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1、20152015全国全国大学生数学建模竞赛题目大学生数学建模竞赛题目A:A:太阳影子定位太阳影子定位答辩人：夏瑞琼答辩人：夏瑞琼 陈德春陈德春 朱薪羽朱薪羽指导指导教师：闫芳教师：闫芳目录目录o论文的整体思想o针对问题一的分析与解答o针对问题二的分析与解答o针对问题三的分析与解答o针对问题四的分析与解答o模型的优缺点一、整篇论文的主体思想一、整篇论文的主体思想 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化情况，从而确定拍摄地点和日期的一种重要方法，在视频数据分析中确定视频的拍摄地点和日期占有重要地位。模型一通过计算太阳的高度角和方位角来确定影子随时间的轨迹。模型二在拍摄地点未知的时候，运
2、用日晷投影原理来计算纬度，再用逆推原理计算经度，从而确定地点。一、整篇论文的主体思想一、整篇论文的主体思想 模型三，根据模型二的方法得出地点，再建立方程求出日期。在模型四中，先确定出影子的长度，通过已知的时间、日期和影子长度来确定拍摄地点。第二小问中，用到了回归预测的方法来求正午影子长度，先求出拍摄点的纬度，建立模型求出距离春分日的天数，再确定日期。最后根据已知条件和计算出的量来求出经度，从而确定地点。二、针对二、针对问题一的分析与解答问题一的分析与解答问题分析问题分析：经过分析，得出太阳影子的长度与观测点的时间、日期、地理位置以及杆的高度这 个参量有关。我们可以根据这四个已知参量求出影子在各
3、个时刻的长度，从而得出影长随时间的变化曲线。针对问题一的分析与解答针对问题一的分析与解答建立数学模型：建立数学模型：太阳高度角、方位角的计算1、时差 (1)针对问题一的分析与解答针对问题一的分析与解答其中 为日角，式中，为观测点的经度，为分值，为观测时刻与格林尼治0时刻产生的时间差，观测地点与格林尼治经度差产生的时间差：，东经取负号，西经取正号；为观测时刻的时值，为分值。2、赤纬角 (2)针对问题一的分析与解答针对问题一的分析与解答针对问题一的分析与解答针对问题一的分析与解答3、太阳高度角 (3)式中，为当地纬度，为太阳赤纬角，为太阳时角。针对问题一的分析与解答针对问题一的分析与解答4、太阳方
4、位角 或 (4)5、影长计算公式：为影长，为杆高，由以上计算可得出影长随时间变化曲线。三、针对三、针对问题二的分析与解答问题二的分析与解答问题分析：问题分析：问题已知拍摄的时间、日期和太阳影子的顶点坐标，要求我们根据这三个已知量，建立数学模型，得出可能的拍摄地点。建立数学模型：建立数学模型：（5）针对针对问题二的分析与问题二的分析与解答解答为了从太阳的赤道坐标推求地平坐标，引用球面三角常用公式 （6）由（6）式代入（5）式得：针对问题二针对问题二的分析与的分析与解答解答由上式消去 ，得一般时线方程：(7)当 时，当 时，设任一时线 与 轴夹角为时线取 ，为观测点的纬度。针对针对问题二的分析与问
5、题二的分析与解答解答所以（7）式可写成：（8）由此可以求出纬度 。通过以上的计算有已知量影子的长度、拍摄时间和日期、还有纬度，接下来用模型一的方法，推出经度，从而得出可能的地点。四、针对问题三的分析与解答四、针对问题三的分析与解答问题分析：问题分析：用模型二的方法计算出所在的地点，再根据时间、地点和影长求出拍摄日期。建立建立数学模型：数学模型：根据 可计算出直杆的影长 ，又由 可得四、针对问题三的分析与解答四、针对问题三的分析与解答不同时刻影长不同，但直杆高度都是不变的，测量日期也是相同的，则任取两时刻 、的影长为 和 ，有 再用模型一的方法，等号的左右两边都只含有一个未知数日期，又由于拍摄的
6、日期是相同的，由此可以求出日期。五、针对问题四的分析与解答五、针对问题四的分析与解答问题分析：问题分析：附件中已知视频的拍摄时间、日期、杆高，首先通过对视频处理成图片，然后得出图片中的影子的长度，再通过杆高和影子长度的比例，结合实际的杆高得出实际影长，最后用太阳方位计算及其逆向推倒求出纬度，再用前面的方法求其经度。五、针对问题四的分析与解答五、针对问题四的分析与解答建立数学模型：建立数学模型：（9）（10）其中：五、针对问题四的分析与解答五、针对问题四的分析与解答 其中，代表太阳格林时，是正午12点的太阳赤纬角（由赤纬表数据库查得），是前一日的正午12点的太阳赤纬角。由（9）和（10）得：（1
7、1）两边同时平方整理后是关于 的一元二次方程，解方程得出纬度。再用前面相同的方法求出经度，从而确定拍摄地点。五、针对问题四的分析与解答五、针对问题四的分析与解答第二小问的问题分析：第二小问的问题分析：该问题中不知道拍摄日期，我们先用回归预测的方法算出正午十二点的影长，根据正午十二点的影子长度，杆高，还有拍摄的时间求出纬度，再根据拍摄点的纬度、杆高、影长求出拍摄日期距春分日的天数，从而确定拍摄日期。最后用之前的方法求出拍摄点的经度。五、针对问题四的分析与解答五、针对问题四的分析与解答建立数学模型：建立数学模型：用回归预测的方法得出正午的影长为米。太阳直射方向：被测点的方向：五、针对问题四的分析与
8、解答五、针对问题四的分析与解答 和 的夹角 的余弦为：(12)因为：(13)五、针对问题四的分析与解答五、针对问题四的分析与解答所以根据此方程可以求出纬度。由方程：(14)得出距春分日的天数：从而可以确定出拍摄日期，再用之前的方法求出经度，进而可确定出拍摄地点。六、模型六、模型的的优缺点优缺点优点优点：本篇文章在模型一中就计算了太阳的高度角和方位角，这样既考虑了影子长度随时间的变化，又考虑了方位角的变化，还可以很好的将太阳影长随时间变化反应的轨迹画出来。在模 型二中运用日晷投影原理，将影子各个时刻的顶点坐标和纬度建立了关系，便于确定所求地点的纬度，从而降低的求解难度。六、模型的优缺点六、模型的优缺点缺点缺点：模型四中图片的影子长度的处理存在一定的误差。在最后一个模型中，用回归预测正午12时的影子长度时，只用15组数据，从而预测出的结果存在误差。