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1、微积分一曲线的凹向微积分一曲线的凹向与拐点与拐点首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 观察与思考 曲线弯曲的方向与其切线的位置有什么关系?首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 定义42(曲线的凹向)凹凹曲线位于切线的上方曲线位于切线的上方凸凸曲线位于切线的下方曲线位于切线的下方 如果在某区间内 曲线弧位于其上任意一点的切线的上方 则称曲线在这个区间内是凹的 如果在某区间内 曲线弧位于其上任意一点的切线的下方 则称曲线在这个区间内是凸的 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 凹：凹：凸：凸：设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数 那么如果x(a,b)时 恒有f
2、(x)0 则曲线yf(x)在(a,b)内凹如果x(a,b)时 恒有f(x)0 则曲线yf(x)在(a,b)内凸定理47(凹向的判断)首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 定理47(凹向的判断)定理47 设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数 那么 如果x(a,b)时 恒有f(x)0 则曲线yf(x)在(a,b)内凹 如果x(a,b)时 恒有f(x)0 则曲线yf(x)在(a,b)内凸定义43(拐点)凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 定理47(凹向的判断)定理47 设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数 那么 如果x(a,b)
3、时 恒有f(x)0 则曲线yf(x)在(a,b)内上凹 如果x(a,b)时 恒有f(x)0 则曲线yf(x)在(a,b)内下凹定义43(拐点)曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 说明 1.拐点既然是曲线凹弧与凸弧的分界点 那么在拐点左右邻近f (x)必然异号 因而在拐点处f (x)0或f (x)不存在 2.拐点是几何意义上的点，零点、驻点均是横坐标x.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 例1 求曲线yx42x31的凹向与拐点 y4x36x2 y12x212x12x(x1)得x10 x21 令y0 列表判断 可见 曲线在区间(0)(1)内凹 在区间(0 1)内凸 曲线上点(0 1)和(1 0)是拐点 y yx(,0)0(0,1)1(1,)001(拐点)0(拐点)首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 当x2时 y0 y不存在 列表判断 因此 曲线在区间(,2)内凸 在区间(2,)内凹 拐点是(2,0)y y x(,2)2(2,)不存在 0(拐点)结束结束