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1、蒸阳中学数学组蒸阳中学数学组解直角三角形的应用解直角三角形的应用（第一课时）第一课时）学习目标学习目标n了解仰角、俯角的概念，能应用解直了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题角三角形解决一类观测实际问题n进一步了解数学建模思想，能将实际进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系中元素之间的关系 有的放矢有的放矢 30 45 60sinsincoscostantancotacota角三角函数三角函数222213温故而知新温故而知新13（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系）边
2、角之间的关系（1）三边之间的关系）三边之间的关系 （勾股定理）（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行观察或测量时，在进行观察或测量时，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；30304545B BO OA A东东西西北北南南方向角方向角 正北方向或正正北方向或正南方向线与已知南方向线与已知射线所成的锐角射线所成的锐角叫做叫做方向角方向角。
3、【例例1 1】直升飞机在跨江大桥直升飞机在跨江大桥AB的上方的上方P点处，点处，此时飞机离地面的高度此时飞机离地面的高度PO=450米，且米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为为=30，=45，求大桥的长，求大桥的长AB.PABO450米米 合作与探究合作与探究解：解：由题意得，由题意得，答：大桥的长答：大桥的长AB为为 PABO3045400米米答案答案:米米 合作与探究合作与探究变题变题1 1：直升飞机在长直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上的上方方P点处，且点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大三点在一条直线上，
4、在大桥的两端测得飞机的仰角分别为桥的两端测得飞机的仰角分别为30和和45，求，求飞机的高度飞机的高度PO.6030POBA200米米C答案答案:米米 合作与探究合作与探究变题变题2 2：直升飞机在高为直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上方上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30和和60，求飞机的高度，求飞机的高度PO.4530200米米POBAD答案答案:米米 合作与探究合作与探究变题变题3 3：直升飞机在高为直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB左侧左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为点处，测得大楼的顶部仰角为45,测得大楼底测得大楼底部
5、俯角为部俯角为30，求飞机与大楼之间的水平距离，求飞机与大楼之间的水平距离.合作与探究合作与探究图图5QBCPA45060 30 答案：答案：AB520（米）（米）变题变题4：（2008桂林）桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的米上空的P点，测得点，测得A村的俯角为村的俯角为30，B村的俯角为村的俯角为60（如图（如图5）求）求A、B两个村庄间的距离（结果精确到米，参两个村庄间的距离（结果精确到米，参考数据考数据 ）.ABO4530200米米POBD 归纳与提高归纳与提高4530PA2
6、00米米CBOABO4530450453040060452002004530例例1:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球与高楼的水平距离，热气球与高楼的水平距离为为120m，这栋高楼有多高（结果精确到，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，在图中，a=30,=60 R
7、tRtABCABC中，中，a a=30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a=30,=60，AD120答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1mABCD 初探中考题初探中考题【例例3】（2008芜湖）芜湖）在我市迎接奥运圣火的活动中，某校在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点，小丽同学在点A处，测得条处，测得条幅顶端幅顶端D的仰角为的仰角为30，再向条幅
8、方向前进，再向条幅方向前进10米后，米后，又在点又在点B处测得条幅顶端处测得条幅顶端D的仰角为的仰角为45，已知点，已知点A、B和和C离地面高离地面高度都为度都为1.44米，求条幅顶端米，求条幅顶端D点距离地面的高度点距离地面的高度（计算结果精确到（计算结果精确到0.1米）米）参考数据参考数据:答案答案:米米3.3.（20082008广安）广安）如如图图，某幼儿园，某幼儿园为为了加了加强强安全管理，决定将安全管理，决定将园内的滑滑板的园内的滑滑板的倾倾角由角由45降降为为30，已知原滑滑板，已知原滑滑板AB的的长为长为5米，点米，点D、B、C 在同一水平地面上在同一水平地面上（1）改善后滑滑板
9、会加长多少？（精确到）改善后滑滑板会加长多少？（精确到001）（2）若滑滑板的正前方能有）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由理由(参考数据：参考数据：）初涉中考题初涉中考题ADCB3045ABCDD思考思考1：一架直升机从某塔顶一架直升机从某塔顶测得地面测得地面C、D两两点的俯角分别为点的俯角分别为30、45，若，若C、D与塔底与塔底共线，共线，CD200米，求塔高米，求塔高AB？意犹未尽意犹未尽例例2 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P
10、的北偏东的北偏东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80海里海里的的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（精确到有多远（精确到0.1海里）？海里）？解：如图解：如图，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos2572.505在在RtBPC中，中，B34当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它距离灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约129.7海里海里6534PBCA 当堂反馈当堂反馈1.如如图图1
11、，从地面上的，从地面上的C，D两点两点测测得得树顶树顶A仰角分仰角分别别是是45和和30，已知，已知CD=200m，点，点C在在BD上，上，则树则树高高AB等等于于 （保留根号）（保留根号）2.如如图图2，将，将宽为宽为1cm的的纸纸条沿条沿BC折叠，使折叠，使CAB=45则则折叠后重叠部分的面折叠后重叠部分的面积为积为 （根号保留）（根号保留）图图1图图2D简单实简单实际问题际问题数学模型数学模型 直角三角形直角三角形 三角形三角形 梯形梯形 组合图形组合图形构建构建解解通过作高通过作高转化为直转化为直角三角形角三角形解解 思想与方法思想与方法数学建模及方程思想解方程解方程1 1把把实实际际
12、问问题题转转化化成成数数学学问问题题，这这个个转转化化包包括括两两个个方方面面：一一是是将将实实际际问问题题的的图图形形转转化化为为几几何何图图形形，画画出出正正确确的的示示意意图图；二二是是将将已已知知条条件件转转化化为为示示意意图图中中的边、角或它们之间的关系的边、角或它们之间的关系.2 2把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形角三角形.思想与方法思想与方法1.1.天空中有一个静止的广告气球天空中有一个静止的广告气球C C，从地面，从地面A A点点测
13、测得得C C 点的仰角点的仰角为为4545，从地面，从地面B B测测得仰角得仰角为为6060，已知已知AB=20AB=20米，点米，点C C和直和直线线ABAB在同一在同一铅铅垂平面上垂平面上，求气球离地面的高度求气球离地面的高度解：解：过过点点C C作作CDABCDAB于于D D，则则 在在RtACDRtACD中，中，AD=AD=CD=CD，AB=AD-BDAB=AD-BD，即，即 20=CD-20=CD-CD 解得，解得，CD=（30+10）米，故气球高）米，故气球高为为30+10米米=CDCD 在在RtBCDRtBCD中，中，BD=BD=2.2.如如图图，甲、乙两只捕，甲、乙两只捕捞捞船
14、同船同时时从从A A港出海捕港出海捕鱼鱼，甲，甲船以每小船以每小时时1515 千米的速度沿西偏北千米的速度沿西偏北3030方向前方向前进进，乙船以每小乙船以每小时时1515千米的速度沿千米的速度沿东东北方向前北方向前进进，甲船航行甲船航行2 2小小时时到达到达C C处处，此，此时时甲船甲船发发现渔现渔具具丢丢在乙船上，于是甲船快在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏速（匀速）沿北偏东东7575的方向追赶，的方向追赶，结结果两船在果两船在B B处处相遇相遇（1 1）甲船从）甲船从C C处处追赶上乙船用了追赶上乙船用了多少多少时间时间？（2 2）甲船追赶乙船的速度是多少？）甲船追赶乙船的速度是多少？
15、解：（解：（1 1）过过点点A A作作ADBCADBC于于D D，由，由题题意易得意易得B=30B=30，BAC=105BAC=105，BCA=45BCA=45，AC=30AC=30千米，在千米，在RtADCRtADC中，中，CD=AD=ACCD=AD=ACcos45=30cos45=30千米，在千米，在RtABDRtABD中，中，AB=2AD=60AB=2AD=60千米，千米，t=t=4=4（时时）（2 2）由（）由（1 1）知）知BD=ABcos30=30BD=ABcos30=30千米，千米，（千米）（千米）=（千米（千米/时时）BC=30+30BC=30+30 v=v=1 1、解直角三角
16、形的解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线作辅助线构筑直角三角形构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。关系。2 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在以在复习时要形成知识结构复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。