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1、2.3 Hilbert变换1.求求 的傅立叶变换的傅立叶变换2.求卷积求卷积其中：例题：例题：一一.希尔伯特变换希尔伯特变换 HT是将信号相移是将信号相移90度的运算度的运算,与其它变换不同是属于与其它变换不同是属于相同域的变换相同域的变换,时域到时域变化时域到时域变化.其中：将信号通过系统，响应为：将信号通过系统，响应为：其中：希尔伯特希尔伯特逆变换：逆变换：运用时域卷积定理：二次逆变换：例题1：求 的希尔伯特变换 其中：解解：用三种方法求解此题 方法1：方法2：方法3：表一表一:常见希尔伯特变换对常见希尔伯特变换对序号序号信号信号HT1234567其中：练习练习:求如下信号的求如下信号的H
2、T HT 解解:其中：二、二、HTHT的特性的特性许多特性都是基于相位移动和卷积性质许多特性都是基于相位移动和卷积性质 其中：1.实函数的卷积为实函数实函数的卷积为实函数,实函数的实函数的HT为实函数为实函数2.为奇函数为奇函数,偶信号的偶信号的HT 为为奇信号奇信号,偶信号的偶信号的HT 为奇信号为奇信号3.3.的的FT的幅度谱为的幅度谱为1,信号的幅度频谱与信号的幅度频谱与HT的幅度谱相同的幅度谱相同4.4.正交、卷积特性正交、卷积特性其中：例题：证明例题：证明 的的HTHT变换为变换为5.5.尺度变换特性尺度变换特性其中：的的HT 的的HT为为 6.6.反折特性反折特性三、三、HTHT的
3、典型应用的典型应用1.系统因果性（可实现性）的限制系统因果性（可实现性）的限制 系统具有可实现性的前提是因果性。对于因果系统来系统具有可实现性的前提是因果性。对于因果系统来说，频率响应的实部与虚部，模与幅角都有一定相互制约说，频率响应的实部与虚部，模与幅角都有一定相互制约的特性，这种特性以的特性，这种特性以HT的形式表现出来。的形式表现出来。因果系统因果系统 推导推导:根据时域相乘特性根据时域相乘特性 此二式为希尔伯特变换对，说明：因果系统的频率响应此二式为希尔伯特变换对，说明：因果系统的频率响应其实部被已知的虚部其实部被已知的虚部x()唯一确定，反之一样。唯一确定，反之一样。这一重要特性可适
4、用于任意因果信号这一重要特性可适用于任意因果信号,其傅立叶变换的其傅立叶变换的实部与虚部都构成希尔伯特变换对。实部与虚部都构成希尔伯特变换对。与 构成HT对例例2：已知，：已知，求求 ，并验证上述关系。，并验证上述关系。同样可验证同样可验证2.因果系统（信号）因果系统（信号）模与相位函数之间也满足一定的约束关系模与相位函数之间也满足一定的约束关系 可以证明：对于最小相移系统，可以证明：对于最小相移系统，与与 之间也之间也存在一定的约束关系存在一定的约束关系(构成一个变换对构成一个变换对)。例例3.3.已知因果已知因果LTILTI系统频响特性系统频响特性H(jw)H(jw)的实部为的实部为 R(
5、w)=R(w)=，求该系统的频响特性和冲激响应，求该系统的频响特性和冲激响应h(t)h(t)。的解析信号为的解析信号为其中：其中：3.解析信号解析信号 实信号实信号 的解析信号的解析信号 定义为定义为 这样可将一个实信号构成一个复信号这样可将一个实信号构成一个复信号.具有虚部是实部的具有虚部是实部的Hilbert变换的一类复信号称为其变换的一类复信号称为其实部信号的解析信号。实部信号的解析信号。解析信号解析信号和原信号之间的频谱关系：和原信号之间的频谱关系：所以：解析信号的傅立叶变换总具有因果性：解析信号的傅立叶变换总具有因果性：例例:求如下信号的解析信号求如下信号的解析信号 解：解：因为本项
6、有两项频率项，其解析信号就是略去负频率项因为本项有两项频率项，其解析信号就是略去负频率项注意注意:(1)给给定定一一个个实实信信号号,尽尽管管通通过过Hilbert可可以以构构成成一一个个解解析析信信号号,且且是是唯唯一一的的,但但并并不不是是每每一一个个解解析析信信号号都都有有明明确确的的物物理理意意义义 (2)只有当只有当 两部分的频谱完全分开时才有意义两部分的频谱完全分开时才有意义(3)的解析信号的解析信号只有当只有当A(t)的频谱的频谱 ,两者之间没有重叠时两者之间没有重叠时,信号和解析信号构成正交分量信号和解析信号构成正交分量 需要将幅度信号与相位信号需要将幅度信号与相位信号检测检测
7、出来出来.4.Hilbert变换在通信中的应用变换在通信中的应用 随着通信技术的飞速发展，通信体制的变化也日新月异。常用的模拟调制方式主要有AM、FM、SSB 等，数字信号通信方式却非常多，如ASK、FSK、MSK、GMSK、PSK、DPSK、QPSK、QAM等。如果按照常规，解调每一种信号就需要一个硬件电路，一个模块，那么要能解调几种、十几种通信信号，其电路就会极其复杂，体积重量都会很大。在目前通信的发展中采用通用硬件平台，利用软件实现不同功能的软件无线电在近几年取得了引人注目的进展。通过通过Hilbert变换对已调信号进行解调变换对已调信号进行解调 已调信号：已调信号：调频和调相：调频和调
8、相：先构成的解析信号先构成的解析信号当带限当带限 则则调幅信号：调幅信号：对 乘以这样这样就将幅度信号与相位信号就将幅度信号与相位信号检测检测出来出来.窄带信号的检测窄带信号的检测希尔伯特变换测量功率希尔伯特变换测量功率:希尔伯特变换能将各次谐波电压分别平移 ,不受频带宽度限制，将电压电流和各次谐波分别移 ,正交分解用分解系数可求出电压及电流有效值有功和无功功率5、解析信号其他应用、解析信号其他应用希尔伯特变换统一地描述各种模拟调制方式希尔伯特变换统一地描述各种模拟调制方式(DSB,SSB,AM,FM)的原理，揭示这些方式的内在联系并简的原理，揭示这些方式的内在联系并简化理论分析。化理论分析。
9、解析信号的另一个很重要的应用解析信号的另一个很重要的应用:实现对瞬时频率的估计实现对瞬时频率的估计 2.4 信号的相关分析一一.信号的相关分析信号的相关分析 相关是时域中描述信号特征的一种重要方法。相关的相关是时域中描述信号特征的一种重要方法。相关的概念通常在研究随机信号的统计特性而引入。概念通常在研究随机信号的统计特性而引入。研究两个信号在时移中的相关性，背景是信号与由于研究两个信号在时移中的相关性，背景是信号与由于某种原因产生了时差，如雷达接收到的两个不同距离目标某种原因产生了时差，如雷达接收到的两个不同距离目标的反射信号。的反射信号。从数学本质上看，相关函数是信号矢量空间内积与范从数学本
10、质上看，相关函数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现，从物理本质上看相关与信号能量特征数特征的具体表现，从物理本质上看相关与信号能量特征有密切联系。有密切联系。相关运算与卷积运算具有某种关系。相关运算与卷积运算具有某种关系。其中：1.1.相关函数的定义相关函数的定义如果如果 与与 是能量有限信号，则他们的相关函数的定义为：是能量有限信号，则他们的相关函数的定义为：其中：相关函数是两个信号时差的函数。相关函数是两个信号时差的函数。、称为互相关函数称为互相关函数自相关函数自相关函数当当 、为实信号时为实信号时其中：x x与与y y次序不能颠倒次序不能颠倒可见，实信号的相关函数是时移的偶函数。可见
11、，实信号的相关函数是时移的偶函数。如果是功率信号，相关函数的定义为如果是功率信号，相关函数的定义为其中：2.相关系数 结论结论结论结论1 当 ,即波形相同，幅度不同，;当 ,即波形相同，幅度不同，;当 ，误差为零，信号 和 相关性最强。2 当 时，和 ，和线性无关，且此时正交。3 恒有 成立。4 当 和 为实信号时，为实数。二二.相关与卷积的比较相关与卷积的比较为了方便比较，把为了方便比较，把 中中 、互换互换 可见，卷积和相关两种运算都包含位移、相乘、积分可见，卷积和相关两种运算都包含位移、相乘、积分三个步骤，不同的是卷积运算需要对反折，而相关运算不三个步骤，不同的是卷积运算需要对反折，而相
12、关运算不需要反折。需要反折。若若x(t)或或y(t)为实偶函数，则卷积与相关完全相同为实偶函数，则卷积与相关完全相同 三三.相关定理相关定理证明：证明：=其中：说明：说明：两信号互相关函数的傅立叶变换等于其中一个信号两信号互相关函数的傅立叶变换等于其中一个信号的傅立叶变换乘另一个信号傅立叶变换的共轭。的傅立叶变换乘另一个信号傅立叶变换的共轭。自相关函数与幅度谱的平方是一对傅立叶变换。若自相关函数与幅度谱的平方是一对傅立叶变换。若x或或y是实偶信号，则相关定理与卷积性质相同。是实偶信号，则相关定理与卷积性质相同。其中：称为信号能量密度谱。自相关函数与的能量称为信号能量密度谱。自相关函数与的能量密
13、度谱成一个傅立叶变换对。密度谱成一个傅立叶变换对。四四.能量谱与自相关函数能量谱与自相关函数(Parseval)帕塞瓦尔帕塞瓦尔公式公式功率谱与自相关函数功率谱与自相关函数 是周期信号 的傅立叶变换若若 是功率有限信号是功率有限信号,其平均功率其平均功率 称 为 的功率谱。相关定理：功率有限信号的功率谱函数与自相关函数构成相关定理：功率有限信号的功率谱函数与自相关函数构成一对傅立叶变换一对傅立叶变换例例1：求周期余弦信号：求周期余弦信号 的自相关函数。的自相关函数。其中：解解:可见，周期信号的自相关函数仍是周期函数，且周期相同。可见，周期信号的自相关函数仍是周期函数，且周期相同。两周期信号（周
14、期相等）的互相关函数仍然是同频率两周期信号（周期相等）的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留了原信号的相位信息的周期信号，且保留了原信号的相位信息 周期信号的自相关函数是与信号同频率的周期信号，但不具有周期信号的自相关函数是与信号同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。原信号的相位信息。其中：白噪声是一种典型的随机信号，对所有的频率其功率谱白噪声是一种典型的随机信号，对所有的频率其功率谱密度为常数密度为常数其中：则白噪声的自相关函数 表明：白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相表明：白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。关性。时，时，均为零值。均为零值。白噪声是一种理想化模型
15、，电阻中电子的随机热白噪声是一种理想化模型，电阻中电子的随机热运动产生的电阻热噪声与白噪声的模型非常接近，通运动产生的电阻热噪声与白噪声的模型非常接近，通常认为电阻热噪声就为白噪声。常认为电阻热噪声就为白噪声。五五.离散时间信号的相关分析离散时间信号的相关分析 其中：自相关函数自相关函数反映了信号和自身延迟之后的的相似程度。反映了信号和自身延迟之后的的相似程度。零点值零点值为自身的能量。为自身的能量。如果是周期信号（功率信号）如果是周期信号（功率信号）:周期信号的自相关函数也是周期函数，且和原信号周期信号的自相关函数也是周期函数，且和原信号同周期。无限多个周期信号的求和平均，可以用一个周同周期
16、。无限多个周期信号的求和平均，可以用一个周期信号的求和平均来代替。期信号的求和平均来代替。其中：自相关函数的性质：自相关函数的性质：实信号的自相关函数为实偶信号实信号的自相关函数为实偶信号;在原点取得最大值在原点取得最大值;信号相对自身移至无穷远时，二者已无相关性信号相对自身移至无穷远时，二者已无相关性;周期信号的自相关信号也是周期信号，不收敛周期信号的自相关信号也是周期信号，不收敛.互相关函数互相关函数其中：两个能量有限的确定性信号两个能量有限的确定性信号 主要主要性质：性质：六六.应用应用其中：两个信号或信号自身之间的相互关系，广泛应用于各种两个信号或信号自身之间的相互关系，广泛应用于各种
17、信号的处理和检测信号的处理和检测,如通信、雷达、声纳等领域，应用于系统如通信、雷达、声纳等领域，应用于系统分析、图象处理等分析、图象处理等 相关性检测的本质是测量相关性检测的本质是测量2 2个信号的相似性，测量个信号的相似性，测量2 2个个信号的互相关性，应用于如时间差测量，距离测量，信号信号的互相关性，应用于如时间差测量，距离测量，信号识别等，电路模型如图所示。识别等，电路模型如图所示。应用应用1：从含噪信号中检测有用信号：从含噪信号中检测有用信号其中：s(n)是可能的有用信号，并有先验知识，为判断x(n)与s(n)互相关因为信号和噪声是不相关的因为信号和噪声是不相关的 设一个随机信号含有加
18、性的噪声设一个随机信号含有加性的噪声根据大小可根据大小可判断判断x(n)中是否含有中是否含有s(n)。应用应用2 2：匹配滤波器 匹配滤波器：使滤波器的性能和信号的特性取得某种一致,使滤波器的信号瞬时功率与噪声平均功率之比最大.匹配滤波器的输出为信号 的自相关函数a)信号 (b)匹配滤波器 时的(c)匹配滤波器 时的 输出信号的最大值出现在T时刻 输出信号的信噪比在某一特定时刻达到最大 对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号必须在它输出最大信噪比的时刻之前结束应用应用3 3：距离测量 声音源发出声波，被拾音器L和拾音器R获得，通过乘法器和积分器后得到相关函数Rxy（），改变延迟，可测得相关
19、性函数出现峰值点0。0*音速得到拾音器L与R之间的距离差 应用应用4 4：图像匹配n图像匹配是对不同时间、不同视角或不同传感器拍摄的两幅或多福图像进行空间变换处理，使得各个图像在几何上能够匹配起来。n图像配准的目的是取出待配准图像和参考图像之间在几何上的不一致，包括平移、旋转和形变，使得同一目标在不同图像上具有相同的坐标位置。利用相关函数和相位相关进行图像匹配，利用相利用相关函数和相位相关进行图像匹配，利用相关函数和相位相关可以较准确的求出图像的平移、缩关函数和相位相关可以较准确的求出图像的平移、缩放和旋转量，算法的准确性与图像的相似信息有关，放和旋转量，算法的准确性与图像的相似信息有关，相似
20、信息越多，匹配越准确。相似信息越多，匹配越准确。对于一个模板T和图像f，则二维归一化的互相关函数互相关法求位移 如果T对f有（i，j）的平移，那么上式就在C（i，j）处达到最大值。对偏移图像进行配准的一种有效方法是相位相关法。相位相关法是基于傅立叶变换的平移定理n考虑两幅图像和间存在（dx，xy）的平移，即：n进行傅立叶变换，频域具有以下形式：n说明，两幅有平移量的图像变换到频域中有相同的幅值，但有一个相位差，而这个相位差与图像间的平移量（dx，dy）有直接关系。根据平移特性，可知以上相位差等于两幅图像的互功率谱的相位，即：上式的右边部分为一个虚指数，其傅立叶反变换恰好是一个冲击函数，而冲击的峰值点位于（dx，dy）处。现代通信及数宇信号处理中，相关是一个十分现代通信及数宇信号处理中，相关是一个十分重要的计算和分析方法，通常利用相关函数来分析重要的计算和分析方法，通常利用相关函数来分析随机信号的功率谱密度，司以用相关函数来描述一随机信号的功率谱密度，司以用相关函数来描述一个平稳随机信号的统计特性。个平稳随机信号的统计特性。小波分析：小波分解实质上就是信号与滤波器组小波分析：小波分解实质上就是信号与滤波器组的互相关，而小波重构是分解信号与镜象滤波器绍的互相关，而小波重构是分解信号与镜象滤波器绍的卷积。的卷积。