(tuyng)(tuyng)为为（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 设设a a和和b b的夹角为的夹角为，|a|cos=|a|cos=C第三十五页，共56页。解：解：第三十六页，共56页。解：解：同理可得同理可得 =120第三十七页，共56页。解解 答案答案(d(d n)
15、Cn)C第三十八页，共56页。ABC第三十九页，共56页。ABCP第四十页，共56页。第四十一页，共56页。解析解析(ji(ji x)x)第四十二页，共56页。第四十三页，共56页。第四十四页，共56页。第四十五页，共56页。第四十六页，共56页。第四十七页，共56页。【例例2323】已知向量】已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),),b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x .(1)(1)求求a ab b及及|a a+b b|;|;(2)(2)若若f f(x x)=)=a ab b-|-|a a+b b|，求，求f f(x
16、x)的最大值和最小值的最大值和最小值.第四十八页，共56页。解解 0 0|a a+b b|=2cos|=2cos x x.第四十九页，共56页。(2)(2)由由(1)(1)可得可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x-)2-.=2(cos x-)2-.x x ，cos x1 cos x1，当当cos x=cos x=时，时，f(x)f(x)取得取得(qd)(qd)最小值为最小值为-；当当cos x=1cos x=1时，时，f(x)f(x)取得取得(qd)(qd)最大值为最大值为-
17、1.-1.第五十页，共56页。第五十一页，共56页。第五十二页，共56页。第五十三页，共56页。反馈反馈(fnku)练习：练习：1.判断下列命题判断下列命题(mng t)是否正确：是否正确：（1）（3）（5）若）若 ，则对于任一非零，则对于任一非零 有有（4）（2）（6）若）若 ，则，则 至少至少(zhsho)有一个为有一个为（7）对于任意向量）对于任意向量 都有都有（8）是两个单位向量，则是两个单位向量，则（9）若）若 ，则，则第五十四页，共56页。-6第五十五页，共56页。(A)(-3,6)(B)(3,-6)(C)(6,-3)(D)(-6,3)(A)(-3,6)(B)(3,-6)(C)(6,-3)(D)(-6,3)()()A A-1-1第五十六页，共56页。