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1、高数积分公式1第一页，本课件共有31页主要内容：主要内容：1.1.第一换元积分法第一换元积分法.2.2.第二换元积分法第二换元积分法一、换元积分法一、换元积分法2第二页，本课件共有31页换元积分法分第一换元积分法和第二换元积分法两类。换元积分法分第一换元积分法和第二换元积分法两类。求求 分析分析 由于被积函数由于被积函数cos3x是一个复合函数，因此是一个复合函数，因此不能直接用基本积分公式不能直接用基本积分公式 解解 验证验证确实是确实是cos3x的元函数，上述方法正确。的元函数，上述方法正确。1.1.第一换元积分法第一换元积分法例例1 13第三页，本课件共有31页 当不定积分不能用基本积分
2、公式直接求出，但当不定积分不能用基本积分公式直接求出，但被积表达式具有形式被积表达式具有形式 可作变量代换可作变量代换得得而积分而积分可以求出，不妨设可以求出，不妨设 f(u)的原函数的原函数F(u)，于是有于是有设设 f(x)及及连续，且连续，且则作变量代换则作变量代换后，有后，有例例1 1说明说明：定理定理1 1（第一换元积分法）（第一换元积分法）可得可得4第四页，本课件共有31页在不定积分基本公式中若积分变量不是在不定积分基本公式中若积分变量不是连续）连续）则公式仍成立则公式仍成立.例如例如自变量自变量 x,而是中间变量而是中间变量 u（设（设运用第一换元积分法求不定积分的步骤运用第一换
3、元积分法求不定积分的步骤：(1)把被积函数分解为两部分因式相乘的形式，其把被积函数分解为两部分因式相乘的形式，其中中 一部分是一部分是(2)凑微分凑微分并作变量代换并作变量代换从而把关于积分变量从而把关于积分变量 x 的不定积分转化为关于新积的不定积分转化为关于新积分变量分变量 u 的不定积分的不定积分.由定理由定理1 1知知：5第五页，本课件共有31页求求 把被积函数中的把被积函数中的 2x+1 看作新变量看作新变量 u,即令即令求求把被积函数中的把被积函数中的看作新变量看作新变量 u，即令即令例例2 2解解例例3 3解解u=2x+1,得得6第六页，本课件共有31页把被积函数中的把被积函数中
4、的看作新变量看作新变量u，即令即令求求 第一换元积分法的关键是第一换元积分法的关键是“凑微分凑微分”，因而第一换，因而第一换元积分法又称为元积分法又称为凑微分法凑微分法。例例4 4解解 熟练以后，新变量熟练以后，新变量 u 可以可以省略不写。省略不写。7第七页，本课件共有31页求求解解求求解解例例5 5例例6 68第八页，本课件共有31页求求解解由上例易得由上例易得例例7 79第九页，本课件共有31页求求解解类似地可得类似地可得求求解解类似地可得类似地可得例例8 8例例9 910第十页，本课件共有31页上述例上述例5例例9的结果可以当公式使用，即的结果可以当公式使用，即基本积分公式（二）基本积
5、分公式（二）注意：注意：11第十一页，本课件共有31页求求解解求求解解 例例1010和例和例1111都是先凑微分，后利用公式都是先凑微分，后利用公式1717和公式和公式1919求积分的。求积分的。例例1010例例1111注意注意12第十二页，本课件共有31页求求解法一解法一 此解法是先将被积函数化为部分分式，然后此解法是先将被积函数化为部分分式，然后再凑微分求出结果。再凑微分求出结果。例例1212注意注意:13第十三页，本课件共有31页解法二解法二 解法二是将被积函数的分母配成完全平方，解法二是将被积函数的分母配成完全平方，再凑微分后应用公式再凑微分后应用公式2020求出积分结果。当公式比较熟
6、求出积分结果。当公式比较熟悉时，解法二比解法一简单。悉时，解法二比解法一简单。因此，由例因此，由例1212可知，对被积函数灵活地进行恒等变可知，对被积函数灵活地进行恒等变形，综合应用积分性质和积分公式是求积分的必需的。形，综合应用积分性质和积分公式是求积分的必需的。注意：注意：14第十四页，本课件共有31页求求解法一解法一解法二解法二 同一积分可有不同的解法，其结果在形式同一积分可有不同的解法，其结果在形式上可能不同，但实际上它们只相差一个常数。上可能不同，但实际上它们只相差一个常数。例例1313注意：注意：15第十五页，本课件共有31页第一换元积分法是通过变量代换第一换元积分法是通过变量代换
7、将积分将积分我们也常常会我们也常常会遇到相反的情形，即适当选择变量代换遇到相反的情形，即适当选择变量代换将积分将积分化为积分化为积分若若则得另一种形式的换元积分法则得另一种形式的换元积分法:设设 f(x)连续，连续，的导数的导数连续，且连续，且若若则则定理中关于连续性的假设是为了保证有关的原函数存定理中关于连续性的假设是为了保证有关的原函数存在，在，关于关于的假设是为了保证能从的假设是为了保证能从解出解出 t，最终，最终 消去变量消去变量 t。2.2.第二换元积分法第二换元积分法 定理定理2 2（第二换元积分法）（第二换元积分法）化为化为进行积分。进行积分。16第十六页，本课件共有31页运用第
8、二换元积分法的主要步骤运用第二换元积分法的主要步骤:从而将关于积分变量从而将关于积分变量 x 的不定积分化为关于的不定积分化为关于积分变量积分变量 t 的不定积分。的不定积分。关键是关键是存在反函数。存在反函数。第二换元积分法主要解决被积函数中带根号的一类第二换元积分法主要解决被积函数中带根号的一类积分，去根号是选积分，去根号是选的主要思路。的主要思路。求求令令则则于是于是例例1414解解是作变量代换是作变量代换17第十七页，本课件共有31页求求令令则则因此得因此得例例1515解解18第十八页，本课件共有31页求求令令 此时此时于是于是由于由于所以所以于是于是例例1616解解19第十九页，本课
9、件共有31页求求令令则则为了消去为了消去t，还原为，还原为x，除了可用例，除了可用例16的解析法外，还的解析法外，还可用三角形法：可用三角形法：，即由，即由作直角三角形作直角三角形(如图如图),从而易得从而易得，于是，于是xat例例1717解解由由20第二十页，本课件共有31页求求令令，则，则于是于是根据根据作直角三角形（如图），作直角三角形（如图），从而，从而xat得得例例1818解解21第二十一页，本课件共有31页综合例综合例17，例，例18，得公式，得公式求求解解 第二换元积分法可以用来解决被积函数中带有根号的某些第二换元积分法可以用来解决被积函数中带有根号的某些积分：积分：1，当根号内
10、含有，当根号内含有x的一次函数，如的一次函数，如可分别令可分别令2，当被积函数含有根式，当被积函数含有根式时，时，可分别作三角代换可分别作三角代换例例191922第二十二页，本课件共有31页分部积分法是与两个函数乘积的导数法则对应的积分法。分部积分法是与两个函数乘积的导数法则对应的积分法。设函数设函数 u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，因为两个函数具有连续导数，因为两个函数乘积的乘积的导数为导数为或或对上式两边求不定积分，得对上式两边求不定积分，得即即或或上述公式叫做上述公式叫做分部积分公式分部积分公式。二、分部积分法二、分部积分法23第二十三页，本课件共有31页运用分部积分公式求不定积
11、分运用分部积分公式求不定积分的主要步骤是的主要步骤是:把被积函数把被积函数 f(x)分解为两部分因式相乘的形式，分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作其中一部分因式看作 u，另一部分因式看作另一部分因式看作 v,而后套用公式，而后套用公式，把求不定积分把求不定积分 的问题转化为求的问题转化为求不定积分不定积分 的问题。的问题。24第二十四页，本课件共有31页求求应用公式应用公式代入公式，得代入公式，得求求设设代入公式，得代入公式，得在上例中如果设在上例中如果设于是有于是有反而出现了比原积分更复杂的积分，可见运用分部积分公式的反而出现了比原积分更复杂的积分，可见运用分部积分公式的关键是恰
12、当选择关键是恰当选择例例1 1解解例例2 2解解注意注意：25第二十五页，本课件共有31页一般地，选择一般地，选择的原则是：的原则是：2，不定积分，不定积分比原不定积分比原不定积分容易求出。容易求出。当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照“反、对、幂、指、三反、对、幂、指、三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为u，而将排在后的另一个函数选作而将排在后的另一个函数选作v。求求把把lnx看作看作u
13、，dx看作看作dv，用公式用公式得得例例3 3解解26第二十六页，本课件共有31页求求解解 当应用分部积分公式后得到的积分还需用分当应用分部积分公式后得到的积分还需用分部积分公式时，可以继续使用，直到可以求出积分结果为部积分公式时，可以继续使用，直到可以求出积分结果为止。例止。例4 4就是用了两次分部积分公式后才求出积分结果的。就是用了两次分部积分公式后才求出积分结果的。例例4 4注意：注意：27第二十七页，本课件共有31页求求解解移项，两边除以移项，两边除以2，并加积分常数，得，并加积分常数，得 当两次应用分部积分法后又出现了原积当两次应用分部积分法后又出现了原积分时，我们是用解方程的方法求
14、出积分结果的。分时，我们是用解方程的方法求出积分结果的。例例5 5注意：注意：28第二十八页，本课件共有31页求求令令代入原积分，得代入原积分，得 有时我们需要综合应用前面讲过的各种积分方法，有时我们需要综合应用前面讲过的各种积分方法，如例如例6 6就综合应用了换元积分法、分部积分法和直接积分法。就综合应用了换元积分法、分部积分法和直接积分法。例例6 6解解注意：注意：29第二十九页，本课件共有31页1 1、凑微分法、凑微分法凑微分法用于被积函数为凑微分法用于被积函数为的形式的积分，凑微分的形式的积分，凑微分后可直接应用积分公式。要记住常见函数的凑微分公式。凑微分就是把微分后可直接应用积分公式
15、。要记住常见函数的凑微分公式。凑微分就是把微分公式反过来用。公式反过来用。2、第二换元积分法、第二换元积分法 第二换元积分法对于我们来说，主要用于去除被积函数中所含的第二换元积分法对于我们来说，主要用于去除被积函数中所含的根号。当根号下是线性函数例如根号。当根号下是线性函数例如 ax+b 时，作幂代换时，作幂代换当根号下是当根号下是 x 的二次函数时，则作三角代换，例如根号内是的二次函数时，则作三角代换，例如根号内是x2 2a2 2时，可时，可令令 x=sin=sint 作代换。作代换。3、分部积分法、分部积分法 分部积分法用于被积函数为两类不同类型函数乘积的积分，在分部积分法用于被积函数为两
16、类不同类型函数乘积的积分，在用分部积分法时，其中一个因子要看作用分部积分法时，其中一个因子要看作 u，另一个因子要看作，另一个因子要看作 v，可以按照，可以按照“反、对、幂、指、三反、对、幂、指、三”排在前面的顺序选择排在前面的顺序选择u。三、小结三、小结30第三十页，本课件共有31页作业：习题作业：习题4。3 对于初等函数，在其定义区间内，它对于初等函数，在其定义区间内，它的原函数一定存在，这并不意味着我们已会求所有初等的原函数一定存在，这并不意味着我们已会求所有初等函数的不定积分了。函数的不定积分了。例如，对于初等函数例如，对于初等函数等，它们的等，它们的原函数一定存在，原函数一定存在，值得指出的是：值得指出的是：但却不能用初等函数表示出来，有但却不能用初等函数表示出来，有时称为时称为“积不出来积不出来”。它们的计算需要用其他方法来。它们的计算需要用其他方法来解决。解决。31第三十一页，本课件共有31页