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1、关于电磁场与电磁波教案第一页，本课件共有35页主要内容主要内容n边值问题的分类边值问题的分类n边值问题的唯一性定理边值问题的唯一性定理n镜像法镜像法n分离变量法分离变量法n有限差分法有限差分法第二页，本课件共有35页4.1 边值问题的分类边值问题的分类n边界条件边界条件：所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分：所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分常数。常数。n边值问题边值问题：通过微分方程组和相关边界条件描述的问题。：通过微分方程组和相关边界条件描述的问题。n静态场问题通常分为两大类静态场问题通常分为两大类：1.分布型问题分布型问题n由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积
2、分公式求由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求空间各点的场分布空间各点的场分布2.边值型问题边值型问题n已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布n静态场边值问题的解法可分为静态场边值问题的解法可分为：1.解析法解析法n给出的结果是场量的解析表示式，如镜像法、分离变量法给出的结果是场量的解析表示式，如镜像法、分离变量法2.数值法数值法n通过数值计算，给出场量的一组离散数据，如有限差分法、通过数值计算，给出场量的一组离散数据，如有限差分法、有限元法有限元法第三页，本课件共有35页边界条件的类型：边界条件的类型：n实际边值问题的边界条件分为三类
3、：实际边值问题的边界条件分为三类：1.已知整个边界上的电位函数，称为已知整个边界上的电位函数，称为“狄利克莱狄利克莱”边界条件边界条件2.已知整个边界上的电位法向导数，称为已知整个边界上的电位法向导数，称为“诺伊诺伊曼曼”边界条件边界条件3.已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界上的电位法向导数，称为混合边界条件上的电位法向导数，称为混合边界条件第四页，本课件共有35页格林公式格林公式两式相减，得格林第二恒等式两式相减，得格林第二恒等式第五页，本课件共有35页4.2 4.2 唯一性定理唯一性定理n边边值值问问题题的的求求解解是是偏偏微微分分方方程程的的
4、求求解解，同同时时要考虑解得要考虑解得存在性存在性、唯一性唯一性和和稳定性稳定性。n已已知知整整个个边边界界上上的的电电位位函函数数（第第一一类类边边界界条条件），则场域的解答是唯一的。件），则场域的解答是唯一的。n已已知知整整个个边边界界上上的的电电位位法法向向导导数数（第第二二类类边边界条件），则场域的解答是唯一的。界条件），则场域的解答是唯一的。n已已知知一一部部分分边边界界上上的的电电位位函函数数和和另另一一部部分分边边界界上上的的电电位位法法向向导导数数（第第三三类类边边界界条条件件），则场域的解答是唯一的。则场域的解答是唯一的。第六页，本课件共有35页唯一性定理证明（用格林公式，反
5、证法）唯一性定理证明（用格林公式，反证法）第七页，本课件共有35页n用于求解分布在导体附近的电荷产生的场。用于求解分布在导体附近的电荷产生的场。4.3 4.3 镜像法镜像法第八页，本课件共有35页 几个实例：几个实例：qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷非均匀感应电荷q等效电荷等效电荷非非均均匀匀感感应应
6、电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等等效效电荷的电位替代电荷的电位替代第九页，本课件共有35页镜像法镜像法(method of images)实实质质：是是以以一一个个或或几几个个等等效效电电荷荷代代替替边边界界的的影影响响，将将原原来来具具有有边边界界的的非非均均匀匀空空间间变变成成无无限限大大的的均均匀匀自自由由空空间间，从从而而使使计计算算过过程程大大为简化。为简化。依依据据：惟惟一一性性定定理理。因因此此，等等效效电电荷荷的的引引入入必必须须维维持持原原来来的的边边界界条条件件不不变变，从从而而保保证证原原来来区区域域中中静静电电场场没没有有改改变变，这这是是确
7、确定定等等效效电电荷荷的的大大小小及及其其位位置置的的依依据据。这这些些等等效效电电荷荷通通常常处处于于镜镜像像位位置置，因因此此称称为为镜镜像像电电荷荷（theimagecharge），而这种方法称为而这种方法称为镜像法镜像法。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。镜像电荷位置选择原则：镜像电荷位置选择原则：1.1.镜像电荷必须位于求解区域以外镜像电荷必须位于求解区域以外2.2.镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 局局限限性性：仅仅仅仅对对于于某某些些特特殊殊的的边边界界以以及及特特殊殊分分布布的的电电荷荷才才有有可可能
8、能确确定其镜像电荷。定其镜像电荷。第十页，本课件共有35页1.点电荷对无限大接地的导体平面的镜像点电荷对无限大接地的导体平面的镜像 介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 因为无限大接地导体平面的电位为零因为无限大接地导体平面的电位为零，求得，求得4.3.1接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像第十一页，本课件共有35页 电电荷荷守守恒
9、恒：当当点点电电荷荷q 位位于于无无限限大大的的导导体体平平面面附附近近时时，导导体体表表面面将将产产生生异异性性的的感感应应电电荷荷，因因此此，上上半半空空间间的的电电场场取取决决于于原原先先的的点点电电荷荷及及导导体体表表面面上上的的感感应应电电荷荷。可可见见，上上述述镜镜像像法法的的实实质质是是以以一一个个异异性性的的镜镜像像点点电电荷荷代代替替导导体体表表面面上上异异性性的的感感应应电电荷荷的的作作用用。根根据据电电荷荷守守恒恒原原理理，镜镜像像点点电电荷荷的的电电量量应应该该等等于于这这些些感感应应电电荷荷的的总总电电量量，读读者者可可以以根根据据导导体体表表面面电电荷荷密密度度与电
10、场强度或电位的关系证明这个结论。与电场强度或电位的关系证明这个结论。半半空空间间等等效效：上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为在在上上半半空空间中，源及边界条件未变。间中，源及边界条件未变。第十二页，本课件共有35页2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像电荷的密度和位置分别为镜像电荷的密度和位置分别为 介质 导体 r P 介质 r P hh 介质 第十三页，本课件共有35页 3.3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图，两半无限大接地导体平面如图，两半无限大接地导体
11、平面垂直相交。垂直相交。要要满满足足在在导导体体平平面面上上电电位位为为零零，则则必必须引入须引入3 3个镜像电荷。如图所示。个镜像电荷。如图所示。对于非垂直相交的两导体平面对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为构成的边界，若夹角为 ，则，则所有镜像电荷数目为所有镜像电荷数目为2n-1个。个。第十四页，本课件共有35页q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界应应用用镜镜像像法法时时，仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为
12、零零，必必须须引引入入几几个个镜镜像像电电荷荷。例例如如，夹角为夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q第十五页，本课件共有35页例：真空中，电量为1C的点电荷位于点P(0,0,1)处，xOy平面是一个无限大的接地导体板。求z轴上电位为10000V的点的坐标。解：根据镜像法，可知上半空间的电位是xzOP第十六页，本课件共有35页fqo1.点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 若若导导体体球球接接地地，导导体体球球的的电电位位为为零零。为为了了等等效效导导体体球球边边界界的的影影响响，令令镜镜像像点点电电荷荷q 位位于于球球心心与与点点电电
13、荷荷 q 的的连连线线上上。那那么么，球球面面上上任任一一点点电电位位为为 可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 4.3.2导体球面的镜像导体球面的镜像Padrqr第十七页，本课件共有35页为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比比值值对对于于球球面面上上任任一一点点均均具具有有同同一一数数值值。由由上上图图可可见见，若若要要求求三三角角形形OPq与与OqP 相似，则相似，则常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 这样
14、，根据这样，根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。fqoPadrqr第十八页，本课件共有35页 若若导导体体球球不不接接地地，则则位位于于点点电电荷荷一一侧侧的的导导体体球球表表面面上上的的感感应应电电荷荷为为负负值值，而而另另一一侧侧表表面面上上的的感感应应电电荷荷为为正正值值。导导体体球球表表面面上上总总的的感感应应电电荷荷应应为为零零值值。因因此此，对对于于不不接接地地的的导导体体球球，若若引引入入上上述述的的镜镜像像电电荷荷 q 后后，为为了了满满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q，且必须令，
15、且必须令 显显然然，为为了了保保证证球球面面边边界界是是一一个个等等位位面面，镜镜像像电电荷荷 q”必必须须位位于于球球心心。事事实实上上，由由于于导导体体球球不不接接地地，因因此此，其其电电位位不不等等零零。由由q 及及q在在球球面面边边界界上上形形成成的的电电位位为为零零，因因此此必必须须引引入入第第二二个个镜镜像像电电荷荷q”以以提供一定的电位。提供一定的电位。qfOPadrq2.点电荷对不接地导体球面的镜像点电荷对不接地导体球面的镜像 第十九页，本课件共有35页 真空中一点电荷真空中一点电荷Q位于导体球附近。导体球半径为位于导体球附近。导体球半径为a，点电，点电荷距离球心距离为荷距离球
16、心距离为d（da）。求：）。求：导体球接地时空间电位分布。导体球接地时空间电位分布。解解:当当导导体体球球接接地地时时，由由镜镜像像法法，原原问问题题可可等等效效为为空空间间只只存存在在Q和和镜镜像像电电荷荷q。易易知：知：例例 则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：导体球接地，因此球内空间电位为导体球接地，因此球内空间电位为0 0，即：，即：第二十页，本课件共有35页1.点电荷对电介质分界平面的镜像点电荷对电介质分界平面的镜像问题：点电荷位于两种电介质分界面上方问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h，求，求空间电位分布。空间电位分布。分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，空间
17、分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，空间电位由极化面电荷和电荷电位由极化面电荷和电荷q共同产生。共同产生。解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。等效极化电荷作用。qhO 1 2zqhO 1zhqPR1 R1 区域区域1 1的电位由的电位由q和位于区域和位于区域2 2中的镜像电荷中的镜像电荷q共同产生共同产生hO 2PR2z 区域区域2 2的电位由的电位由q和位于区域和位于区域1 1中的镜像电荷中的镜像电荷 共同产生共同产生4.3.3介质平面的镜像介质平面的镜像第二十一页，本课件共有35页qhO 1zhqPR1 R1hO 2zPR2第二十二页，本
18、课件共有35页在在z=0=0面上应用电位边界条件面上应用电位边界条件第二十三页，本课件共有35页2.线电流对磁介质分界平面的镜像线电流对磁介质分界平面的镜像hzx 2 1IO问题：线电流位于两种磁介质分界面上方问题：线电流位于两种磁介质分界面上方h，求，求空间磁场分布。空间磁场分布。分析：在介质分界面上将存在磁化电流，空间中的分析：在介质分界面上将存在磁化电流，空间中的磁场由磁化电流和直线电流磁场由磁化电流和直线电流I共同产生。共同产生。解决问题方法：镜像法，即用镜像线电流等效磁化电流作用。解决问题方法：镜像法，即用镜像线电流等效磁化电流作用。区域区域1 1的磁场由的磁场由I和位于区域和位于区
19、域2 2中的镜像线电流中的镜像线电流I共同产生共同产生 区域区域2 2的的磁场由的的磁场由I和位于区域和位于区域1 1中的镜像线电流中的镜像线电流I”共同产生共同产生第二十四页，本课件共有35页rhhPzx 1IH1H2OrI 1hzx 2 1IOhPzx 2I+IOr 2为为了了维维持持边边界界条条件件不不变变，求求出出的的上上半半空空间间及及下下半半空空间间的的场场在在边边界界上上应应满满足足恒恒定定磁磁场场的的边边界界条条件件，即即。由此求得。由此求得第二十五页，本课件共有35页hPzx 2I+IOr”2x 1 1rhhPzIH1H2H1H2HOrI第二十六页，本课件共有35页例例设一根
20、载有恒定电流设一根载有恒定电流I 的的无限长无限长导线与无限大的导线与无限大的理想导磁平面理想导磁平面平行放置，平行放置，如图示。导线与平面间的距离为如图示。导线与平面间的距离为h，试，试求上半空间任一点磁场强度。求上半空间任一点磁场强度。Xhyx=0IO第二十七页，本课件共有35页Xhyx=0IOH1rhhPyx 0IH2OrI 0解解 采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流 I ，那，那么上半空间任一点合成磁场强度为么上半空间任一点合成磁场强度为 I=I 根据根据则则第二十八页，本课件共有35页因此合成磁场为因此合成磁场为 rhhP
21、yx 0IH1H2OrI 0直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系第二十九页，本课件共有35页使用镜像法时必须注意：使用镜像法时必须注意：n边界必须是无限大，或者是具有球或圆柱对边界必须是无限大，或者是具有球或圆柱对称性。称性。n为了保证待求场区域内原方程成立，镜像电为了保证待求场区域内原方程成立，镜像电荷不能出现在待求场区域内。荷不能出现在待求场区域内。n镜像电荷的确定必须保证原有的边界条件全镜像电荷的确定必须保证原有的边界条件全部满足。部满足。第三十页，本课件共有35页分离变量法是数学物理方法中的一种。它要求：分离变量法是数学物理方法中的一种。它要求：n1.给定的边界与一个适当的坐标系的
22、坐标面相重合，给定的边界与一个适当的坐标系的坐标面相重合，或分段重合；或分段重合；n2.其次在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成其次在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。这三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。这样，通过分离变量法就可以把偏微分方程化为常微分样，通过分离变量法就可以把偏微分方程化为常微分方程求解。方程求解。4.4 4.4 分离变量法分离变量法第三十一页，本课件共有35页4.4.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法第三十二页，本课件共有35页第三十三页，本课件共有35页第三十四页，本课件共有35页感谢大家观看第三十五页，本课件共有35页