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1、哈尔滨工程大学 自动控制原理 第3章 线性系统的可控性与可观测性第3章 线性系统的可控性和可观测性 3.1 可控性和可观测性的定义可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据（）3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（线性定常连续系统的可观测性判据（）3.4 对偶原理对偶原理第三章第三章 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2第3章 线性系统的可控性和可观测性 第3章 线性系统的可控性和可观测性 第3章 线性系统的可控性和可观测性 第3章 线性系统的可控性和可观测性 二二 可控性可控性1状态可控状态可控考虑考虑n维线性时变系统的状态方
2、程维线性时变系统的状态方程如果对取定初始时刻如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态的一个非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻，存在一个时刻 和一个无约束的和一个无约束的容许控制容许控制u(t)，使状态由，使状态由x(t0)=x0转移到转移到t1时的时的x(t1)=0，则称此，则称此x0是在时刻是在时刻t0可控的可控的.6第3章 线性系统的可控性和可观测性 2系统可控系统可控如如果果状状态态空空间间中中的的所所有有非非零零状状态态都都是是在在t0（）时时刻刻可可控控的的，则则称称系系统统在在时时刻刻t0是是完完全全可可控控的的，简简称称系系统统在在时时刻刻t0可可控控。若若系系统统在在所所
3、有时刻都是可控的，则称有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。系统是一致可控的。考虑考虑n维线性时变系统的状态方程维线性时变系统的状态方程7第3章 线性系统的可控性和可观测性 3系统不完全可控系统不完全可控 对于线性时变系统对于线性时变系统取取定定初初始始时时刻刻 ，如如果果状状态态空空间间中中存存在在一一个个或或一一些些非非零零状状态态在在时时刻刻t0是是不不可可控控的的，则则称称系系统统在在时时刻刻t0是是不不完完全全可可控控的的，也也称称为为系系统统是是不不可控的可控的。8第3章 线性系统的可控性和可观测性 4状态可达与系统可达状态可达与系统可达 对于线性时变系统对于线性时变系统若若存存
4、在在能能将将状状态态x(t0)=0转转移移到到x(tf)=xf的的控控制制作作用用，则则称称状状态态xf是是t0时时刻刻可可达达的的。若若xf对对所所有有时时刻刻都都是是可可达达的的，则则称称状状态态xf为为完完全全可可达达到到或或一一致致可可达达。若若系系统统对对于于状状态态空空间间中中的的每每一一个个状状态态都都是是时时刻刻t0可可达达的的，则则称称该该系系统统是是t0时时刻刻完完全全可可达达的的，或或简简称称系系统统是是t0时刻可达的时刻可达的。9第3章 线性系统的可控性和可观测性 三可观测性三可观测性1系统完全可观测系统完全可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始
5、始时时刻刻 ，存存在在一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输出出y(t)能能唯唯一一确确定定状状态态向向量量的的初初值值x(t0)，则则称称系系统统在在t0,t1内内是是完完全全可可观观测测的的，简简称称可可观观测测。如如果果对对于于一一切切t1t0系系统统都都是是可可观观测测的的，则则称称系系统统在在t0,)内是完全可观测的。内是完全可观测的。10第3章 线性系统的可控性和可观测性 2系统不可观测系统不可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始始时时刻刻 ，存存在在一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输出出y(t)不不能
6、能唯唯一一确确定定所所有有状状态态的的初初值值xi(t0)，i=0,1,n，即即至至少少有有一一个个状状态态的的初初值值不不能能被被y(t)确确定定，则则称称系系统统在在t0,t1内内是是不不完完全全可可观观测测的的，简简称称不可观测不可观测。11第3章 线性系统的可控性和可观测性 3.2 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据()一、线性定常连续系统的可控性判据（一、线性定常连续系统的可控性判据（）1 1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据线性定常系统线性定常系统 完完全全可可控控的的充充分分必必要要条条件件是是：存存在在一一个个有有限限时时刻刻t10，
7、使如下定义的格拉姆矩阵：，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。为非奇异。注注意意：在在应应用用该该判判据据时时需需计计算算eAt，这这在在A的的维维数数较较高时并非易事，所以高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中此判据主要用于理论分析中。12第3章 线性系统的可控性和可观测性 证证：充充分分性性：已已知知W(0,t1)为为非非奇奇异异，欲欲证证系系统统为为完完全全可可控控，采采用用构构造造法法来来证证明明。对对任任一一非非零零初初始始状状态态x0可可构造控制构造控制u(t)为：为：则则u(t)作用下系统状态作用下系统状态x(t)在在t1时刻的结果时刻的结果:这这表表明明：对对任任一一取取定定
8、的的初初始始状状态态x00，都都存存在在有有限限时时刻刻t10和和控控制制u(t)，使使状状态态由由x0转转移移到到t1时时刻刻的的状状态态x(t1)=0，根据定义可知系统为完全可控。，根据定义可知系统为完全可控。13第3章 线性系统的可控性和可观测性 必必要要性性：已已知知系系统统完完全全可可控控，欲欲证证W(0,t1)非非奇奇异异。反反设设W(0,t1)为奇异，即存在某个非零向量为奇异，即存在某个非零向量 ，使，使其中其中|为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有14第3章 线性系统的可控性和可观测性 因系统完全可控，根据定义对此非零向量因系统完全可
9、控，根据定义对此非零向量 应有应有 0此此结结果果与与假假设设 相相矛矛盾盾，即即W(0,t1)为为奇奇异异的的反反设设不不成成立立。因此，若系统完全可控，因此，若系统完全可控，W(0,t1)必为非奇异。必为非奇异。15第3章 线性系统的可控性和可观测性 2 2秩判据（秩判据（秩判据（秩判据（）1）凯莱）凯莱-哈密顿定理：哈密顿定理：设设n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式为的特征多项式为则矩阵则矩阵A满足其特征方程，即满足其特征方程，即2）推论推论1：矩阵矩阵A的的k(kn)次幂可表示为次幂可表示为A的的(n-1)阶多阶多项式项式注：注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。此推论可用以简化矩阵幂的计算。1
10、6第3章 线性系统的可控性和可观测性 3）推论）推论2：矩阵指数函数可表示为矩阵指数函数可表示为A的的(n-1)阶多项式阶多项式例例3-4（P476 例例9-13）：已知）：已知 ，计算，计算A100=?解：解：A的特征多项式为：的特征多项式为：由凯莱由凯莱-哈密顿定理，得到哈密顿定理，得到17第3章 线性系统的可控性和可观测性 故故根据数学归纳法有根据数学归纳法有所以：所以：18第3章 线性系统的可控性和可观测性 4）秩判据（）秩判据（）线性定常系统线性定常系统 完全可控的充分必要条件是完全可控的充分必要条件是 其中其中:n为矩阵为矩阵A的维数，的维数，称为系统称为系统的可控性判别阵。的可控
11、性判别阵。注：注：秩判据是一种比较方便的判别方法。秩判据是一种比较方便的判别方法。19第3章 线性系统的可控性和可观测性 证证明明：充充分分性性：已已知知rankS=n，欲欲证证系系统统完完全全可可控控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：为奇异，这意味着存在某个非零为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量维常向量使使将上式求导直到将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令次，再在所得结果中令t=0，则，则可得到可得到:20第3章 线性系统的可控性和可观测性 由由于于0，所所以以上上式式意意味味着着S为为行行线线性性相相关关的的，即即rankSn。这
12、这显显然然与与已已知知rankS=n相相矛矛盾盾。因因而而反反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。必必要要性性：已已知知系系统统完完全全可可控控，欲欲证证rankS=n，采采用用反反证证法法。反反设设rankSn，这这意意味味着着S为为行行线线性性相相关关，因此必存在一个非零因此必存在一个非零n维常向量维常向量使使 成立。成立。21第3章 线性系统的可控性和可观测性（由凯莱（由凯莱哈密顿定理）哈密顿定理）22第3章 线性系统的可控性和可观测性 因因为为已已知知0，若若上上式式成成立立，则则格格拉拉姆姆矩矩阵阵W(0,t1)为为奇奇异异，即即系系统统为
13、为不不完完全全可可控控，和和已已知知条条件件相相矛矛盾盾，所所以反设不成立。于是有以反设不成立。于是有rankS=n，必要性得证。，必要性得证。23第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-6（补充）（补充）：已知：已知判断其能控性。判断其能控性。解：解：系统阶次系统阶次，确定出可控判别阵，确定出可控判别阵，所以系统为完全可控。，所以系统为完全可控。24第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-7（补充）：判断下列系统的可控性（补充）：判断下列系统的可控性解：解：系统阶次系统阶次n=3矩阵矩阵S的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故rankS=23，系统不可控。，系统不可
14、控。25第3章 线性系统的可控性和可观测性 补充：可控性判别矩阵补充：可控性判别矩阵 （）：线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统的状态方程其其中中：x为为n维维状状态态向向量量；u为为p维维输输入入向向量量；A和和B分分别别为为(nn)和和(np)常常阵阵。该该线线性性定定常常连连续系统完全可控的充要条件是：续系统完全可控的充要条件是：其中：其中：注：注：该方法是秩判据的改进，特别该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入适用于多输入 系统系统，可减少不必要的计算。，可减少不必要的计算。26第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-8：用可控性判别矩阵：用可控性判别矩阵 判别例判别例3-7
15、所示系统所示系统的可控性。的可控性。解：解：n=3,系统输入向量是系统输入向量是2维的列向量，即维的列向量，即p=2。显见矩阵显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故 ，系统不可控。，系统不可控。27第3章 线性系统的可控性和可观测性 3PBH秩判据（秩判据（）线性定常系统线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：对矩阵完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征的所有特征值值 ，均成立，或等价地表示为均成立，或等价地表示为注注：当当系系统统矩矩阵阵A的的维维数数较较高高时时，应应用用秩秩判判据据可可能能不不太方便，此时可考虑用太方便，此时可考虑用PBH秩判据试一
16、下。秩判据试一下。28第3章 线性系统的可控性和可观测性 证证明明：，为为多多项项式式矩矩阵阵，且且对对复复数数域域上上除除i以以外外的的所所有有s都都有有det(sI-A)0，即即ranksI-A=n，进而有，进而有ranksI-A B=n，所以只要证明，所以只要证明 即可。即可。必要性：必要性：系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。反设对某个反设对某个i 有有rankiI A B n，则意味着，则意味着 iIA B为为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量行线性相关。由此，必存在一个非零常向量，使，使成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：成立。考
17、虑到问题的一般性，由上式可得到：29第3章 线性系统的可控性和可观测性 进而可得进而可得:于是有于是有因已知因已知0，所以欲使上式成立，必有，所以欲使上式成立，必有这这意意味味着着系系统统不不完完全全可可控控，显显然然与与已已知知条条件件相相矛矛盾盾。因此，反设不成立，即因此，反设不成立，即rankiI A B=n成立。成立。充充分分性性：已已知知式式rankiI A B=n成成立立，欲欲证证系系统统完完全全可可控控。采采用用反反证证法法：利利用用和和上上述述相相反反的的思思路路，即即可可证证得充分性。得充分性。30第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-9（P477 例例9-14）：已知
18、线性定常系统状态方程为）：已知线性定常系统状态方程为判断系统的可控性。判断系统的可控性。解：解：根据状态方程可写出根据状态方程可写出31第3章 线性系统的可控性和可观测性 特征方程：特征方程：解得解得A的特征值为：的特征值为：1）当）当 时，有时，有 32第3章 线性系统的可控性和可观测性 2）当）当 时，有时，有 3）当）当 时，有时，有 所以系统是完全可控的。所以系统是完全可控的。33第3章 线性系统的可控性和可观测性 4PBH特征向量判据（补充）特征向量判据（补充）线性定常系统线性定常系统 完完全全可可控控的的充充分分必必要要条条件件是是：A不不能能有有与与B的的所所有有列列相相正正交交
19、的的非非零零左左特特征征向向量量。即即对对A的的任任一一特特征征值值i，使同时满足，使同时满足的特征向量的特征向量 。注：注：一般的说，一般的说，PHB特征向量判据主要用于理论特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中分析中，特别是线性系统的复频域分析中。34第3章 线性系统的可控性和可观测性 证明：必要性：证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在一个向已知系统完全可控，反设存在一个向量量0，使式，使式 成立，则有成立，则有由由于于0，所所以以上上式式意意味味着着S为为行行线线性性相相关关的的，即即rankSn，即即系系统统为为不不完完全全可可控控。与与已已知知条条件件相相矛
20、盾，因而反设不成立，必要性得证。矛盾，因而反设不成立，必要性得证。充分性：充分性：对充分性的证明也用反证法，可按与以上对充分性的证明也用反证法，可按与以上相反的思路来进行，具体推证过程略去。相反的思路来进行，具体推证过程略去。35第3章 线性系统的可控性和可观测性 5对角线规范型判据对角线规范型判据（）当当矩矩阵阵A的的特特征征值值 为为两两两两相相异异时时，线线性定常连续系统性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型 中，中，不包含元素全为零的不包含元素全为零的行行行行。36第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-12（P478 例例9
21、-15）：已知线性定常系统的对）：已知线性定常系统的对角线规范型为角线规范型为判断系统的可控性。判断系统的可控性。解：解：由于此规范型中由于此规范型中 不包含元素全为零的行，不包含元素全为零的行，故系统完全可控。故系统完全可控。37第3章 线性系统的可控性和可观测性 当当系系统统矩矩阵阵A有有重重特特征征值值时时，线线性性定定常常连连续系统续系统完完全全可可控控的的充充分分必必要要条条件件是是：由由其其导导出出的的约约当当规规范范型型 中中，中中与与同同一一特特征征值值的的各各约约当当块块对对应应的的各各子子块块的的最最后后一一行行组组成成的的矩矩阵阵是是行行行行线线性无关的。性无关的。6约当
22、规范型判据约当规范型判据(补充补充)38第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-13：已知约当规范型系统如下：已知约当规范型系统如下：试判断其可控性。试判断其可控性。解：解：，均，均行行线性无关，线性无关，所以：系统完全可控。所以：系统完全可控。39第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-14：证明如下系统总是完全可控的。：证明如下系统总是完全可控的。证明：证明：，故完全可控。，故完全可控。该题说明：可控标准型系统完全可控。该题说明：可控标准型系统完全可控。40第3章 线性系统的可控性和可观测性 二、输出可控性二、输出可控性1输出可控性定义输出可控性定义 若若在在有有限限时时间间间间隔
23、隔t0,t1内内，存存在在无无约约束束分分段段连连续续控控制制函函数数u(t)，能能使使任任意意初初始始输输出出y(t0)转转移移到到任任意意最最终终输输出出y(t1)，则则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。称此系统是输出完全可控，简称输出可控。41第3章 线性系统的可控性和可观测性 2输出可控性判据输出可控性判据设线性定常连续系统的状态空间描述为：设线性定常连续系统的状态空间描述为：则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数的秩等于输出变量的维数q，即，即注意：注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的状态可控性与输出可控性是两个不同
24、的概念，二者没有什么必然联系。概念，二者没有什么必然联系。42第3章 线性系统的可控性和可观测性 判断系统的状态可控性和输出可控性。判断系统的状态可控性和输出可控性。例例3-15（P479例例9-16）：已知系统的状态空间描述为）：已知系统的状态空间描述为解：解：n=2,q=1，状态不完全可控，状态不完全可控 2）系统的输出可控性矩阵为）系统的输出可控性矩阵为,系统输出可控。系统输出可控。1）系统的状态可控性矩阵为）系统的状态可控性矩阵为43第3章 线性系统的可控性和可观测性 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据线性定常连续系统的可观测性判据()一线性定常连续系统的可观测性判据一线性定常连续
25、系统的可观测性判据1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统线性定常系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是，存存在在有有限限时时刻刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。为非奇异。注注意意：在在应应用用该该判判据据时时需需计计算算eAt，这这在在A的的维维数数较较高时并非易事，所以高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中此判据主要用于理论分析中。44第3章 线性系统的可控性和可观测性 2.秩判据（秩判据（）线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是完全可观测的充分必要条件是:或或其其中中：n是是系系统统的的维维数数，V称称为为系系统统的
26、的可可观观测测性性判判别别阵，简称可观测性阵。阵，简称可观测性阵。45第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-16（p481 例例9-17）：判断下列系统的可观性：）：判断下列系统的可观性：(1)解：解：(1)系统不完全可观测系统不完全可观测(2)(2)系统完全可观测系统完全可观测46第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-17：证明如下系统总是完全可观测的。：证明如下系统总是完全可观测的。证明：证明：系统是完全可观测的。系统是完全可观测的。该题说明：该题说明：可观测标准型系统是完全可观测的。可观测标准型系统是完全可观测的。47第3章 线性系统的可控性和可观测性 补充：补充：可观测性判
27、别矩阵可观测性判别矩阵 （）线性定常连续系统的状态空间描述线性定常连续系统的状态空间描述其其中中：x为为n维维状状态态向向量量；y为为q维维输输出出向向量量；A和和C分分别别为为(nn)和和(qn)常常阵阵。该该线线性性定定常常连连续续系系统统完完全可观测的充要条件是：全可观测的充要条件是：其中：其中：适用于多输出系统适用于多输出系统48第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-18：判断例：判断例3-16所示系统所示系统2）的可观性。）的可观性。解：解：n=2,系统输出向量是系统输出向量是2维的，即维的，即q=2。故故 ，系统完全可观测。，系统完全可观测。49第3章 线性系统的可控性和可观
28、测性 3.PBH3.PBH秩判据秩判据秩判据秩判据 （）线性定常系统线性定常系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是：对对矩矩阵阵A的的所所有特征值有特征值 ，均有，均有成立。或等价地表示为成立。或等价地表示为50第3章 线性系统的可控性和可观测性 4.PBH特征向量判据（补充）特征向量判据（补充）线性定常系统线性定常系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是：A没没有有与与C的的所所有有行行相相正正交交的的非非零零右右特特征征向向量量。即即对对A的的任任一一特征值特征值 ，使同时满足，使同时满足的特征向量的特征向量 。注：注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中
29、特征向量判据主要用于理论分析中。51第3章 线性系统的可控性和可观测性 5.对角线规范型判据对角线规范型判据（）当当矩矩阵阵A的的特特征征值值 为为两两两两相相异异时时，线线性定常连续系统性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型 中，中，不包含元素全为零的不包含元素全为零的列列列列。52第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-19（P482 例例9-18）：已知线性定常系统的对）：已知线性定常系统的对角线规范型为角线规范型为判断系统的可观测性。判断系统的可观测性。解：解：由于此规范型中由于此规范型中 不包含元素全为零的不包含元素全为
30、零的列列，故系统完全可观测。，故系统完全可观测。53第3章 线性系统的可控性和可观测性 6.约当规范型判据约当规范型判据 当当系系统统矩矩阵阵A有有重重特特征征值值时时，线线性性定定常常连连续系统续系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是：由由其其导导出出的的约约当规范型当规范型中中，中中与与同同一一特特征征值值的的各各约约当当块块对对应应的的各各子子块的第一列组成的矩阵是块的第一列组成的矩阵是列列列列线性无关的线性无关的。54第3章 线性系统的可控性和可观测性 例例3-20：约当标准型系统如下：约当标准型系统如下：试判断其可观测性。试判断其可观测性。解：解：所以：系统完全可观
31、测。所以：系统完全可观测。是列线性无关的；是列线性无关的；是列线性无关的；是列线性无关的；55第3章 线性系统的可控性和可观测性 二子系统组合的可控性和可观测性（补充）二子系统组合的可控性和可观测性（补充）完全可控且完全可观测的子系统组合后不一完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定保持原有的可控性或可观测性。定保持原有的可控性或可观测性。例例3-21：设完全可控且完全可观测的子系统为：设完全可控且完全可观测的子系统为求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。组合系统的可控性和可观测性。56第3章 线性系统的可控性和可观测性
32、 解：解：子系统并联组合后的系统子系统并联组合后的系统 可控性判别矩阵：可控性判别矩阵：57第3章 线性系统的可控性和可观测性 可观性判别矩阵可观性判别矩阵该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。58第3章 线性系统的可控性和可观测性 3.4 对偶原理对偶原理（P492）一对偶系统一对偶系统 设线性定常系统设线性定常系统S1为：为：利用系数矩阵，构造一个具有如下结构的系统利用系数矩阵，构造一个具有如下结构的系统S2:其其中中：x,z均均为为n维维状状态态向向量量；u,w均均为为p维维向向量量；y,v均为均为q 维向量。称系统维向量。称系统 为系统为系统的
33、的对对偶偶系系统统或或伴伴随随系系统统。一一般般地地将将x称称为为状状态态，而而称称z为协态。为协态。59第3章 线性系统的可控性和可观测性 二对偶原理的一般结论（补充）二对偶原理的一般结论（补充）(1)若系统若系统S1完全可控，则其对偶系统完全可控，则其对偶系统S2完全可观完全可观测，反之亦然；测，反之亦然；证明：若线性定常系统证明：若线性定常系统 完全可控，则必有完全可控，则必有成立。其对偶系统成立。其对偶系统 可观测性判别阵的秩必可观测性判别阵的秩必为为:所以其对偶系统所以其对偶系统 完全可观测。完全可观测。60第3章 线性系统的可控性和可观测性(2)若系统若系统S1完全可观测，则其对偶
34、系统完全可观测，则其对偶系统S2完全可完全可控，反之亦然；控，反之亦然；证明：若线性定常系统证明：若线性定常系统 完全可观测，则必有完全可观测，则必有成立。其对偶系统成立。其对偶系统 可控性判别阵的秩为可控性判别阵的秩为:所以其对偶系统所以其对偶系统 完全可控。完全可控。(3)对偶系统的对偶系统是原系统。对偶系统的对偶系统是原系统。61第3章 线性系统的可控性和可观测性 补充题：补充题：确定使下列系统状态完全能控的待定参确定使下列系统状态完全能控的待定参数的数的a，b，c取值范围取值范围（）（1）（2）（1）解：）解：n=3,可控性判别阵为可控性判别阵为系统状态完全能控必有系统状态完全能控必有
35、detS0 成立，即成立，即62第3章 线性系统的可控性和可观测性 （2）解解：该该题题若若应应用用秩秩判判据据，通通过过计计算算detS0来来求求理理论论上上可可行行。但但由由于于这这道道题题很很难难从从detS0中中解解出出a,b,c的的取取值值范范围围，计计算算很很困困难难，故故考考虑虑用用PBH秩秩判据来试一下：判据来试一下：系统状态完全可控参数取值范围：系统状态完全可控参数取值范围：ac0，b任意。任意。63第3章 线性系统的可控性和可观测性 令令det(sI-A)=0求特征值得：求特征值得：特征值为：特征值为：当当 时，有时，有不不管管a,b,c取取何何值值，ranksI-A B最
36、最大大为为2，所所以以不不管管a,b,c取取何值，系统都不可控。何值，系统都不可控。64第3章 线性系统的可控性和可观测性 习题习题9-20（）已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为设系统状态完全可控且完全可观设系统状态完全可控且完全可观,试求试求a的范围。的范围。解：解：写出可控标准型实现，然后检查可观性：写出可控标准型实现，然后检查可观性：这这种种题题型型的的解解题题思思路路：可可先先写写出出系系统统的的可可控控（或或）可可观观标标准准型型实实现现，再再通通过过判判据据确确定定是是系系统统完完全全可可观观（或或可可控控）的参数范围即可。的参数范围即可。65第3章 线性系统的可控性和可观测性 解解得得 a1=1；a2=2；a3=4；答案：只需答案：只需a 1、a 2 和和 a 4。可观性判别阵：可观性判别阵：系统完全可观，必有：系统完全可观，必有：66结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！67