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1、第八章第八章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 8.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念例：有信号要求用数字方法滤去50Hz的成分解：用 T=0.004秒 对 信 号 x(t)进 行 采 样（fs=250Hz）则输出为五个信号采样值的平均值。讨论：（1）可以用数字方法实现滤波（2）在数字滤波中，可以实现“非因果”的处理（3）若本例中改为50Hz和500Hz组成的信号，采样频率为2500Hz，数字滤波的结果是一样的。因此数字滤波时，滤波参数和信号采样频率的相对值有关。非因果系统因果系统8.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念1.数字滤波器的分类数字滤波器从
2、实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：(8.1.1)(8.1.2)2数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示：图8.1.2低通滤波器的技术要求通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：(8.1.3)(8.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(8.1.3)和(8.1.4)式则表示成：(8.1.5)(8.1.6)3.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器
3、的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。8.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。图z=esT,s平面与z平面之间的映射关系设模拟滤波器的传
4、输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(8.3.1)式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：(8.3.2)式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，对进行拉氏变换，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(8.3.5)上式表示采样信
5、号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：)将s=j代入上式，得由)式和)式得到:)上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(8.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(8.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照)式，得到:因此得到:)那么=0,r=10,r0,r1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数图z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图脉冲响应不变法的频
6、率混叠现象假设没有频率混叠现象，即满足按照(8.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：令一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(8.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为)可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为)如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为)优点：频率坐标的转换是线性的缺点：1）非一一对应的映射，（2）内为一一对应2）存在混叠现象。由于相应的模拟滤波器不是一个带限系统，根据系统一定存在混叠适用（1）衰减特性好的低通带通滤波器（2）系统函数可用极点部分分式表示时在实际
7、应用中，通常采用修正措施：因为了减少混叠效应，一般选用较高采样频率，取T很小，这样会造成增益过高，故采取措施例8.3.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为按照)式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则转换时，也可以直接按照)式进行转换。首先将Ha(s)写成)式的形式，如极点s1,2=1j1,则再按照)式，H(z)为图例的幅度特性8.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器为了克服脉冲响应不变法的
8、频率混叠，建立S平面与Z平面之间的一一对应关系，可以采取以下措施：1）将整个S平面压缩到S1平面的一个横向条带内2）将S1平面的一个横向条带变换到整个Z平面S平面1S1平面Z平面正切变换实现频率压缩：)式中T仍是采样间隔，当1从/T经过0变化到/T时，则由经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有)再通过转换到z平面上，得到：)下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。图双线性变换法的映射关系令s=j,z=ej，并代入(8.4.3)式中，有)图双线性变换法的频率变换关系图双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射设表系数关系表例试分别用脉冲响应不变法和双线
9、性不变法将图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图写出该滤波器的传输函数Ha(s)为利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图8.4.5(a),(b)所示。图例图H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z)下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用双线性变换法，边界频率的转换关
10、系为图例图数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例8.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB模拟低通的技术指标为T=1s,p=0.2rad/s,p=1d
11、B;s=0.3rad/s,s=15dB设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。取 N=6。为 求 3dB截 止 频 率 c,将 p和 p代 入(8.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表，得到归一化传输函数为为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照)式、)式，或者)式和)式，得到：图例图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性(2)用双线性变换法设计数字低
12、通滤波器。数字低通技术指标仍为p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB模拟低通的技术指标为设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：取N=6。为求c,将s和s代入)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。根据N=6，查表得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：图例图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性8.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计例如高通数字滤波器等。具体设
13、计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章8.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。例8.5.1设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解(1)数字高通的技术指标为p=0.8
14、rad,p=3dB;s=0.44rad,s=15dB(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：查表，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为为去归一化，将p=s/c代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：(6)用双线性变换法将模拟高通H(s)转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即例设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内
15、最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率u=0.4rad通带下截止频率l=0.3rad阻带上截止频率s2=0.5rad阻带下截止频率s1=0.2rad通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有(通带中心频率)(带宽)将以上边界频率对带宽B归一化，得到u=3.348,l=2.348;s2=4.608,s1=1.498;0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率归一化通带截止频率p=1p=3d
16、B,s=18dB(4)设计模拟低通滤波器：查表，得到归一化低通传输函数G(p),(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p等式代入G(p)中，得例设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率l=0.19,阻带下截止频率s1=0.198，阻带上截止频率s2=0.202，通带上限频率u=0.21，阻带最小衰减s=13dB，l和u处衰减p=3dB。采用巴特沃斯型。解(1)数字带阻滤波器技术指标：l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB;s1=0.198rad,
17、s2=0.202rad,s=13dB(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有阻带中心频率平方为20=lu=0.421阻带带宽为B=u-l=0.07rad/s将以上边界频率对B归一化：l=8.786,u=9.786,s1=9.186,s2=9.386;20=lu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：按照(8.2.48)式，有p=1,p=3dB(4)设计模拟低通滤波器：(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：(6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。8.6 IIR 数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法 1.零极点累试法称为零极点累试法。在确定零
18、极点位置时要注意：(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。图例图(a)零极点分布；(b)幅度特性2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，)式中，A是常数；ai,bi,ci,di是待求的系数；Hd(ej)是希望设计的滤波器频响。如果在(0，)区间取N点数字频率i,i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(ej)|和|H(ej)|，写出两者的幅度平方误差E为)而在(8.8.1)式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。下
19、面我们研究采用(8.8.1)式网络结构，如何求出(4K+1)系数。按照(8.8.2)式，E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示：上式表示4K个系数组成的系数向量。为推导公式方便，令)为选择A使E最小，令)设k是的第k个分量(ak或bk或ck或dk)，)因为,式中H*i表示对Hi函数共轭。)将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，得到：)式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。同理求得)由于系统函数是一个有理函数，极、零点均以共轭成对的形式存在，对于极点z1,一定有下面关系：)图例图(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2时的幅度特性例设计低通数字滤波器，其幅度特性如图8.
20、8.2(a)所示。截止频率s=0.1rad。解考虑到通带和过渡带的重要，在00.2区间，每隔0.01取一点i值，在0.2区间每隔0.1取一点i值，并增加一点过渡带，在=0.1处|Hd(ej)|=0.5。1.0,=0,0.01,0.02,:,0.090.5,=0.10.0,=0.11,0.12,:,0.190.0,=0.2,0.3,:,N=29，取k=1，系统函数为待求的参数是A，a1,b1,c1,d1。设初始值=(0000.25)T经过90次迭代，求得E=1.2611，系统函数零、极点位置为零点0.67834430j0.73474418;极点0.75677793j1.3213916为使滤波器因
21、果稳定，将极点按其倒数搬入单位圆内，再进行62次优化迭代，求得结果为零点0.82191163j0.56961501;极点0.89176390j0.19181084;Ag=0.11733978,E=0.56731误差函数用下式表示：)3.在时域直接设计IIR数字滤波器设我们希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，要求设计一个单位脉冲响应h(n)充分逼近hd(n)。下面我们介绍这种设计方法。设滤波器是因果性的，系统函数为)式中a0=1，未知系数ai和bi共有N+M+1个，取h(n)的一段，0np-1，使其充分逼近hd(n)，用此原则求解M+N+1个系数。将(8.8.13)式改写为令p
22、=M+N+1,则)令上面等式两边z的同幂次项的系数相等，可得到N+M+1个方程：h(0)=b0h(0)a1+h(1)=b1h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2上式表明h(n)是系数ai,bi的非线性函数，考虑到iM时，bi=0，一般表达式为：)设x(n)为给定的输入信号，yd(n)是相应的希望的输出信号，x(n)和yd(n)长度分别为M和N，实际滤波器的输出用y(n)表示，下面我们按照y(n)和yd(n)的最小均方误差求解滤波器的最佳解，设均方误差用E表示：)上式中x(n),0nM1；yd(n)，0nN-1为选择h(n)使E最小，令由(8.8.18)式得到)例设计数字滤波器，要求在给定输
23、入x(n)=3,1的情况下，输出yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。解设h(n)长度为p=4，按照(8.8.20)式，得列出方程：10h(0)+3h(1)=3.253h(0)+10h(1)+3h(2)=0.853h(1)+10h(2)+3h(3)=0.313h(2)+9h(3)=0.03解联立方程，得h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109将h(n)以及M=1,N=2代入(8.8.15),(8.8.16)式中，得a1=0.1824,a2=0.1126b0=0.3333,b1=0.0330滤波器的系统函数为相应的差分方程为y(n)=0.3333x(n)+0.0330 x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)当x(n)=3,1时，输出y(n)为y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012:将y(n)与给定yd(n)比较，y(n)的前五项与yd(n)的前五项很相近，y(n)在五项以后幅度值很小。