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1、关于矩阵的基本运算第一页，本课件共有28页例如例如为同型矩阵为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵.2.2.两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵,并且对应的并且对应的元素相等元素相等,即即则称则称矩阵矩阵矩阵矩阵A A与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵B B相等相等相等相等，记作，记作1、运算定义运算定义&运算规则运算规则第二页，本课件共有28页 设设有有两两个个m n矩矩阵阵A(aij)和和B(bij)矩矩阵阵A与与B的的和和记记为为A B 规定为规定为A B(aij b
2、ij)即即 l矩阵的加法矩阵的加法注注 只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵时时,才能进行加法运算才能进行加法运算.第三页，本课件共有28页l矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 设设A B C都是都是m n矩阵矩阵 则则 (1)A B B A (2)(A B)C A(B C)设矩阵设矩阵A(aij)记记 A(aij)A称为矩阵称为矩阵A的的负矩阵负矩阵负矩阵负矩阵；另，把元全为零的矩阵称为另，把元全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，记作，记作O；由此，规定由此，规定矩阵的减法矩阵的减法为为A B A(B)，例如例如(3)A=A+O=O+A 第四页，本课件共有28页l矩阵
3、的数乘矩阵的数乘 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算线性运算线性运算.l矩阵数乘的运算规律矩阵数乘的运算规律第五页，本课件共有28页l矩阵乘法矩阵乘法把此乘积记作把此乘积记作 是一个是一个sn矩阵矩阵,那么规定矩阵那么规定矩阵A与矩阵与矩阵B的的乘积是一个乘积是一个mn 矩阵矩阵其中其中 设设是一个是一个ms矩阵矩阵,例如例如 第六页，本课件共有28页求求AB.例例 若若解解第七页，本课件共有28页注注注注只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘时，两个矩阵才能相乘.例如例如
4、不存在不存在.乘积乘积AB 维的关系维的关系=A可左乘可左乘B的的可相乘条件可相乘条件可相乘条件可相乘条件.第八页，本课件共有28页练习练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果计算下列矩阵的乘积，并观察结果.注注注注两个矩阵相乘两个矩阵相乘,乘积有可能是一个数乘积有可能是一个数.第九页，本课件共有28页第十页，本课件共有28页第十一页，本课件共有28页结论结论结论结论 两个两个n 阶对角阵之积仍为阶对角阵之积仍为n 阶阶对角阵对角阵.结论结论结论结论 两个两个n阶上（下）三角阵之积仍为阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵阶上（下）三角阵.第十二页，本课件共有28页注注 矩阵乘法不满足交换律矩
5、阵乘法不满足交换律,即即(左乘分配律左乘分配律)(右乘分配律右乘分配律)l矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律例如例如 设设 则则 两个非零矩阵的乘两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵积可能是零矩阵第十三页，本课件共有28页问题问题矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？(1)(1)AB有意义，但有意义，但BA没意义；没意义；(2)(2)AB与与BA都有意义，但可能不是同阶方阵；都有意义，但可能不是同阶方阵；(3)(3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.结论结论 在矩阵的乘法中必须注意在矩阵的乘法中必须注意矩阵相
6、乘矩阵相乘矩阵相乘矩阵相乘的顺序的顺序“左乘左乘”&“右乘右乘”但也有例外，比如设但也有例外，比如设则有则有定义定义 满足满足AB=BA的矩阵称为可的矩阵称为可交换交换交换交换的的.结论结论 两个同阶对角矩阵是可交换的两个同阶对角矩阵是可交换的.第十四页，本课件共有28页EA=AE=A结论结论 n阶单位阶单位矩阵与任意矩阵与任意n阶阶矩阵是可交换的矩阵是可交换的.即即证明证明设设 为任意为任意n阶矩阵阶矩阵,则有则有第十五页，本课件共有28页注注 矩阵乘法不满足消去律，矩阵乘法不满足消去律，即即例如例如 设设有有则则但是但是注注 该例也说明该例也说明注注注注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位
7、与数此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数在数的乘法中的地位相当的乘法中的地位相当.即即第十六页，本课件共有28页并且并且若若A是是n 阶方阵阶方阵,则则Ak为为A的的定义定义 (方阵的幂次方阵的幂次)的的k次幂次幂,即即 定义定义 (方阵的多项式方阵的多项式)注注注注 显然只有显然只有方阵的幂方阵的幂才有意义才有意义 第十七页，本课件共有28页解解例例 由此归纳出由此归纳出第十八页，本课件共有28页用数学归纳法证明用数学归纳法证明:假设假设 k=n 时成立时成立,则则k=n+1 时时,例例 解解归纳出归纳出第十九页，本课件共有28页所以对于任意的所以对于任意的k都有都有第二十页，本课件
8、共有28页l转置矩阵转置矩阵（transpose）把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做叫做A的的转置矩阵转置矩阵,记作记作例例l转置矩阵转置矩阵的运算规律的运算规律转置运算对乘积的转置运算对乘积的去括号法则去括号法则第二十一页，本课件共有28页解解1 1例例 已知已知解解2 2第二十二页，本课件共有28页定义定义(对称阵对称阵)设设A为为n阶方阵阶方阵,如果满足如果满足 ，那么，那么A称为称为对称阵对称阵对称阵对称阵.即即注注注注 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.由此可知由此可知由此可知由此可知，反对称矩
9、阵的对角元必为零，即反对称矩阵的对角元必为零，即 aii ii=0 是是3 3阶反对称矩阵阶反对称矩阵.例如第二十三页，本课件共有28页证证例例 设列矩阵设列矩阵满足满足第二十四页，本课件共有28页例例证证 命题得证命题得证.显然显然C为对称矩阵为对称矩阵,B为反对称矩阵为反对称矩阵.第二十五页，本课件共有28页2、矩阵应用举例矩阵应用举例例例例例（坐标变换）（坐标变换）平面解析几何中，若坐标系平面解析几何中，若坐标系Oxy绕原点绕原点O经经逆时针方向转过角逆时针方向转过角后成为后成为Oxy(如图如图)，任一向量在这两个坐标系中的任一向量在这两个坐标系中的坐标分别为坐标分别为 和和 ,它们有如下它们有如下关系：关系：xOxyyA写成矩阵形式，记为写成矩阵形式，记为过渡矩阵过渡矩阵第二十六页，本课件共有28页例例例例 （线性代数方程组）（线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即一般形式的线性方程组，即Ax=b则线性方程组可被表示成等价的矩阵形式：则线性方程组可被表示成等价的矩阵形式：若记若记系数矩阵系数矩阵第二十七页，本课件共有28页感谢大家观看第二十八页，本课件共有28页