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1、3-1 层次分析法的基本层次分析法的基本 原理和步骤原理和步骤3-2 模糊层次分析方法模糊层次分析方法AHP model and its application2/5612/9/202212/9/2022一、递阶层次结构建立一、递阶层次结构建立1.1、递阶层次结构及组成、递阶层次结构及组成二、构造比较判断矩阵二、构造比较判断矩阵四、层次总排序四、层次总排序前言前言1、背景知识、背景知识2、基本思想与建模步骤、基本思想与建模步骤1.2、四个注意点、四个注意点2.1、两两比较法、两两比较法2.2、比较判断矩阵、比较判断矩阵 的四个说明的四个说明3.1、单准则下的排序、单准则下的排序三、单准则下的排
2、序三、单准则下的排序 及一致性检验及一致性检验3.2、一致性的检验、一致性的检验4.1、层次总排序的步骤、层次总排序的步骤4.2、总排序一致性检验、总排序一致性检验五、判断矩阵的调整五、判断矩阵的调整六、群组决策六、群组决策6.1、比较判断矩阵比较判断矩阵综合法综合法6.2、权重向量综合排序法、权重向量综合排序法3/5612/9/202212/9/2022 人们在各项日常活动中，常常会面对一些决策问人们在各项日常活动中，常常会面对一些决策问题。比如，大学毕业生对职业的选择，他们会从专业题。比如，大学毕业生对职业的选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等各方面对口、发展潜力、单
3、位的名气、地点、收入等各方面加以考虑，比较，判断，然后进行决策。假如有加以考虑，比较，判断，然后进行决策。假如有m个个单位可供选择，你会选择哪一个？单位可供选择，你会选择哪一个？随着人们面对的决策问题越来越复杂，例如，科随着人们面对的决策问题越来越复杂，例如，科研成果的评价、综合国力（地区综合实力）比较、各研成果的评价、综合国力（地区综合实力）比较、各工业部门对国民经济贡献的比较、企业评估、人才选工业部门对国民经济贡献的比较、企业评估、人才选拔等问题。项目决策者与决策的模型及方法之间的交拔等问题。项目决策者与决策的模型及方法之间的交互作用变得越来越强烈和越来越重要。许多问题由于互作用变得越来越
4、强烈和越来越重要。许多问题由于结构复杂且缺乏必要的数据，很难用数学模型来解决。结构复杂且缺乏必要的数据，很难用数学模型来解决。1、背景知识、背景知识4/5612/9/202212/9/2022 由美国运筹学家教授在由美国运筹学家教授在70年代中期提出的年代中期提出的层次分析层次分析法法（Analytic Hierarchy Process）简称）简称AHP，是指，是指将决策问题的有关元素分解成将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案目标、准则、方案等层等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法方法.这一方法的特点，是在对复杂决策问题的
5、本质、这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个个层次结构模型层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法。的复杂决策问题提供一种简便的决策方法。5/5612/9/202212/9/2022层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的70年代初年代初期，期，1971年，美国匹兹堡大学数学教授在为美国国防年，美国匹
6、兹堡大学数学教授在为美国国防部研究部研究“应急计划应急计划”中，充分注意到了当前社会的特中，充分注意到了当前社会的特点及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综点及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综合进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保合进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保证模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用证模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用其有价值的经验与判断能力。其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在教授在1972年发表年发表用其有价值的经验与判断能力。用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在教授在1972年发年发表了表了“用于排序和
7、计划的特征根分配模型用于排序和计划的特征根分配模型”。之后，。之后，Saaty教授又发表了一系列关于教授又发表了一系列关于AHP应用方面的文章。应用方面的文章。1977年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。同年，同年，Saaty教授在第一届国际数学建模会议上发表了教授在第一届国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模无结构决策问题的建模层次分析理论层次分析理论”,从此从此,AHP方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和应方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和应用。用。6/5612/9/202212/9/2022 AHP的应用范围十分广泛，
8、涉及面主要有以下的应用范围十分广泛，涉及面主要有以下几个方面：几个方面：经济与计划经济与计划;能源政策与资源分配能源政策与资源分配;政治问题及冲突政治问题及冲突;人力资源管理人力资源管理;预测预测;项目评价项目评价;教育发展教育发展;环境工程环境工程;医疗卫生医疗卫生;企业管理与生产经营决策企业管理与生产经营决策;会计会计;军事指挥，武器评价军事指挥，武器评价.以上种种只是给出一些总体范围，在每个范畴内，以上种种只是给出一些总体范围，在每个范畴内，又有许多不同的应用。又有许多不同的应用。7/5612/9/202212/9/20222、基本思想与建模步骤、基本思想与建模步骤 层次分析法的基本思路
9、与人们对复杂的决策问题的层次分析法的基本思路与人们对复杂的决策问题的思维判断过程大体一样的。当一个决策者在对问题进思维判断过程大体一样的。当一个决策者在对问题进行分析时，首先要将分析对象的因素建立起彼此相关行分析时，首先要将分析对象的因素建立起彼此相关因素的层次递阶系统结构，这种层次递阶结构可以清因素的层次递阶系统结构，这种层次递阶结构可以清晰地反映出诸相关因素（目标、准则、对象）的彼此晰地反映出诸相关因素（目标、准则、对象）的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题顺理成章。然后关系，使得决策者能够把复杂的问题顺理成章。然后进行逐一比较、判断，从中选出最优的方案。进行逐一比较、判断，从中选出最优
10、的方案。运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤:建立递阶层次结构；建立递阶层次结构；构造比较判别矩阵；构造比较判别矩阵；在单准则下的排序及一致性检验；在单准则下的排序及一致性检验；总的排序选优。总的排序选优。8/5612/9/202212/9/2022 层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。关联程度分组，形
11、成一个不相交的层次。引例引例 大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位可大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位可供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、比的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、比较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路，较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路，我们可以得到这样的分析图（见图我们可以得到这样的分析图（见图3-1）。）。1.1、递阶层次结构及组成、递阶层次结构及组成9/5612/9/202212/9/2022满意的职业满意的职业专专业业对对口口发发展展潜潜力力单单位位名
12、名气气地地点点收收入入单位单位1 1单位单位2 2单位单位3 3单位单位4 4图图3-1 最佳职业的递阶层次结构最佳职业的递阶层次结构10/5612/9/202212/9/2022在在AHP方法中，首先要建立决策问题的递阶层次方法中，首先要建立决策问题的递阶层次结构的模型，通过调查分析弄清决策问题的范围结构的模型，通过调查分析弄清决策问题的范围和目标，问题包含的因素，各因素之间的相互关和目标，问题包含的因素，各因素之间的相互关系。然后将各个因素按照他们的性质聚集成组，系。然后将各个因素按照他们的性质聚集成组，并把它们的共同特征看成是系统中高一层次的一并把它们的共同特征看成是系统中高一层次的一些
13、因素。如此构成一个以目标、若干准则层及方些因素。如此构成一个以目标、若干准则层及方案层所组成的递阶层次结构。案层所组成的递阶层次结构。在图在图3-1中上一层次的元素对相邻的下一层次的全中上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为递递阶层次结构阶层次结构。典型的。典型的递阶层次结构递阶层次结构见下面图见下面图3-2。11/5612/9/202212/9/2022 层次分析法先将层次分为若干层次。最高一层称层次分析法先将层次分为若干层次。最高一
14、层称为为目标层目标层，这一层中只有一个元素，就是该问题要达，这一层中只有一个元素，就是该问题要达到目标或理想的结果；中间层为到目标或理想的结果；中间层为准则层准则层，层中的元素，层中的元素为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度，可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度，分为分为准则层、子准则层准则层、子准则层；最低一层为；最低一层为方案层方案层，这一层，这一层包括了实现目标可供选择的方案。包括了实现目标可供选择的方案。在递阶层次结构中，各层均由若干因素构成。当在递阶层次结构中，各层均由若干
15、因素构成。当某个层次包含因素较多时，可将该层次进一步划分成某个层次包含因素较多时，可将该层次进一步划分成若干子层次。通常应使各层次中的各因素支配的元素若干子层次。通常应使各层次中的各因素支配的元素一般不超过一般不超过9个，这是因为支配元素过多会给两两比个，这是因为支配元素过多会给两两比较带来困难。较带来困难。12/5612/9/202212/9/2022决策目标决策目标 准则准则1 1准则准则2 2准则准则3 3准则准则m子准则子准则1 1子准则子准则2 2子准则子准则n方案方案1方案方案2方案方案3方案方案t图图3-2 典型递阶层次结构典型递阶层次结构目标层目标层 准准则则层层方方案案层层1
16、3/5612/9/202212/9/2022整个结构不受层次限制；整个结构不受层次限制；一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：此在建立递阶层次结构时，应注意到：从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系；层次及不相邻元素之间不存在支配关系；最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一般不超过般不超过9 9个。元素过多可进一步分
17、层；个。元素过多可进一步分层；对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。为典型递阶层次结构。1.2、四个注意点、四个注意点14/5612/9/202212/9/2022递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层有刹车
18、、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相有刹车、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环，关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环，从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可以从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可以用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反过用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反过来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面表来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面表现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环）。现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环）。在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读者可
19、在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读者可参阅其他文献。参阅其他文献。15/5612/9/202212/9/2022在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。假设以上一层次元素就被确定了。假设以上一层次元素C为准则，所支为准则，所支配的下一层次的关系为配的下一层次的关系为u1,u2,un，我们的目的是，我们的目的是要按它们对于准则要按它们对于准则C相对重要性赋予相对重要性赋予u1,u2,un相相应的权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学应的权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的考试成绩、某工程的投资额生的考试成绩、某工程的投
20、资额。但在大多数。但在大多数社会经济活动中社会经济活动中,尤其是较复杂的问题中，元素的权尤其是较复杂的问题中，元素的权重无法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它重无法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的权重。们的权重。AHP所用导出权重的方法就是两两比较所用导出权重的方法就是两两比较方法。方法。2.1、两两比较法、两两比较法16/5612/9/202212/9/2022两两比较法具体方法是两两比较法具体方法是：当以上一层次某个因素当以上一层次某个因素C作作为比较准则时，可用一个比较标度为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次来表达下一层次中第中第i个因素与第个因素与第j个因素
21、的相对重要性（或偏好优劣）个因素的相对重要性（或偏好优劣）的认识。的认识。aij的取值一般取正整数的取值一般取正整数19（称为标度）及（称为标度）及其倒数。由其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(aij)。关于关于aij取值的规则见表取值的规则见表3-1。表表3-1 元素元素aij取值的规则取值的规则元素元素标度标度规规 则则aij1 1以上一层某个因素为准则，本层次因素以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素与因素j相比相比，具有同样重要。具有同样重要。3 3以上一层某个因素为准则，本层次因素以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素与因素j相比相比，i
22、比比j稍微重要。稍微重要。5 5以上一层某个因素为准则以上一层某个因素为准则,本层次因素本层次因素i与因素与因素j相比相比，i比比j明显重要。明显重要。7 7以上一层某个因素为准则以上一层某个因素为准则,本层次因素本层次因素i与因素与因素j相比相比，i比比j强烈重要。强烈重要。9 9以上一层某个因素为准则，本层次因素以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素与因素j相比相比，i比比j极端重要。极端重要。17/5612/9/202212/9/2022比较判断矩阵的特点：比较判断矩阵的特点：aij取值也可以取上述各数的中值取值也可以取上述各数的中值2，4，6，8及其倒数，及其倒数，即若因素即若因素
23、i与因素与因素j比较得比较得aij，则因素，则因素j与因素与因素i比较得比较得1/aij。具有上述三个特点的具有上述三个特点的n阶矩阵称为阶矩阵称为正互反矩阵。正互反矩阵。18/5612/9/202212/9/2022在引在引例的例的图图3-1中中,以满意以满意的职业为准则的职业为准则(C),支配支配着着5个因素个因素:对专业对口对专业对口(u1)、发展潜力、发展潜力(u2)、单、单位名气位名气(u3)、地点、地点(u4)、收入收入(u5)五个因素作出成五个因素作出成对比较，得到比较判断矩对比较，得到比较判断矩阵阵仔细分析比较判断矩阵仔细分析比较判断矩阵A可以发现，既然可以发现，既然u1与与u
24、2之比为之比为1:(1/3),u1与与u3之比为之比为1:3,那么那么u2与与u3之比应该为之比应该为1:9,而不是而不是1:5，这样才能说明问题是合理的。也就是中这样才能说明问题是合理的。也就是中的的所有的的元素所有的的元素aij必须具有传递性，即必须具有传递性，即aij满足等式满足等式：aijajk=aik，i,j,k=1,2,=1,2,n。19/5612/9/202212/9/2022定义定义 设设n阶矩阵阶矩阵A=(aij)为正互反矩阵为正互反矩阵,若对于一切若对于一切i,j,k,都有都有aijajk=aik,i,j,k=1,2,n,称称A为为一致矩阵一致矩阵.由比较判断矩阵由比较判断
25、矩阵A知，在对知，在对n个因素比较中，我们只个因素比较中，我们只要作要作n(n-1)/2次成对比较即可。但要求这次成对比较即可。但要求这n(n-1)/2次次断矩阵断矩阵A一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵A一定一定要满足一致性要满足一致性.关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一步说明：步说明：2.2、比较判断矩阵的四个说明、比较判断矩阵的四个说明20/5612/9/202212/9/2022为什么要用两两比较？为什么要用两两比较？涉
26、及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又常常不被人们接受。如果采用把所有的因素放在一起常常不被人们接受。如果采用把所有的因素放在一起两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性测度，又能充分利用专家经验和判断，提高准确度。测度，又能充
27、分利用专家经验和判断，提高准确度。其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了19比比例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时，例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时，用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在相邻两级中再插入一级，正好相邻两级中再插入一级，正好9级，用级，用9个数字来表个数字来表达就够用了。达就够用了。为什么要用为什么要用19比例标度？比例标度？21/5612/9/202212/9/2022 一般地在一个准
28、则下被比较的对象不超过一般地在一个准则下被比较的对象不超过9个个,是是因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人的判断能力。最多大致在的判断能力。最多大致在72范围，如果以范围，如果以9个为限，个为限，用用19比例标度表示它们之间的差别正合适。比例标度表示它们之间的差别正合适。为什么要限制比较个数不超过为什么要限制比较个数不超过9?为什么要比较为什么要比较n(n-1)/2次次?最后，在把最后，在把n个因素与某个因素进行比较时个因素与某个因素进行比较时,有人认为有人认为只需要进行只需要进行n-1次就可以了。这种做法的弊病在于，任次就可以了。这种做
29、法的弊病在于，任何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于难何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于难以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行n(n-1)/2次成对比较，可以提供更多的信息量，从不次成对比较，可以提供更多的信息量，从不同角度进行比较，以得到一个合理的排序。同角度进行比较，以得到一个合理的排序。22/5612/9/202212/9/2022例例1 某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如图析模
30、型如图3-3所示，对之构造比较判断矩阵。所示，对之构造比较判断矩阵。选购电视机选购电视机品品牌牌耗耗电电量量厂厂家家信信誉誉售售后后服服务务清清晰晰度度外外形形价价格格尺尺寸寸ABCD23/5612/9/202212/9/2022解：解：构造比较判别矩阵如表构造比较判别矩阵如表3-2。表表3-2 满意电视机的比较判别表满意电视机的比较判别表满意的满意的电视机电视机品牌品牌外外形形价价格格尺尺寸寸耗电耗电量量 厂家厂家信誉信誉清晰清晰度度售后售后服务服务品牌品牌1 15 53 35 51/31/31/51/51/31/31/41/4外形外形1/51/51 11/31/35 51/51/51 11
31、/51/51/71/7价格价格1/31/31/31/31 16 63 34 46 65 5尺寸尺寸1/51/51/51/5 1/61/61 11/31/31/41/41/71/71/81/8耗电量耗电量3 35 51/31/33 31 12 23 32 2厂家信誉厂家信誉5 51 11/41/44 41/21/21 11/51/51 1清晰度清晰度3 35 51/61/67 71/31/35 51 12 2售后服务售后服务4 47 71/51/58 81/21/21 11/21/21 124/5612/9/202212/9/2022例例 2 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为设某港务局
32、要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。此需要确定是否建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。分析：分析：在此问题中，过河的方式的决策取决于过河在此问题中，过河的方式的决策取决于过河方式的效益与代价（即成本）的之比通常我们用费方式的效益与代价（即成本）的之比通常我们用费效比（即效益效比（即效益/代价）作为选择方案的标准。为此代价）作为选择方案的标准。为此我们分别给出下面两个层次结构，它们分别考虑了我们分别给出下面两个层次结构，它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的。类：经济的
33、、社会的和环境的。25/5612/9/202212/9/2022过河的效益过河的效益A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C C1建建筑筑就就业业C C5民民间间商商业业C C3当当地地商商业业C C4收收入入C C2安安全全可可靠靠C C6交交往往沟沟通通C C7自自豪豪感感C C8舒舒适适C C9进进出出方方便便C C10美美化化C C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D326/5612/9/202212/9/2022过河的代价过河的代价a经济代价经济代价b1社会代价社会代价b2环境代价环境代价b3资资金金投投入入c c1 1冲冲击击渡渡船船业业c
34、 c3 3操操作作维维护护c c2 2冲击冲击地方地方生活生活方式方式c c4 4交交通通拥拥挤挤c c5 5居居民民搬搬迁迁c c6 6汽汽车车排排放放物物c c7 7对对水水的的污污染染c c8 8对对生生态态破破坏坏c c9 9桥梁桥梁d1隧道隧道d2渡船渡船d327/5612/9/202212/9/2022 注意，注意，上面两个模型中的判断依据都是由决策者上面两个模型中的判断依据都是由决策者自行设计的（这就需要用到设计者的专业知识）。自行设计的（这就需要用到设计者的专业知识）。决策的制定将取决于根据两个层次结构确定的方案决策的制定将取决于根据两个层次结构确定的方案的效益权重与代价权重之
35、比。的效益权重与代价权重之比。例如例如:我们构造过河的效益比较判别矩阵如下：我们构造过河的效益比较判别矩阵如下：1 7 5B3 1/71 1/5 B2 1/5 5 1B1 B3 B2 B1过河的效益过河的效益28/5612/9/202212/9/20223.1、单准则下的排序、单准则下的排序 层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每个准则都支配下一层若干个因素，这样对于每一个准个准则都支配下一层若干个因素，这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。因此根据比较判断矩阵如何求出各因素因此
36、根据比较判断矩阵如何求出各因素u1,u2,un,对于准则的相对排序权重的过程称为对于准则的相对排序权重的过程称为单准则下的排序单准则下的排序。计算权重计算权重w1,w2,wn的方法有许多种，其中特征的方法有许多种，其中特征根方法是根方法是AHP中比较成熟并得到广泛应用的方法，它中比较成熟并得到广泛应用的方法，它对于对于AHP的发展在理论上和实践上都有重要意义。的发展在理论上和实践上都有重要意义。特征根方法的理论依据是正矩阵的特征根方法的理论依据是正矩阵的Perron定理，定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。特征根方法的理论依据特征根方法的理
37、论依据29/5612/9/202212/9/2022定理定理(Perron定理定理):设设n阶方阵阶方阵AO,l lmax为为A的模最大特征根，则的模最大特征根，则 l lmax必为正特征根必为正特征根,且对应特征向量为正向量；且对应特征向量为正向量；对于对于A的任何其它特征值，恒有的任何其它特征值，恒有|l l|l lmax；l lmax为为A的单特征根，因而它所对应的特征向量除的单特征根，因而它所对应的特征向量除相差一个常数因子外是唯一的。相差一个常数因子外是唯一的。定理定理3.1.2 对于任何一个正互反矩阵均有对于任何一个正互反矩阵均有l lmax n，其中其中l lmax为为A的模最大
38、特征根的模最大特征根。证明证明证明证明(略略)，是其最大特是其最大特征值所对应征值所对应的特征向量的特征向量,30/5612/9/202212/9/2022两边同除以两边同除以wi，得，得两边同时对两边同时对i求和求和,得得，31/5612/9/202212/9/2022。32/5612/9/202212/9/2022定理定理3.1.3 n阶正互反矩阵阶正互反矩阵A=(aij)为一致矩阵的充为一致矩阵的充分必要条件是分必要条件是A的最大特征根为的最大特征根为n.证明证明(必要性必要性)因为因为n阶矩阵阶矩阵A为一致矩阵，设为一致矩阵，设33/5612/9/202212/9/2022(充分性充分
39、性)是一个正互反矩阵。是一个正互反矩阵。34/5612/9/202212/9/2022 那么如何求一般正互反矩阵那么如何求一般正互反矩阵A的最大特征根呢的最大特征根呢?这这实际上有一定的困难，特别是当实际上有一定的困难，特别是当A的阶数很高时。由的阶数很高时。由于在做比较判断矩阵时我们基本上是定性比较量化于在做比较判断矩阵时我们基本上是定性比较量化的结果，对它的精确计算是没有必要的。所以我们的结果，对它的精确计算是没有必要的。所以我们可用一些简便的方法计算判断矩阵的最大特征值及可用一些简便的方法计算判断矩阵的最大特征值及所对应的特征向量。下面介绍一些求正互反矩阵排所对应的特征向量。下面介绍一些
40、求正互反矩阵排序向量的方法。序向量的方法。在实际应用中，比较判断矩阵在实际应用中，比较判断矩阵A并不一定是一并不一定是一致矩阵，由定理知比较判断矩阵致矩阵，由定理知比较判断矩阵A的阶数的阶数n不超过不超过A的最大特征值的最大特征值l lmax.35/5612/9/202212/9/2022求正互反矩阵排序向量的方法求正互反矩阵排序向量的方法特征根方法特征根方法(EVM)对于正矩阵，有一种求特征向量的简易算法对于正矩阵，有一种求特征向量的简易算法（幂法）。下面的定理为幂法提供了理论依据。（幂法）。下面的定理为幂法提供了理论依据。定理定理3.1.4 设设n阶矩阵阶矩阵其中其中V为与为与A的最大特征
41、值对应的特征向量的最大特征值对应的特征向量,c是常数。是常数。如果令如果令x=e(e为单位向量为单位向量)，则有，则有 其中其中W为与为与A的最大特征值对应的规范化特征向量，的最大特征值对应的规范化特征向量，下面称权重向量或排序向量。下面称权重向量或排序向量。36/5612/9/202212/9/2022第一步：第一步：将判断矩阵的列向量归一化将判断矩阵的列向量归一化 和法和法37/5612/9/202212/9/2022解：解：例例3求判断矩阵求判断矩阵 的最大特征值和权重向量。的最大特征值和权重向量。38/5612/9/202212/9/2022第一步：将判断矩阵的列向量归一化第一步：将判
42、断矩阵的列向量归一化 根法根法39/5612/9/202212/9/2022解解 例例4 求判断矩阵求判断矩阵 的最大特征值和权重向量。的最大特征值和权重向量。40/5612/9/202212/9/20223.2、一致性的检验、一致性的检验由于客观事物的复杂性，会使我们的判断带有主观性由于客观事物的复杂性，会使我们的判断带有主观性和片面性，完全要求每次比较判断的思维标准一致是和片面性，完全要求每次比较判断的思维标准一致是不大可能的。因此在我们构造比较判断矩阵时，我们不大可能的。因此在我们构造比较判断矩阵时，我们并不要求并不要求n(n+1)/2次比较全部一致。但这可能出现甲次比较全部一致。但这可
43、能出现甲与乙相对重要，乙与丙相比极端重要，丙与甲相比相与乙相对重要，乙与丙相比极端重要，丙与甲相比相对重要，这种比较判断严重不一致这种情况。事实上，对重要，这种比较判断严重不一致这种情况。事实上，在作比较判断矩阵时，我们虽然不要求判断具有一致在作比较判断矩阵时，我们虽然不要求判断具有一致性。但一个混乱的，经不起推敲的比较判断矩阵有可性。但一个混乱的，经不起推敲的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体上能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体上的一致。而上述计算权重方法，当判断矩阵过于偏离的一致。而上述计算权重方法，当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了。
44、故对于每一一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了。故对于每一层次作单准则排序时，均需要作一致性的检验。层次作单准则排序时，均需要作一致性的检验。41/5612/9/202212/9/2022设设A为为n阶正互反矩阵，由定理知，阶正互反矩阵，由定理知，可作为衡量不一致程可作为衡量不一致程度的数量标准，称度的数量标准，称CI为一致性指标为一致性指标(Consistency Index).).当判断矩阵当判断矩阵A的最大特征值稍大于的最大特征值稍大于n,称称A具有满意的一具有满意的一致性。然而致性。然而“满意的一致性满意的一致性”说法不够准确，说法不够准确，A的的最最大特征值大特征值l lmax与与n是
45、怎样的接近为满意？这必须有一个是怎样的接近为满意？这必须有一个量化。量化。42/5612/9/202212/9/2022Saaty教授采用的方法：教授采用的方法：固定固定n，随机构造正互反矩阵，随机构造正互反矩阵A=(aij)n,其中其中aij是从是从1,2,3,9,1/2,1/3,1/9共共17个数中个数中随即抽取。随即抽取。这样的正互反矩阵这样的正互反矩阵A是最不一致的。计算是最不一致的。计算1000次上述随机判断矩阵的最大特征次上述随机判断矩阵的最大特征l lmax,Saaty教授教授给出了给出了RI值值(称为平均随即一致性指标，见表称为平均随即一致性指标，见表3-3)。表表3-3 平均
46、随机一致性指标平均随机一致性指标n123456789RI000.580.941.121.241.321.411.45表表3-3中中n=1,2时时RI=0，因，因1，2阶判断矩阵总是一致的。阶判断矩阵总是一致的。当当n3时，令时，令CR=CI/RI，称，称CR为一致性比例。当为一致性比例。当CR0.1,CR2=0.2130.1,CR3=0.1170.1,CR6=0.1700.1,因此第因此第1，2，3，6个比较判断矩阵个比较判断矩阵的一致性没有通过，需要对比较判断矩阵进行修改。的一致性没有通过，需要对比较判断矩阵进行修改。而第而第4，5，7，8个比较判断矩阵通过一致性检验。个比较判断矩阵通过一致
47、性检验。46/5612/9/202212/9/2022 计算同一层次中所有元素对于最高层计算同一层次中所有元素对于最高层(总目标总目标)的的相对重要性标度相对重要性标度(又称排序权重向量又称排序权重向量)称为称为层次总排序层次总排序。为了把这个问题搞清楚，来看一个事实。为了把这个问题搞清楚，来看一个事实。设有五块石头设有五块石头A1,A2,A3,A4,A5分成两组。第一组由分成两组。第一组由A1,A2组成，第二组由组成，第二组由A3,A4,A5组成。这两组石头可看组成。这两组石头可看成一块石头分裂成石块成一块石头分裂成石块A1,A2,A3,A4,A5。把系统划分把系统划分成三个层次成三个层次,
48、如图如图3-4所示所示重量重量第一组第一组第二组第二组A3A4A5A1A2图图3-4 分裂成石块的巨砾分裂成石块的巨砾 47/5612/9/202212/9/2022已知最高层对第二层的排序向量为已知最高层对第二层的排序向量为而第三层对第二层单准则的排序为而第三层对第二层单准则的排序为则第三层五个元素相对总重量的排则第三层五个元素相对总重量的排序权值向量为序权值向量为48/5612/9/202212/9/20224.1、层次总排序的步骤、层次总排序的步骤计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的排序计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的排序权向量，这一过程是自上而下逐层进行；权向量，这一过程是
49、自上而下逐层进行；层次总排序的步骤为：层次总排序的步骤为：；设已计算出第设已计算出第k-1层上有层上有nk-1个元素相对总目标的排个元素相对总目标的排序权向量为：序权向量为：第第k层有层有nk个元素个元素,它们对于上一层次它们对于上一层次(第第k-1层层)的某的某个因素个因素ui 的单准则排序权向量为的单准则排序权向量为(对于与对于与k-1层第层第i个元素无支配关系的对应个元素无支配关系的对应uij取值为取值为0);第第k层层nk个元素相对总目标的排序权向量为个元素相对总目标的排序权向量为49/5612/9/202212/9/20224.2、总排序一致性检验、总排序一致性检验人们在对各层元素作
50、比较时，尽管每一层中所用的比人们在对各层元素作比较时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著，检验的过程称为层次总排序的否显著，检验的过程称为层次总排序的一致性检验一致性检验。假设第假设第k-1层第层第j个因素为比较准则，第个因素为比较准则，第k层的一致性检层的一致性检验指标为验指标为则第则第k层各因素两两比较的层次单排序一致性指标为