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1、圆、椭圆的参数方程圆、椭圆的参数方程1、圆的参数方程、圆的参数方程OXYabRM(x,y)圆心为圆心为C(a,b)半径为半径为R的圆的参数方程：的圆的参数方程：参数参数是旋转角。是旋转角。例例1、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中为参数）：为参数）：圆心坐标圆心坐标半径半径圆心坐标圆心坐标半径半径(2,2)R=3(3,3)R=4例例2、实数、实数x,y满足满足 求求2x y 的取值范围。的取值范围。解：由已知得：解：由已知得：所以，圆的参数方程为：所以，圆的参数方程为：所以所以2x y 的取值范围是：的取值范围是：-5，5变式训练：已知变式训练：已知 ，求，求y
2、:x的取值范围。的取值范围。OYX21302、椭圆的参数方程、椭圆的参数方程YbOXa椭圆椭圆 的参数方程：的参数方程：参数参数是离心角！是离心角！例例3、把椭圆把椭圆 为参数）化成普通方程；为参数）化成普通方程；点点P(5cos45,4sin45)是否在上述椭圆上？是否在上述椭圆上？POX=45？解：椭圆的普通方程为：解：椭圆的普通方程为：点点P在椭圆上，在椭圆上，POX45例例3、已知点、已知点A是椭圆是椭圆 上任意一点，点上任意一点，点B为圆为圆C：上任意一点，求上任意一点，求|AB|的取值范围。的取值范围。OXYABCPQ解：如图，要使解：如图，要使|PQ|最长（短），只须最长（短），
3、只须|CP|最长（短）。最长（短）。设设 ，则：，则：变式训练：求以椭圆变式训练：求以椭圆 的长轴为底的内的长轴为底的内接梯形的面积最大值。接梯形的面积最大值。OXYABCD解：如图，设解：如图，设C(acos,bsin),则则D(-acos,bsin)，显然，显然，090,0cos1令：令：随堂训练随堂训练在椭圆在椭圆 上到直线上到直线3x 2y 16=0距离距离最小的点的坐标是：最小的点的坐标是：，最小距离是：，最小距离是：圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程（2 2）双曲线、抛物线的参数方程双曲线、抛物线的参数方程双曲线的参数方程双曲线的参数方程双曲线：双曲线：联联想想双双曲曲线线的的参
4、参数数方方程程为参数）为参数）OXYabM(x,y)EA叫离心角。叫离心角。一般地，离心角一般地，离心角不等于旋转角，即不等于旋转角，即XOM例例1、P是双曲线是双曲线 上任意一点，上任意一点，Q是圆是圆C：上任意一点，求线段上任意一点，求线段|PQ|的长度的最小值。的长度的最小值。OXYCPQ解：线段解：线段|PQ|的长度的最小值为点的长度的最小值为点P与圆心与圆心C的距离的最小值的距离的最小值 减去圆的半径。又：减去圆的半径。又：所以线段所以线段|PQ|的长度的最小值为的长度的最小值为抛物线的参数方程抛物线的参数方程 除教材给出的抛物线的参数方程外，下面抛物线的另一种除教材给出的抛物线的参
5、数方程外，下面抛物线的另一种常用的参数方程是：常用的参数方程是：普普通通方方程程参参数数方方程程OXYM(x,y)参数参数t的几何意义是：的几何意义是：抛物线上的点抛物线上的点M与原点与原点连线的斜率。连线的斜率。例例2、曲线、曲线C的方程是的方程是当当-1t2时，时，求曲线求曲线C的弧上的弧上A、B两端点的直线方程。两端点的直线方程。设设F是曲线的焦点，且是曲线的焦点，且ABF的面积为的面积为14，求，求p的值。的值。解：曲线解：曲线C化成普通方程得化成普通方程得OXYABA(2p,-2p),B(8P,4P),F(p/2,0)所以，所以，直线直线AB的方程为：的方程为：y=x 4p|AB|=
6、点点F到直线到直线AB的距离是：的距离是：OXYABM由此，可知直线由此，可知直线AB恒过定点恒过定点N（2p,0)N充分运用向量工具能使问题化简；充充分运用向量工具能使问题化简；充分利用几何直观，仔细观察是提高解分利用几何直观，仔细观察是提高解决问题能力的好方法！决问题能力的好方法！OXYABMN由题设知道：由题设知道：OMAB，即，即OMMN为所求的轨迹方程。为所求的轨迹方程。在形成曲线的几何条件中，若能直接用一在形成曲线的几何条件中，若能直接用一个几何量的等式表示，则将此几何量的等式个几何量的等式表示，则将此几何量的等式坐标化，化简即得到曲线方程。坐标化，化简即得到曲线方程。在坐标化的过程中，充分利用向量工具是在坐标化的过程中，充分利用向量工具是提高解题速度和简化解题过程的好方法！提高解题速度和简化解题过程的好方法！2、已知、已知O是坐标原点，是坐标原点，A、B是抛物线是抛物线上不同于顶点的两个动点，且上不同于顶点的两个动点，且OAOB，求，求AB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。设设AB的中点为的中点为P(x,y)，则，则由由消去参数消去参数t,u得：得：