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1、 指数函数、幂函数指数函数、幂函数 对数函数增长的比较对数函数增长的比较第一课时第一课时一粒米的故事一粒米的故事 从前，有一个国王特别喜爱一项称为从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋国际象棋”的的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿愿.“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米.”.”发明者发明者说说.“.“只是几粒米？只是几粒米？”国王回答说国王回答说.“.“是的，只要在棋盘的第是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上一格放上一粒米，在第二格放上
2、两粒米，在第三个加倍放上四粒米四粒米以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望盘为止，这就是我的愿望.”.”国王很高兴国王很高兴.“.“如此廉价便可以如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了.国王想国王想.于是国王大声地说于是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议证我们的协议”思考：思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？如果一个函数，底数是自如果一个函数，底数是自变量量x,
3、x,指数是常数指数是常数 ，1.1.幂函数：函数：这样的函数称的函数称为幂函数函数.即即在第一象限内，在第一象限内，当当a0a0时，图象随象随x x增大而上升增大而上升当当a0a1 a1 0a1 0ay3.3.对数函数数函数 y=logy=loga ax x(a0(a0，且，且a1)a1)当当a a1 1时，指数函数时，指数函数y y=a ax x是增函数，并且对于是增函数，并且对于x x0 0，当，当a a越大时，其函数值的增长就越快。越大时，其函数值的增长就越快。指数函数指数函数当当a a1 1时，对数函数时，对数函数y=y=logloga ax x是增函数，并且对是增函数，并且对于于x
4、x1 1，当，当a a越小时，其函数值的增长就越快。越小时，其函数值的增长就越快。对数函数对数函数当当x x0 0，n n1 1时，幂函数时，幂函数y y=x xn n是增函数，并且对是增函数，并且对于于x x1 1，当，当n n越大时，其函数值的增长就越快。越大时，其函数值的增长就越快。yx-3 -2 -1 O 1 2 3654321y=x2y=x4幂函数幂函数比较函数比较函数y=2y=2x x,y=x,y=x2 2,y=log,y=log2 2x x图像增长快慢图像增长快慢y=log2xy=x2y=2xyxO1642 4思考？思考？对于上述三种增加的函数对于上述三种增加的函数,它们的函数值
5、的增它们的函数值的增长快慢有何差别呢长快慢有何差别呢?对数函数对数函数 y=log y=log2 2x x增长最慢增长最慢 幂函数幂函数 y=x y=x2 2和指数函数和指数函数y=2y=2x x快慢则交快慢则交替进行替进行 在在(0,2)(0,2)，幂函数比指数函数增长快，幂函数比指数函数增长快 在在(4,+(4,+)，指数函数比幂函数增长快，指数函数比幂函数增长快自变量自变量x函数值函数值y=2xy=x100(x0)y=log2x12101.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0101 024101003.321 928 11001.27
6、1030102006.643 856 23002.0410905.15102478.228 818 75003.27101507.89102698.965 784 37005.26102103.23102849.451 211 19008.45102702.66102959.813 781 29966.70102996.70102999.961 0001.0710301103009.965 784 31 1001.36103311.381030410.10328781 2001.72103618.281030710.2288187借借助助计计算算器器完完成成右右表表对函数对函数y y=2=2x
7、 x,y y=x x100100(x x0),0),y y=log=log2 2x x的函数值的函数值(取近似取近似值值)比较比较 x 的的 变变化化 区区 间间函数值的变化量函数值的变化量y=2xy=x100(x0)y=log2x(1,10)10231010013.321 928 1(10,100)1.271030102003.321 928 1(100,300)2.0410905.15102471.584 962 5(300,500)3.27101507.89102690.736 965 6(500,700)5.26102103.23102840.485 426 8(700,900)8.4
8、5102702.66102950.362 570 1(900,1000)1.0710301103000.152 003 1(1000,1100)1.36103311.38103040.137 503 5(1100,1200)1.72103618.28103070.125 530 9利利用用上上表表完完成成右右表表对函数对函数y y=2=2x x,y y=x x100100(x x0),0),y y=log=log2 2x x的函数值的函数值(取近似取近似值值)比较比较1 1、随着、随着x x的值越大，的值越大，y y=log=log2 2x x的函数值增长的越的函数值增长的越来越慢，来越慢，y
9、 y=2=2x x和和y y=x x100100的函数值增长的的函数值增长的 越来越快越来越快y y=log=log2 2x x增长比增长比y y=2=2x x和和y y=x x100100要慢的多。要慢的多。2 2、对函数、对函数y y=2=2x x和和y y=x x100100而言而言在在x x比较小时，会存在比较小时，会存在y y=x x100100比比y y=2=2x x的增长快的增长快的情况。的情况。当当x x比较大时，比较大时，y y=2=2x x比比y y=x x100100增长得更快。增长得更快。在区间在区间(0,(0,)上上,当当a a1,1,n n0 0时时,当当x x足够
10、大时足够大时,随着随着x x的增大的增大,y y=a ax x的增长速度越来越快的增长速度越来越快,会超过会超过并远远大于并远远大于y y=x xn n的增长速度的增长速度,而而y y=log=loga ax x的增长速的增长速度则越来越慢度则越来越慢.因此因此,总会存在一个总会存在一个x x0 0，.使得当使得当x xx x0 0时，一定有时，一定有a ax xx xn nlogloga ax x指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数值长非常快指数函数值长非常快,因而常称这种现象为因而常称这种现象为“指指数爆炸数爆炸”现在回答下：国王能满足他吗？例例
11、1 1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：方案一：每天回报每天回报4040元；元；方案二：方案二：第一天回报第一天回报1010元，以后每天比前一天元，以后每天比前一天 多回报多回报1010元；元；方案三：方案三：第一天回报第一天回报0.40.4元，以后每天的回报比元，以后每天的回报比前一天翻一番前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？令第令第x x天天,回报为回报为y y元元方案一方案一:y y=40=40方案二方案二:y=y=1010 x x(x
12、 xNN+)方案三方案三:y y=2=2x-1x-10.4(0.4(x xN+)N+)分析分析投投资资7 7天天以下选方案一以下选方案一投投资资7 78 8天以下选方案二天以下选方案二投资投资8 8天以上选方案三天以上选方案三例例2 2、0.30.32 2，loglog2 20.30.3，2 20.30.3这三个数之间这三个数之间大小关系是大小关系是()()A.0.3A.0.32 22 20.30.3loglog2 20.3;0.3;B.0.3B.0.32 2loglog2 20.30.32 20.30.3;C.logC.log2 20.30.32 20.30.30.30.32 2;D.logD.log2 20.30.30.30.32 22 20.30.3;D再见再见