空间角的计算精选课件.ppt

《空间角的计算精选课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间角的计算精选课件.ppt（59页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、关于空间角的计算第一页，本课件共有59页 空间向量的引入为代数方法处理立体几何空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。解决空间角的问题。第二页，本课件共有59页空间的角：空间的角：空间的角常见的有：空间

2、的角常见的有：线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条相空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求时，就主要求 范围内范围内 的角；的角；斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是面内这些特殊情况，线面角的范围也是 ；两个平面所成的角是用二面角的平面角来两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是度量。它的范围是

3、。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。第三页，本课件共有59页异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围：思考：思考：结论：结论：一、线线角：一、线线角：第四页，本课件共有59页所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：所以：例一：例一：第五页，本课件共有59页练习：练习：在长方体 中，简解：简解：第六页，本课件共有59页直线与平面所成角的范围：思考：思考：结论：结论：二、线面角：二、线

4、面角：第七页，本课件共有59页例二：在长方体 中，简解：简解：所以所以第八页，本课件共有59页练习：的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为设正方体棱长为1，第九页，本课件共有59页l将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角。如如图图，设设二二面面角角 的的大大小小为为 ，其中其中DCBA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：第十页，本课件共有59页 例三：例三：如如图图3 3，甲站在水，甲站在水库库底面上的点底面上的点A A处处，乙站在水，乙站在水坝坝斜面

5、上的点斜面上的点B B处处。从从A A，B B到直到直线线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 ,AB,AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：解：如图，如图，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则有根据向量的加法法则有于是，得于是，得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此ABCD所以所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为所以库底与水坝所成二面角的余弦值为第十一页，本课件共有59页ll三、面面角：

6、三、面面角：二面角的范围：法向量法法向量法注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角第十二页，本课件共有59页设平面设平面 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角第十三页，本课件共有59页小结：小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：第十四页，本课件共有59页lDCBA3.二面角：ll一进一出，二一进一出，二面角等于法向面角等于法向量的夹角；量的夹角；同进同出，二同

7、进同出，二面角等于法向面角等于法向量夹角的补角。量夹角的补角。第十五页，本课件共有59页2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是向向量分别是 n n1 1=（1 1，0 0，1 1），），n n2 2=（0 0，1 1，1 1），），那么这条斜线与平面所成的角是那么这条斜线与平面所成的角是_._.1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.3.三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则

8、则PA与与BE所成角的余弦所成角的余弦值为值为_.4.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成角的余弦所成角的余弦值值为为_.第十六页，本课件共有59页2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是 =（1 1，0 0，1 1），），=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_._.3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1

9、,1)，则，则两平面所成的钝二面角为两平面所成的钝二面角为_._.练习练习:1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.6001350第十七页，本课件共有59页4.三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角的余弦所成角的余弦值为值为_.5.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_.6.正方体中正方体中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A

10、1D1的的中点中点,则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_第十八页，本课件共有59页7.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，当的中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A18.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOM第十九页，本课件共有59页 解解法法一一：如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设底面三角形的边长为底面三

11、角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设 =1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作作 于于E,于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小在在 中，中，即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为第二十页，本课件共有59页由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos =即二面角 的余弦值为 yxzCADBC1B1A1FE第二十一页，本课件共有59页解法二解法二：同法一，以：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 同法一，可求同法一，可求 B(0,1

12、,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以，可取所以，可取 二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角第二十二页，本课件共有59页8.证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得8.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求

13、证：）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOMxyz第二十三页，本课件共有59页 B1A1 C1D1DCBAOMxyz第二十四页，本课件共有59页习题课习题课例例1 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，作的中点，作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABDP PE EF FC例例2、如图，在四棱锥、如图，

14、在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平行四边为平行四边形，侧面形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC=2 ，SA=SB=.(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABDO第二十五页，本课件共有59页例例3 如如图图,在四棱在四棱锥锥PABCD中，底面中，底面ABCD为为矩形，矩形，侧侧棱棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在，在线线段段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平与平面面PDE所成角的大小所成角的大小为为450?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在的位置；若不存在说说明明

15、理由。理由。DBACEP例例4（2006年福建卷）如图，四面体年福建卷）如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO 平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离。的距离。第二十六页，本课件共有59页1.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，当的中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A12.2.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证

16、：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOM练习：练习：第二十七页，本课件共有59页 解解法法一一：如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设底面三角形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设 =1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作作 于于E,于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小在在 中，中，即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为第二十八页，本课件共有59页由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos =即二面角 的余弦值为 y

17、xzCADBC1B1A1FE第二十九页，本课件共有59页解法二解法二：同法一，以：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以，可取所以，可取 二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法

18、向量夹角第三十页，本课件共有59页8.证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得8.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOMxyz第三十一页，本课件共有59页 B1A1 C1D1DCBAOMxyz第三十二页，本课件共有59页例例1 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD 底面底面ABCD，P

19、D=DC,E是是PC的中点，作的中点，作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F第三十三页，本课件共有59页ABCDP PE EF FXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG第三十四页，本课件共有59页ABCDP PE EF FXYZG(2)求证：求证：PB平面平面EFD第三十五页，本课件共有59页ABCDP PE

20、EF FXYZ(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。第三十六页，本课件共有59页ABCDP PE EF FXYZ第三十七页，本课件共有59页第三十八页，本课件共有59页例例2、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平行四为平行四边形，侧面边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC=2 ，SA=SB=.(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCDOxyz第三十九页，本课件共有59页SABDOC证明：证明：(1)取取BC中点中点O，连接，连接OA、OS。第四十页，本课件共有59页(2

21、)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直线所以直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值为所成角的正弦值为第四十一页，本课件共有59页例例3 如如图图,在四棱在四棱锥锥PABCD中，底面中，底面ABCD为为矩形，矩形，侧侧棱棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在，在线线段段BC上是否上是否存在一点存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小所成角的大小为为450?若存在，若存在，确定点确定点E的位置；若不存在的位置；若不存在说说明理由。明理由。DBACEPxzy第四十二页，本课件共有59页解：以解：以A为原点，为原点，AD、A

22、B、AP所在的直线分别为所在的直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，设设BE=m，则，则第四十三页，本课件共有59页例例4（2006年福建卷）如图，四面体年福建卷）如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO 平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离。的距离。第四十四页，本课件共有59页解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直所以

23、异面直线线AB与与CD所成角的所成角的余弦余弦值为值为 第四十五页，本课件共有59页（III）解：）解：设设平面平面ACD的法向量的法向量为为则则令令得得是平面是平面ACD的一个法向量，又的一个法向量，又所以点所以点E到平面到平面ACD的距离的距离第四十六页，本课件共有59页例例5、(2004，天津，天津)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点。的中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz

24、第四十七页，本课件共有59页ABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点第四十八页，本课件共有59页(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为第四十九页，本课件共有59页 方向朝面内，方向朝面内，方向朝面方向朝面外，属于外，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角第五十页，本课件共有59页1、

25、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值 (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【练习练习】第五十一页，本课件共有59页OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值 第

26、五十二页，本课件共有59页OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为第五十三页，本课件共有59页OABCSxyz所以二面角所以二面角BASO的余弦值为的余弦值为1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值第五十四页，本课

27、件共有59页2、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平，且平面面ABCD与平面与平面ABEF互相垂直。活动弹子互相垂直。活动弹子M，N分别在分别在正方形对角线正方形对角线AC和和BF上移动，且上移动，且CM和和BN的长度保持相的长度保持相等，记等，记CM=BN=（1）求）求MN的长；的长；（2）a 为何值时？为何值时？MN的长最小？的长最小？（3）当）当MN的长最小时，的长最小时，求面求面MNA与面与面MNB所成所成二面角的余弦值。二面角的余弦值。ABCDEFMN第五十五页，本课件共有59页ABCDMNE第五十六页，本课件共有59页第五十七页，本课件共有59页3、如图，在棱长为、如图，在棱长为 的正方体的正方体 中，中，分别是棱分别是棱AB,BC上的动点，且上的动点，且 。（1）求证：）求证：；（2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角的体积取最大值时，求二面角 的正切值。的正切值。OCBAOAB CEF第五十八页，本课件共有59页感感谢谢大大家家观观看看第五十九页，本课件共有59页