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1、关于概率论第一页，本课件共有64页书例书例1 掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子,观察其落下时向上观察其落下时向上一面的点数一面的点数,B=掷出偶数点掷出偶数点,A=掷出的点数掷出的点数小于小于4,求在事件求在事件B已发生的条件下事件已发生的条件下事件A发生发生的概率的概率(记为记为P(A|B).第二页，本课件共有64页1.定义定义一、条件概率一、条件概率第三页，本课件共有64页2.性质性质条件概率具有概率的所有性质，如条件概率具有概率的所有性质，如第四页，本课件共有64页（1）在缩减的样本空间中计算事件发生的概）在缩减的样本空间中计算事件发生的概率率,所得结果对原样本空间来说即是所求的所得结果
2、对原样本空间来说即是所求的P(A|B).计算条件概率的方法：计算条件概率的方法：（2）在原样本空间）在原样本空间S中中,先计算先计算P(B),P(AB),第五页，本课件共有64页书例书例2 箱中有箱中有6个红球个红球,4个白球个白球,不放回地依次不放回地依次取出两球取出两球,求在第一次取到白球的情况下第二求在第一次取到白球的情况下第二次取到红球的概率次取到红球的概率.第六页，本课件共有64页书例书例3 某种动物由出生算起活到某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4,如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物,问它
3、能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少?设设 A 表示表示“能活能活 20 岁以上岁以上”的事件的事件;B 表表示示“能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有解解第七页，本课件共有64页二、乘法公式二、乘法公式定理定理1(1(乘法公式乘法公式)主主要要用用于于求求几几个个事事件件同同时时发发生生的的概概率率第八页，本课件共有64页书例书例4 4 有有100张订货单张订货单,其中其中5张是订购货物甲的张是订购货物甲的,现从这现从这些订货单中任取些订货单中任取3张张,问第三张才取得订购货物甲的订问第三张才取得订购货物甲的订货单的概率是多少？货单的概率是多少？设设 =第
4、第i张订单是货物甲的张订单是货物甲的(i=1,2,3),解解 按题意所求事件为按题意所求事件为所求概率为所求概率为第九页，本课件共有64页书例书例5 5 现有一批零件是由甲、乙二人加工而成的现有一批零件是由甲、乙二人加工而成的,其其中甲加工了中甲加工了60%,乙加工了乙加工了 40%,甲加工的零件的次甲加工的零件的次品率为品率为10%,乙加工的零件的次品率为乙加工的零件的次品率为15%,从这批从这批零件中任取一只零件中任取一只,求取到次品的概率求取到次品的概率.设设 A=取到的零件为次品取到的零件为次品,解解 =甲加工的零件甲加工的零件,=乙加工的零件乙加工的零件,第十页，本课件共有64页定理
5、定理2(全概率公式全概率公式)全概率公式全概率公式三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式第十一页，本课件共有64页说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率分解为若干个简单事件的概率计算问题计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.第十二页，本课件共有64页书例书例6 6 现有一批零件是由甲、乙二人加工而成的现有一批零件是由甲、乙二人加工而成的,其其中甲加工了中甲加工了60%,乙加工了乙加工了 40%,甲加工的零件的次品甲加工的零件的次
6、品率为率为10%,乙加工的零件的次品率为乙加工的零件的次品率为15%,从这批零从这批零件中任取一只件中任取一只,求取到次品的概率求取到次品的概率.设设 A=取到的零件为次品取到的零件为次品,解解 =甲加工的零件甲加工的零件,=乙加工的零件乙加工的零件,第十三页，本课件共有64页由全概率公式得由全概率公式得第十四页，本课件共有64页书例书例7 有三个箱子有三个箱子,第一箱装有第一箱装有4个黑球个黑球4个白球个白球,第第二箱装有二箱装有5个黑球个黑球3个白球个白球,第三箱装有第三箱装有6个黑球个黑球2个白球个白球.现从三个箱子中任取一箱现从三个箱子中任取一箱,再从该箱中任再从该箱中任取一球取一球,
7、求取出的是白球的概率求取出的是白球的概率解解:设设 A=取出的是白球取出的是白球,Bi=取出的球属于第取出的球属于第i箱箱则由全概率公式得则由全概率公式得第十五页，本课件共有64页书例书例8 8 现有一批零件是由甲、乙二人加工而成的现有一批零件是由甲、乙二人加工而成的,其其中甲加工了中甲加工了60%,乙加工了乙加工了 40%,甲加工的零件的次甲加工的零件的次品率为品率为10%,乙加工的零件的次品率为乙加工的零件的次品率为15%,从这批从这批零件中任取一只零件中任取一只,(1)求取到次品的概率求取到次品的概率;设设 A=取到的零件为次品取到的零件为次品,解：解：=甲加工的零件甲加工的零件,=乙加
8、工的零件乙加工的零件,(2)已知取出的产品为次品，求是甲加工的概率；已知取出的产品为次品，求是甲加工的概率；由全概率公式得由全概率公式得第十六页，本课件共有64页称此公式为称此公式为贝叶斯公式贝叶斯公式.3.贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式第十七页，本课件共有64页 注注:1)贝叶斯公式是已知贝叶斯公式是已知“最后结果最后结果”,求求“原因原因”的概率的概率.2)B1,B2,.,Bn可以看作是导致可以看作是导致A发生的发生的原因原因;3)P(Bj|A)是在事件是在事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件Bj发生的发生的 概率概率,称称为为“后验概率后验概率”;4)Bayes公式又称为公式又称
9、为“后验概率公式后验概率公式”或或“逆概率公式逆概率公式”;5)称称P(Bj)为为“先验概率先验概率”.第十八页，本课件共有64页例例8 某商品由三个厂家供应某商品由三个厂家供应,其供应量为：一厂家是二厂家其供应量为：一厂家是二厂家的的2倍倍,二、三两厂相等二、三两厂相等.各厂出产品的次品率为各厂出产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机地抽取一件此种商品，若从市场上随机地抽取一件此种商品，(1)求它是次品的概率：求它是次品的概率：(2)若已知取到的是次品若已知取到的是次品,求它是由一厂生产的概率求它是由一厂生产的概率.解解第十九页，本课件共有64页(1)由由全概率公式得全概率公式得(2
10、)由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得第二十页，本课件共有64页解解书例书例1010设设A=肝癌患者肝癌患者,B=检查呈阳性检查呈阳性，第二十一页，本课件共有64页由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人肝癌患者肝癌患者.第二十二页，本课件共有64页解解书例书例11第二十三页，本课件共有64页 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为后验概率后验概率先验概率先验概率第二十四页，本课件共有64页1.条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式四、小结四、小结乘法定理乘法定理第二十五页，本课件共
11、有64页第二十六页，本课件共有64页备份题备份题1 8支步枪中有支步枪中有5支已校准过，支已校准过，3支未校准支未校准.一名射手用校准过的枪射击时一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为中靶的概率为 0.8;用用未校准的枪射击时未校准的枪射击时,中靶的概率为中靶的概率为0.3.现从现从8枪中任枪中任取一支用于射击取一支用于射击,结果中靶结果中靶,求所用的是校准过的概率求所用的是校准过的概率.解：解：设设B1=使用的枪校准过使用的枪校准过,B2=使用的枪未校准使用的枪未校准,A=射击时中靶射击时中靶,第二十七页，本课件共有64页则则B1,B2是是S的一个划分的一个划分,且且由贝叶斯公式由贝叶斯公
12、式,得得故所用的枪是校准过的概率故所用的枪是校准过的概率为为40/49.第二十八页，本课件共有64页备份题备份题2 2 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品,其其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱,3箱箱,2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1,0.2,0.3 从这从这 10箱箱产品中任取一箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率.设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”,分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙
13、、丙生产的”,由题设知由题设知解解第二十九页，本课件共有64页故故第三十页，本课件共有64页备份题备份题3 3 五个阄五个阄,其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字,三个阄内不写字三个阄内不写字,五人依次五人依次抓取抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是字阄的概率是否相同否相同?解解则有则有抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关?第三十一页，本课件共有64页第三十二页，本课件共有64页依此类推依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.第三十三页，本课件共有64页备题备题4(卜里耶模型卜里耶模型)设箱中有设箱中有b只黑球只黑球,r只红球只红球,随机从中取随机从中取出一只出一只,观其颜
14、色后放回观其颜色后放回,并再放入并再放入c只与所取到的那只球只与所取到的那只球同颜色的球同颜色的球.这样下去共取了这样下去共取了n次球次球,问前问前 次取到黑球次取到黑球 后后 取到的红球概率是多少？取到的红球概率是多少？设设 =第一次取出黑球第一次取出黑球，=第第 次取出红球次取出红球，则，则=第第 次取出黑球次取出黑球，=第第 次取出红球次取出红球，解解第三十四页，本课件共有64页因此因此第三十五页，本课件共有64页一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性 1.6 1.6 随机事件的独立性随机事件的独立性三、小结三、小结第三十六页，本课件共有64页定
15、义定义1一、一、两个事件的独立性两个事件的独立性 直观说法直观说法:两个事件独立两个事件独立,是指其中一个事件的发生不是指其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生影响另一个事件的发生.第三十七页，本课件共有64页定理定理1 设设A、B 是两个事件是两个事件,若若 P(B)0,则则A与与B 独立独立 的充分必要条件是的充分必要条件是 P(A|B)=P(A).定理定理2 如果如果A、B独立独立,则则 均相均相类似有类似有:若若 P(A)0,则则A与与B独立独立 互独立互独立.第三十八页，本课件共有64页且且A与与B相互独立相互独立证证 第三十九页，本课件共有64页独立与互斥的关系独立与互斥的关系这
16、是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系例：将一枚硬币连掷三次例：将一枚硬币连掷三次,观察正面观察正面H、反面反面T 出现的情况出现的情况.第四十页，本课件共有64页由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.解：解：S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT A=HHH,HHT,HTH,HTT B=HHH,HHT,THH,THT 若事件若事件A A表示第一次出现正面，事件表示第一次出现正面，事件B B表示第
17、二次表示第二次出现正面，则出现正面，则显然显然而而第四十一页，本课件共有64页A、B 独立独立 与与A、B 互斥不能同时成立互斥不能同时成立.证证若若A与与B 独立独立,则则 即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).结论结论2 结论结论1 两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥.第四十二页，本课件共有64页结论结论3 必然事件必然事件S 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互相互独立独立.证证 SA=A,P(S)=1 P(SA)=P(A)=1 P(A)=P(S)P(A)即即 S与与A独立独立.A=,P()=0 P(A)=P()=0=P()P(A)即即 与与A独立独立.第
18、四十三页，本课件共有64页甲甲,乙两射手独立地射击同一目标乙两射手独立地射击同一目标,他们击中他们击中目标的概率分别为目标的概率分别为0.9和和0.8,求在一次射击求在一次射击中中(每人各射击一次每人各射击一次)目标被击中的概率目标被击中的概率.解解设设 A=甲击中目标甲击中目标 B=乙击中目标乙击中目标 C=目标被击中目标被击中 依题设依题设,书例书例1第四十四页，本课件共有64页=0.98=0.98第四十五页，本课件共有64页1.三事件两两独立的概念三事件两两独立的概念二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性定义定义第四十六页，本课件共有64页2.三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定
19、义定义第四十七页，本课件共有64页 设设 A1，A2，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(2kn),及及 1i 1 i 2 i kn 3.n 个事件的独立性个事件的独立性定义定义若事件若事件 A1，A2，An 中任意两个事件相中任意两个事件相互独立，即对于一切互独立，即对于一切 1 i j n,有有定义定义第四十八页，本课件共有64页两个结论两个结论第四十九页，本课件共有64页n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立,则则结论的应用结论的应用“至少有一个发至少有一个发生生”的概率为的概率为至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“
20、第五十页，本课件共有64页甲乙丙三射手独立地射击同一目标甲乙丙三射手独立地射击同一目标,他们击中他们击中目标的概率分别为目标的概率分别为0.9,0.8,0.7,求在一次射求在一次射击中击中(每人各射击一次每人各射击一次)目标被击中的概率目标被击中的概率.解解设设 A=甲击中目标甲击中目标 B=乙击中目标乙击中目标 C=丙击中目标丙击中目标 D=目标被击中目标被击中 依题设依题设,书例书例1第五十一页，本课件共有64页第五十二页，本课件共有64页书例书例2 三个人独立地破译一密码三个人独立地破译一密码,他们能单独他们能单独译出的概率分别为译出的概率分别为 求此密码被译出的求此密码被译出的概率概率
21、.第五十三页，本课件共有64页事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常由元件组成的系统正常工作的概率工作的概率.例如例如一个系统由两个独立工作的元件构成一个系统由两个独立工作的元件构成,每个每个元件的可靠性均为元件的可靠性均为r,Ai=第第i个元件正常工作个元件正常工作.1212(1)串联串联(2)并联并联P(A1A2)=r2P(A1A2)=1(1 r)2系系统统的的可可靠靠性性第五十四页，本课件共有64页书例书例3 一个系统由四个独立工
22、作的元件联接而成一个系统由四个独立工作的元件联接而成,设每设每个元件的可靠性为个元件的可靠性为r,r,分别在下列两种联接下分别在下列两种联接下,求系统的求系统的可靠性可靠性.设设Ai=第第i个元件正常工作个元件正常工作,13241324解解B=系统正常工作系统正常工作.第五十五页，本课件共有64页第五十六页，本课件共有64页 书书例例4 设设有有三三门门炮炮同同时时向向敌敌机机各各射射击击一一次次.已已知知它它们们击击中中敌敌机机的的概概率率分分别别为为0.4,0.5,0.6.若若敌敌机机被被一一门门炮炮击击中中时时被被击击落落的的概概率率为为0.3,被被两两门门炮炮击击中中时时被被击击落落的
23、的概概率率为为0.7,被三门炮击中时即被击落被三门炮击中时即被击落.求敌机被击落的概率求敌机被击落的概率.Cj=第第j门炮击中敌机门炮击中敌机,Ai=有有i门炮击中敌机门炮击中敌机B=敌机被击落敌机被击落解解 第五十七页，本课件共有64页=0.40.50.4+0.60.50.4+0.60.50.6=0.38第五十八页，本课件共有64页=0.40.50.4+0.40.50.6+0.60.50.6=0.40.50.6=0.12=0.380.3+0.380.7+0121=0.5=0.38第五十九页，本课件共有64页三、小结三、小结第六十页，本课件共有64页第六十一页，本课件共有64页备用题备用题伯恩
24、斯坦反例伯恩斯坦反例例例2-1 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体,其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色,第三面染成黑色第三面染成黑色,而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A,B,C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红,白白,黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件,问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红,白白,黑分别出现两面黑分别出现两面,因此因此又由题意知又由题意知第六十二页，本课件共有64页故有故有因此因此 A、B、C 不相互独立不相互独立.则三事件则三事件 A,B,C 两两独立两两独立.由于由于第六十三页，本课件共有64页感感谢谢大大家家观观看看第六十四页，本课件共有64页