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1、第五章第五章 自振频率和振型的实用计算自振频率和振型的实用计算第一节第一节 能量法求自振频率能量法求自振频率根据能量守恒，在任何瞬时（忽略能量散失）根据能量守恒，在任何瞬时（忽略能量散失）一，瑞利能量法一，瑞利能量法设图示系统中任一质点的运动方程为设图示系统中任一质点的运动方程为振动速度振动速度系统的动能系统的动能将振动速度代入得将振动速度代入得动能的最大值发生在动能的最大值发生在 时刻，即时刻，即若只考虑弯曲变形的影响，系统的应变能为若只考虑弯曲变形的影响，系统的应变能为将运动方程代入得将运动方程代入得当当 时，应变能最大，即时，应变能最大，即使使 ，即可得到，即可得到瑞利商瑞利商用外力做功
2、的数值代替系统应变能的数值用外力做功的数值代替系统应变能的数值图（图（b b）系统上外力所做的总功为）系统上外力所做的总功为将运动方程代入上式得将运动方程代入上式得y(x,t)为静荷载（自重、F等）引起的位移，如自重等 当当 时，应变能达到最大值，此时外时，应变能达到最大值，此时外力所作的功亦为最大值，力所作的功亦为最大值，这时系统的动能除了分布质量这时系统的动能除了分布质量m(x)m(x)的动能外，还应的动能外，还应包括各集中质量包括各集中质量 的动能，即的动能，即将振动速度代入得将振动速度代入得当当 时，动能达最大值时，动能达最大值由由 得到得到例：如图（a）所示均质等截面简支梁。单位梁长
3、的质量为 ，其抗弯刚度EI为常数。若振型分别为图（b）所示 （为梁中点的最大挠度）和图（c）所示梁在自重作用下的挠曲线。分别计算自振频率，并将所得结果进行比较。解：（1）振型为从而得自振频率精确解（2）取振型为梁在自重荷载上的挠曲线。图（c）所示为匀布自重荷载作用下简支梁的静力挠曲线，即最大动能外力做功的最大值因为,可以解得此值与精确解相比较，偏大约2例：计算重力坝沿水流方向的自振频率时，可以取沿坝轴线方向单位长度的坝体近似地简化为图（a）所示的变截面悬臂梁。试用瑞利法计算其自振频率。解：选变截面悬臂梁在其自重作用下所引起的挠曲线作为近似振型，如图（b）所示，即从图（b）可以看出其分布质量为最
4、大动能和外力功的最大值为根据得到例：等截面悬臂梁端部有一集中质量用瑞利法估计基频解：选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数：选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数：因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好例例.用能量法计算图示体系的基频用能量法计算图示体系的基频.mmm321解解:1.1.取自重引起的位移取自重引起的位移mgmgmg精确解精确解:2.2.取直线取直线mmm321mgmgmg3.3.取常数取常数精确解精确解:二，李兹能量法李兹给出了级数形式的近似振型将上式代入瑞利商的表达式得引进下列记号为所以根据频率为极值的条件得到即简化上式并将 代入得或 上式为n个齐次
5、线性方程，为了使方程组有非零解，必须得到 上式展开后得到一个 的n次方程，该方程有n个根。对于其中的每一个根 都可求得一组常数 ，因此得到n个振型函数 求得的 就是所研究的系统前n个自振频率和振型函数的近似解。例：试用李兹法求图所示重力坝的第一和第二阶自振频率。解：为了使级数各项都满足位移边界条件，近似振型函数选为假设经一次近似计算只取第一项，即代入瑞利商的表达式得若取级数前两项，即 将 代入相关式子计算出 ，这时 成为展开系数行列式，并令其等于零,得频率方程：解得与精确解的相对误差为0.6，是较高一阶频率的近似值。例：图所示等截面悬臂梁，用李兹法求自振频率。解：选取两个函数：这两个函数在梁的
6、支承处满足固定端边界条件。于是，近似振型函数可取为求得 如下于是，频率方程为从上式可得到一个关于 的方程，方程的根为这两个频率的精确值为比较得，第二阶自振频率精读很差。为了改善 得计算精读，采用以下四个函数：求得结构的前四阶频率为该结构第三阶和第四阶自振频率的精确值为 比较得，的精读最高，次之，的精读最差。所以说，为了得到精读较高的高阶频率，往往需要选取较多的函数 。例：等截面简支梁梁中部有一集中质量 Ma，大小等于梁的质量采用里兹法，求：梁的模态函数近似解Ma选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数：解：基函数满足自然边界条件（两端挠度和弯矩为零）模态试函数：若对第三阶固有频率的精度要求
7、不高，取 n3代入里兹法方程，求得系数：模态试函数：梁的模态函数近似解：第二节 幂法计算自振频率和振型一，最低阶频率和振型的计算上式两边左乘以 首先假定一个任意的规准化振型 ，例如令其中第一个自由度振幅值为1，即 ，亦即，假定规准化振型 上标（0）表示假设的初始形状，即零次迭代。把这个假定的标准化振型代入 等号左边，经过运算得 ，即将 中第一个元素归一化为1后，得式中 这就是频率和振型的第一次近似值 。再把 代入 ，仿此继续循环迭代计算，直到经过连续迭代前后两次的 给出相同或近乎相同的数值为止，这样得到的就是系统的最低自振频率 及相应的振型 。如果假定的形状 是一个真实的振型，则因此，那么，中
8、任何一对对应元素的比值都能得到相同的频率 ，则 一般来说，经过一次迭代后的 和假定的 的形状是不一样的。对于上式中的每一次位移坐标会得到不同的 值。在这种情况下，为了求出较好的频率近似值，通常采用以质量作为加权系数的平均法，用 左乘以 当真实振型或是自重作用下的挠曲线都不能很快给出时，习惯上总是把各质体的幅值假定为1，即取例：如图所示三层刚架，试用幂法计算它的最低自振频率和振型。解：该系统的劲度矩阵和质量矩阵分别为因此，这个结构的柔度矩阵是由此得将假定的初始迭代振型 代入上式等号左边，得将 代入，算得将 代入，算得将 代入，算得 因为前后两次迭代的振型基本相同，迭代至此停止，求得的第一振型为
9、，相应的自振频率为精确解如果按照 来求第一自振啤频率，则 可见，第一次迭代求得的频率精度较差。采用质量为权系数平均，只需迭代一次就能得到较好的频率近似值 现在来证明上述迭代法求出频率和振型就是系统的最低自振频率和相应的振型。当给出假定的振型 后，逐次迭代可以作出如下的一系列向量对于开始所假定的振型 可表示为将上式前乘以D,则 由于 即 ，故当迭代次数k充分大时，只要 时，则有 这就说明，在 迭代k次后，向量 与向量 仅相差一常数倍数，或者说向量 收敛于向量 。由于每迭代一次 都要归一化一次，所提出的因子就是 ，所以迭代k次后，就收敛到系统的第一自振频率和对应的振型。二，最高阶频率和振型的计算用
10、 左乘以 则基于上式的迭代计算结果将得到最高阶的自振频率和相应的振型。为了论证这一点，令按照前面同样的论证方法可以得到迭代k次的向量为 因为 ，当k充分大时，所以上面等式右端各项比最后一项要小得多，略去前面（n-1）项，于是得到 这就说明，迭代k次后就收敛到系统的最高一阶振型。给出第n阶自振频率的近似值或例：图所示三层刚架，试用幂法计算它的最高自振频率和振型。解：按 ，有 假定初始振型 ，并设 ，代入上式等号左边，得到继续迭代计算，得 前后两次迭代振型已基本接近，迭代中止，得到第三阶振型为与前面所得第三阶振型一致，其相应的第三阶自振频率为三，高阶频率和振兴的计算假设振型 逐阶消频法：当要求第r
11、+1阶振型 时，可以在假设振型 中清除掉所有前面r阶振型分量，逐步收敛到第r+1阶振型，从而求出所需若干阶振型。在上式等号两边前乘以 ,并利用振型的正交性得从上式中解出 为了在假设的振型中清掉所有前面r阶振型分量，可取初始迭代向量为 式中，为r阶清型矩阵或淘汰矩阵；I为主对角元素为1的对角矩阵。在实际迭代计算过程中，应该在每次迭代后都要重新清型。也就是说，只是在求系统的第一阶振型时用矩阵D前乘，在以后各阶振型的计算中，每次都要用清型后的矩阵来前乘。经过清型后的各阶矩阵称为收缩矩阵，可表示为收缩矩阵还可以写成递推公式的形式对收缩矩阵作些说明。上式取r=1，则上式两边右乘以当k1时，。的特征值与特征向量和D的相同。当k1时，。的 ，即第一阶特征值和对应的特征向量给“收缩”掉了。推至一般而言，收缩矩阵 的 ，而 的第r+1阶以上的特征值和各特征向量都和D的相同。例：图所示三层钢架，试用幂法计算它的高阶自振频率和振型。解：计算第一阶频率和振型计算式的标准形式 为用幂法迭代算得清除第一阶振型的收缩矩阵 为计算第二阶自振频率和振型计算式的标准形式 为用幂法迭代算得清除第一阶振型和第二阶振型的收缩矩阵 为计算第三阶自振频率和振型计算式的标准形式 为用幂法迭代算得(与精确值基本 一致）