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1、关于重力模型法第一页，本课件共有37页一、重力模型理论一、重力模型理论nGMGM模型描述：模型描述：模型描述：模型描述：交通区交通区i、j之间出行量与交通区之间出行量与交通区i的产生量和交通区的产生量和交通区j j的的吸引量的乘积成正比，与交通区吸引量的乘积成正比，与交通区i、j j之间的交通阻抗之间的交通阻抗之间的交通阻抗之间的交通阻抗R（时间、费用、距离等）成反比。（时间、费用、距离等）成反比。（时间、费用、距离等）成反比。（时间、费用、距离等）成反比。1955年年Casey第一次将重力模型用于地域内两个城镇之间第一次将重力模型用于地域内两个城镇之间第一次将重力模型用于地域内两个城镇之间第
2、一次将重力模型用于地域内两个城镇之间购物出行预测。购物出行预测。购物出行预测。购物出行预测。nGM模型原理：该模型模拟物理学中的模型原理：该模型模拟物理学中的模型原理：该模型模拟物理学中的模型原理：该模型模拟物理学中的牛顿的万有引力定牛顿的万有引力定律律，即：两物体间的引力与两物体的质量之积成正比，即：两物体间的引力与两物体的质量之积成正比，与它们之间距离的平方成反比。与它们之间距离的平方成反比。第二页，本课件共有37页n 重力模型法（重力模型法（重力模型法（重力模型法（GMGM）认为交通区）认为交通区i到到j j的出行分布量不仅与的出行分布量不仅与的出行分布量不仅与的出行分布量不仅与社会经济
3、因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等社会经济因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等社会经济因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等社会经济因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等阻碍因素有关。阻碍因素有关。阻碍因素有关。阻碍因素有关。n 重力模型的基本公式为：重力模型的基本公式为：重力模型的基本公式为：重力模型的基本公式为：其中，其中，其中，其中，P P P Pi i i i，P P P Pj j j j小区小区小区小区i i i i，j j j j的的的的人口数；人口数；人口数；人口数；O O O Oi i i i，D D D Dj j j j小区小区小区小区i i i i，j
4、 j j j的的的的产生交通量与吸引交通量；产生交通量与吸引交通量；产生交通量与吸引交通量；产生交通量与吸引交通量；R R R R小区小区小区小区i i i i，j j j j间的阻抗（距离、费用等）；间的阻抗（距离、费用等）；间的阻抗（距离、费用等）；间的阻抗（距离、费用等）；k,k,k,k,模型参数。模型参数。模型参数。模型参数。Casey模型模型第三页，本课件共有37页n f（Cij）称为阻抗函数，它是减函数，表示当出行阻抗称为阻抗函数，它是减函数，表示当出行阻抗Cij （距离、时间、费用等）增加时函数值降低，即出行量（距离、时间、费用等）增加时函数值降低，即出行量（距离、时间、费用等）
5、增加时函数值降低，即出行量（距离、时间、费用等）增加时函数值降低，即出行量减少。常用的阻抗函数形式有：减少。常用的阻抗函数形式有：减少。常用的阻抗函数形式有：减少。常用的阻抗函数形式有：（1）指数形式）指数形式（2）幂形式）幂形式（3）综合函数）综合函数对于公式：对于公式：第四页，本课件共有37页在在现现状状OD表表已已知知的的条条件件下下，OOi,Dj,Cij和和tij已已知知，k,k,可可以用最小二乘以用最小二乘法求得。对（法求得。对（法求得。对（法求得。对（6.3.16.3.1）式取对数）式取对数:已知已知已知已知多元回归分析式多元回归分析式二、重力模型参数标定二、重力模型参数标定（6.
6、3.1）第五页，本课件共有37页t tij ij1 12 23 3OO（j j）1 12002001001001001004004002 21501502502502002006006003 3100100150150150150400400D D（i i）45045050050045045014001400现状现状现状现状OD表表小区之间阻抗表小区之间阻抗表C Cij ij1 12 23 31 11414323240402 23232161622223 3404022221212假设假设,均为均为1 1 1 1，请，请标定重力模型的参数标定重力模型的参数k k和和和和 。n例题例题：参数标定
7、参数标定第六页，本课件共有37页解：解：解：解：一元线性回归公式一元线性回归公式一元线性回归公式一元线性回归公式令令令令则：则：则：则：Y=采用最小二乘法求解得：采用最小二乘法求解得：采用最小二乘法求解得：采用最小二乘法求解得：b0=-5.627;b1=-0.5224由此求得：由此求得：由此求得：由此求得：k=0.0036;=0.5224-6.8-7.6-7.5-7.5-7.1-7.2-7.5-7.2-7.12.64 3.47 3.69 3.47 2.77 3.09 3.69 3.09 2.48 X=第七页，本课件共有37页n不考虑未来不考虑未来P、A的约束，直接用公式和标定的约束，直接用公式
8、和标定的参数对未来的的参数对未来的Tij进行预测。进行预测。n例如：将未来的例如：将未来的P P、A A、C Cijij代入前面公式：代入前面公式：即可得到未来年份的出行分布矩阵。即可得到未来年份的出行分布矩阵。三、无约束重力模型三、无约束重力模型第八页，本课件共有37页n n无约束模型的计算结果，由于不考虑未来无约束模型的计算结果，由于不考虑未来P、A的约束，可能与给定的产生量的约束，可能与给定的产生量P、吸引量、吸引量A差别很大，需要借助于增长系数法迭代后才差别很大，需要借助于增长系数法迭代后才能使用。见课本能使用。见课本P142页例题页例题。n n为了避免预测与理论数值差别过大的情况，需
9、为了避免预测与理论数值差别过大的情况，需对重力模型进行约束。通常有单约束、双约束、对重力模型进行约束。通常有单约束、双约束、三约束等。三约束等。只服从其中的一个约束，就称为只服从其中的一个约束，就称为单约束重力模型单约束重力模型。如果。如果两个条件约束都服从，则称为两个条件约束都服从，则称为双约束重力模型双约束重力模型。注意注意第九页，本课件共有37页四、单约束重力模型四、单约束重力模型S.t.或或推导过程：推导过程：第十页，本课件共有37页1、乌尔希斯模型、乌尔希斯模型S.t.S.t.P P、AA预测年份的产生和吸引量。预测年份的产生和吸引量。预测年份的产生和吸引量。预测年份的产生和吸引量。
10、P P、AA预测年份的产生和吸引量。预测年份的产生和吸引量。预测年份的产生和吸引量。预测年份的产生和吸引量。约约束束P约约束束A第十一页，本课件共有37页第十二页，本课件共有37页n问题分解：问题分解：（1）用现状）用现状OD矩阵和阻抗矩阵标定阻抗参数矩阵和阻抗矩阵标定阻抗参数；（2）用未来的）用未来的P、A、距离矩、距离矩阵阵、参数、参数计计算未算未来的分布矩来的分布矩阵阵。（3）此）此处处采用采用约约束束P的方法。的方法。第十三页，本课件共有37页解：假设阻抗函数为解：假设阻抗函数为小区小区小区小区1 1总体可达性总体可达性总体可达性总体可达性 假设假设=1，下面采用乌尔希斯模型来检验其是
11、否合，下面采用乌尔希斯模型来检验其是否合理。理。交通区交通区1：根据根据计算小区计算小区计算小区计算小区1到各小区出行量：到各小区出行量：第十四页，本课件共有37页 8 14 10 可以看出，由于采用单约束，只满足了现状产生可以看出，由于采用单约束，只满足了现状产生量量O约束，没有满足现状吸引力约束，没有满足现状吸引力D D约束。约束。约束。约束。D D同样计算交通区同样计算交通区2，交通区，交通区3。第十五页，本课件共有37页第十六页，本课件共有37页n（2 2）计算未来的交通分布矩阵。）计算未来的交通分布矩阵。pp交通区交通区1：A1/C1j=16/2+28/4+40/4=25 T(1,1
12、)=16*8/25=5.12 T(1,2)=16*7/25=4.48 T(1,3)=16*10/25=6.4p交通区交通区2：A2/C2j=16/4+28/1+40/2=52 T(2,1)=28*4/52=2.15 T(2,2)=28*28/52=15.08 T(2,3)=28*20/52=10.77第十七页，本课件共有37页p交通区交通区3：A3/C3j=16/4+28/2+40/2=38 T(3,1)=40*4/38=4.21 T(3,2)=40*14/38=14.74 T(3,3)=40*20/38=21.05p未来未来OD矩阵为：矩阵为：123P15.124.486.46.41622.
13、1515.0810.772834.2114.7421.0540A11.4834.338.22由于为单约束由于为单约束由于为单约束由于为单约束P P P P，此处，此处，此处，此处A A A A约束不满足！约束不满足！约束不满足！约束不满足！第十八页，本课件共有37页五、双约束重力模型五、双约束重力模型n双约束重力模型公式双约束重力模型公式n参数标定方法参数标定方法n例题例题第十九页，本课件共有37页现状阻抗函数现状阻抗函数S.t.1、双约束重力模型公式、双约束重力模型公式S.t.推导过程：推导过程：推导过程：推导过程：第二十页，本课件共有37页2、双约束重力模型计算步骤、双约束重力模型计算步骤
14、n第一步第一步，给参数给参数取初值。取初值。可用最小二乘法标定，若无法标定，则令=1；n n第二步第二步，用迭代法求约束系数。用迭代法求约束系数。以幂指数交通阻抗以幂指数交通阻抗以幂指数交通阻抗以幂指数交通阻抗 为例为例为例为例（1）令m=0，m为计算次数。（2 2）令（3 3）求出求出求出求出第二十一页，本课件共有37页n n第三步第三步，将求得参数代入，用现状将求得参数代入，用现状OD值求现状值求现状理论分布表理论分布表 n第四步第四步，计算现状实际计算现状实际OD分布表的平均交通阻抗分布表的平均交通阻抗 ，再计算理论分布表中的平均交通阻抗：，再计算理论分布表中的平均交通阻抗：，求两者相对
15、误差。，求两者相对误差。（4）收敛判定。收敛判定。若下式满足，则结束计算；反之，令m+1=m，返回第（3）步重复计算。第二十二页，本课件共有37页l第五步第五步，如果如果 满足要求满足要求(3%)，则接受，则接受的求解，否则：的求解，否则：若若 ，则理论分布量小于实际，则理论分布量小于实际，应减少应减少的值，可令的值，可令 2；若若 ，则理论分布量大于实际，应增大，则理论分布量大于实际，应增大的值，令的值，令2；返回第一步，重新计算。返回第一步，重新计算。第二十三页，本课件共有37页 D DOO3 34 45 5 j j1 115015010010050503003002 2400400100
16、100200200700700 i i55055020020025025010001000现状现状ODOD表表小区之间现状阻抗表小区之间现状阻抗表C Cij ij3 34 45 51 13 32 25 52 23 35 54 4假设假设,均为均为1 1 1 1，求双约束，求双约束重力模型的公式重力模型的公式。3、例题、例题第二十四页，本课件共有37页l l解：解：第一步，给出参数第一步，给出参数第一步，给出参数第一步，给出参数 初始初始初始初始值值值值，令，令，令，令=1=1。第二步，采用迭代法求约束系数第二步，采用迭代法求约束系数第二步，采用迭代法求约束系数第二步，采用迭代法求约束系数a a
17、i i，b bj j。第一次迭代。第一次迭代。第一次迭代。第一次迭代。令令令令b b3 3=b=b4 4=b=b5 5=1=1，则则则则：用用用用a a1 1，a a2 2的数值求解的数值求解的数值求解的数值求解b b3 3，b b4 4 ，b b5 5 ，则则则则：第二十五页，本课件共有37页第二次迭代。第二次迭代。第二次迭代。第二次迭代。求解新的求解新的求解新的求解新的a a1 1，a a2 2数值数值数值数值，则则则则：用用用用a a1 1，a a2 2的数值再次求解的数值再次求解的数值再次求解的数值再次求解b b3 3，b b4 4，b b5 5，为为为为：b3=0.8957，b4=1
18、.0643，b5=1.2618第三次迭代。第三次迭代。第三次迭代。第三次迭代。求解新的求解新的求解新的求解新的a a1 1，a a2 2，b b3 3，b b4 4，b b5 5数值数值数值数值，结结结结果与第二次迭果与第二次迭果与第二次迭果与第二次迭代相同，代相同，代相同，代相同，满满满满足收足收足收足收敛敛敛敛条件（条件（条件（条件（3%)3%)，停止迭代。，停止迭代。，停止迭代。，停止迭代。第二十六页，本课件共有37页第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值。.求出各交
19、通区之间的理论分布值为：求出各交通区之间的理论分布值为：D DOO3 34 45 5 j j1 1147.59147.5995.795.756.756.73003002 2402.4402.4104.3104.3193.3193.3700700 i i55055020020025025010001000第二十七页，本课件共有37页第四步，检验第四步，检验第四步，检验第四步，检验。根据。根据。根据。根据实际实际实际实际ODOD和理和理和理和理论论论论ODOD表求得平均交通阻抗：表求得平均交通阻抗：表求得平均交通阻抗：表求得平均交通阻抗：认为认为=1=1可以接受。可以接受。第二十八页，本课件共有3
20、7页六、三维约束重力模型六、三维约束重力模型（Tri-proportional Gravity Models）n nOD矩阵或阻抗矩阵中的某些单元格满足附加条件。矩阵或阻抗矩阵中的某些单元格满足附加条件。n n例如，某个区域中有四类出行，如下表所示：例如，某个区域中有四类出行，如下表所示：D DOO1 12 23 34 41 1A AB BC CD D2 2B BC CD DA A3 3C CD DA AB B4 4D DA AB BC C第二十九页，本课件共有37页n如果各类出行已知，则可以看作对双约束如果各类出行已知，则可以看作对双约束重力模型又增加一维约束，例如重力模型又增加一维约束，例
21、如:A=XXX或或 B=XX或或 C=X或或 D=XXXXn n不仅重力模型可以有三维约束，增长系数法也不仅重力模型可以有三维约束，增长系数法也可以有三维约束，原理同三维重力模型法。可以有三维约束，原理同三维重力模型法。第三十页，本课件共有37页七、模型理论解释七、模型理论解释n n概率论解释概率论解释n n信息论解释最大熵原理信息论解释最大熵原理了解即可，详细见课本了解即可，详细见课本P146页。页。第三十一页，本课件共有37页n优点：优点：直观上容易理解；直观上容易理解；能考虑路网的变化和土地能考虑路网的变化和土地利用对出行的影响；利用对出行的影响；特定区的现有特定区的现有ODODODOD
22、交通量为零时，也交通量为零时，也能预测；能预测；能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变化的情况。化的情况。n缺点：缺点：虽考虑路网变化和土地利用对出行的影响，虽考虑路网变化和土地利用对出行的影响，但没有考虑出行者的个体因素影响；但没有考虑出行者的个体因素影响；交通区内出行交通区内出行交通量无法求出；交通量无法求出；若交通小区之间的距离非常小时，若交通小区之间的距离非常小时，有夸大预测的可能性。有夸大预测的可能性。八、重力模型的特点八、重力模型的特点第三十二页，本课件共有37页九、交通分布模型的选用九、交通分布模型的选用n重力模型法重力模型法能够考虑路网阻抗
23、的变化，要求数能够考虑路网阻抗的变化，要求数据不苛刻，因此适用范围较广，可用于各种交据不苛刻，因此适用范围较广，可用于各种交通规划。通规划。n增长系数法增长系数法可以作为重力模型法的补充，在重可以作为重力模型法的补充，在重力模型法无法满足约束条件时，可以辅助应用力模型法无法满足约束条件时，可以辅助应用（例如课本（例如课本P142）；也可以用于预测城市外）；也可以用于预测城市外部交通量及公路交通量。部交通量及公路交通量。第三十三页，本课件共有37页 D DOO1 12 23 3合计合计合计合计预计预计预计预计1 117.017.07.07.04.04.028.028.038.638.62 27.
24、07.038.038.06.06.051.051.091.991.93 34.04.05.05.017.017.026.026.036.036.0合计合计合计合计28.028.050.050.027.027.0105.0105.0预计预计预计预计39.339.390.390.336.936.9166.5166.5作业：按上次作业给出的现状作业：按上次作业给出的现状作业：按上次作业给出的现状作业：按上次作业给出的现状ODOD表和将来生成、发生与吸引交通量，表和将来生成、发生与吸引交通量，表和将来生成、发生与吸引交通量，表和将来生成、发生与吸引交通量，采用重力模型，求出将来采用重力模型，求出将来采
25、用重力模型，求出将来采用重力模型，求出将来ODOD表，并和底特律法比较。收敛标准表，并和底特律法比较。收敛标准表，并和底特律法比较。收敛标准表，并和底特律法比较。收敛标准=1%=1%=1%=1%。假设重力模型公式如下：。假设重力模型公式如下：。假设重力模型公式如下：。假设重力模型公式如下：答案：答案：答案：答案：现状行驶时间现状行驶时间现状行驶时间现状行驶时间将来行驶时间将来行驶时间将来行驶时间将来行驶时间C Cij ij1 12 23 31 18.08.017.017.022.022.02 217.017.015.015.023.023.03 322.022.023.023.07.07.0C
26、 Cij ij1 12 23 31 14.04.09.09.011.011.02 29.09.08.08.012.012.03 311.011.012.012.04.04.0现状现状现状现状ODOD与未来与未来与未来与未来PAPA八、思考与作业八、思考与作业第三十四页，本课件共有37页n思考题：思考题：单位：单位：minO1234131118224002231319460315.5 13574004241885702D260 400 500 802 1962费用矩阵及费用矩阵及费用矩阵及费用矩阵及ODOD范范 围围1.04.0 4.1-8.0 8.1-12.012.1-16.016.1-20.020.1-24.0TLD36596216015023095重力模型标定重力模型标定重力模型标定重力模型标定TLDTLD目标值目标值目标值目标值请采用三维约束法标定重力模型参数。（了解，答案略）第三十五页，本课件共有37页谢谢 谢！谢！第三十六页，本课件共有37页感感谢谢大大家家观观看看第三十七页，本课件共有37页