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1、关于数学模型概述关于数学模型概述第一页，本课件共有26页2.数学模型概述数学模型概述n n2.1 数学模型的定义和分类n n2.2 数学模型的建立n n2.2.1 建立数学模型的过程建立数学模型的过程n n2.2.2 对模型的基本要求对模型的基本要求n n2.2.3 数学模型的验证和误差分析数学模型的验证和误差分析n n2.3 Excel 在建立数学模型的应用n n2.3.1 污水处理的线性回归分析污水处理的线性回归分析n n2.3.2 结构分析和曲线拟合n n2.3.3 用用Excel进行参数估计进行参数估计第二页，本课件共有26页2.1 数学模型的定义和分类n n1.定义定义:根据所观察到
2、的现象，归结成一套反映其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对象的运动规律，这套公式和算法称为数学模型。数学模型。n n 广义定义:数学公式数学公式+计算方法和计算过程计算方法和计算过程n n特征:抽象性(数学规律突破约束反应本质)第三页，本课件共有26页2.数学模型的优点数学模型的优点 n n多变量模拟；多变量模拟；n n可以任意改变模型参数和结构，有利于发现事物可以任意改变模型参数和结构，有利于发现事物的本质特征；的本质特征；n n不需要实验设备和空间，速度快，费用低；不需要实验设备和空间，速度快，费用低；n n具有描述目标系统的状态外，具有分析能力。具有描述目标系统的状态外，具有分析能力
3、。第四页，本课件共有26页3.模型的分类模型的分类模型模型抽象模型抽象模型具体模型具体模型数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型第五页，本课件共有26页3.模型的分类模型的分类n n动态模型/静态模型n n线形模型/非线模型n n确定性模型/随机模型n n模拟模型/管理模型n n集中参数模型/分布参数模型通常环境系统分析模型动态模型/非线模型/随机模型/分布参数模型第六页，本课件共有26页讨 论 题 用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服
4、，哪个效果好。定义：n nM M 中包含有一些元素中包含有一些元素(分量分量)，每，每个元素个元素(分量分量)分别对应和代表分别对应和代表 S S 中的一个元素中的一个元素(分量分量)；n nM M 中的上述分量之间应存在中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可一定的关系，这种个关系可以用于与以用于与 S S 的分量间关系进的分量间关系进行类比。行类比。设，一盆水水量 L，衣服中污染物质量M，余水量L1，残余物比较；物理简化法；数学简化法。第七页，本课件共有26页2.2 数学模型的建立数学模型的建立n n2.2.1 对模型的基本要求n n2.2.2 建立数学模型的过程n n2.2.3 数
5、学模型的验证和误差分析第八页，本课件共有26页2.2.1 对模型的基本要求对模型的基本要求n n利用对客观系统的结构和运动规律的认识和理解建立模型-演绎法-机理模型-白箱模型白箱模型n n利用对系统的输入、输出数据的观察建立模型-归纳法-经验或统计模型-黑箱模型黑箱模型n灰箱模型：灰箱模型：介于机理和经验之间1.根据模型结构分类根据模型结构分类第九页，本课件共有26页2.对模型的基本要求对模型的基本要求n n依据充分；n n足够的精确度；n n可操作、实用第十页，本课件共有26页2.2.2建模过程建模过程 n n数据的收集与分析 实测数据实测数据/历史数据历史数据 变量变量/变量；变量变量；变
6、量/时间；变量时间；变量/空间空间n n模型结构的选择与确定n n模型参数估值n n模型验证与修正n n模型的应用和反馈第十一页，本课件共有26页建立数学模型的步骤建立数学模型的步骤观测数观测数据组据组模型结模型结构选择构选择模型模型应用应用观测数据组观测数据组参数参数估计估计检检验验与与验验证证图图2-4 模型的建立过程模型的建立过程第十二页，本课件共有26页模型的结构选择模型的结构选择(1)(1)白箱模型白箱模型白箱模型白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解根据对系统的结构和性质的了解根据对系统的结构和性质的了解根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化以客观事物变化遵循的物
7、理化以客观事物变化遵循的物理化以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。(2)(2)灰箱模型灰箱模型灰箱模型灰箱模型 即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中即半机理模型。在建立环境数
8、学模型的过程中即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包几乎每个模型都包几乎每个模型都包几乎每个模型都包含一个或多个待定参数含一个或多个待定参数含一个或多个待定参数含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来这些待定参数一般无法由过程机理来这些待定参数一般无法由过程机理来这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。确定。通常要借助于观测数据或实验结果。确定。通常要借助于观测数据或实验结果。确定。通常要借助于观测数据或实验结果。(3)(3)黑箱模型黑箱模型黑箱模型黑箱模型 即输入即输入即输入即输入-输出模型。需要大量的输入输出模型。需要大量的输
9、入输出模型。需要大量的输入输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模型。它们输出数据以获得经验模型。它们输出数据以获得经验模型。它们输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累可在日常例行观察中积累可在日常例行观察中积累可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。根据对系统也可由专门实验获得。根据对系统也可由专门实验获得。根据对系统也可由专门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测输入输出数据的观测输入输出数据的观测输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方在数理统计基础上建立起经验模型的方在数理统计基础上建立起经验模型的方在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经
10、验模型不具有唯一性。法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。第十三页，本课件共有26页2.3 Excel 在建立数学模型的应用在建立数学模型的应用n n2.3.1 污水处理的线性回归分析污水处理的线性回归分析n n2.3.2 结构分析和曲线拟合结构分析和曲线拟合n n2.3.3 用用Excel进行参数估计进行参数估计第十四页，本课件共有26页污水处理的线性回归分析n n例例例例2-2 某污水处理厂提供的3 3、4 4月份的日常监测台帐月份的日常监测台帐如表如表2-4所示，试根据3 3月份的数据建立其出水CODCOD对应入水对应
11、入水CODCOD的线性回归模型，然后用 4月份的数据月份的数据进行验证。进行验证。表表2-5 出水COD对应入水COD回归统计结果Multiple RMultiple R0.6302370.630237InterceptIntercept43.2568243.25682X Variable 1X Variable 10.1369960.136996标标准准误误差差26.2200926.22009观测值观测值2424第十五页，本课件共有26页第十六页，本课件共有26页n n因此，出水COD对应入水COD的线性回归的模型形式是：n nn nY=0.137X+43.257第十七页，本课件共有26页结
12、构分析和曲线拟合结构分析和曲线拟合 n n例例2-32-3 十二胺降解实验数据如表十二胺降解实验数据如表2-72-7所示，使用所示，使用Excel 工工作表进行曲线拟合。作表进行曲线拟合。n n n n表表表表2-7 十二胺降解实验数据十二胺降解实验数据第十八页，本课件共有26页从获得的三个数学模型来看，指数模型从获得的三个数学模型来看，指数模型从获得的三个数学模型来看，指数模型从获得的三个数学模型来看，指数模型R2R2与实验数据拟合的相关系数高达与实验数据拟合的相关系数高达与实验数据拟合的相关系数高达与实验数据拟合的相关系数高达 98.6%98.6%（R2=0.9726R2=0.9726）,
13、应是较好的选择。应是较好的选择。应是较好的选择。应是较好的选择。第十九页，本课件共有26页2.3.3 用用Excel进行参数估计进行参数估计n n用用CopyCopy计算式结合多元线性回归进行复杂模计算式结合多元线性回归进行复杂模型参数估值型参数估值n n n n例例例例2-42-4 根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：n n试根据表试根据表2-82-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数估值，所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数估值，并讨论其是否可信。并讨论其是否可信。n n解：解：解：解：首先建立首先建立ExcelExcel的工作表，输入
14、已知的实验数据，在新的两列的工作表，输入已知的实验数据，在新的两列中分别通过输入计算式和用中分别通过输入计算式和用 Copy Copy 命令求得对应的命令求得对应的x10.5 x10.5 和和 ln(x2)ln(x2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计算结果均列入，该反应测定的原始实验数据和两列中间计算结果均列入 表表2-82-8。第二十页，本课件共有26页用最优化方法进行复杂模型的参数估值用最优化方法进行复杂模型的参数估值n n使用使用 ExcelExcel电子表格，对于因变量电子表格，对于因变量 y 相应于自变量 X X X X（可以是包含多个元素的向量）的试验或观测数据，由经验给定参
15、数的初值开始，计算计算值与观测值之间的误差，用最优化方法进行参数估值，使该参数取值条件下误差的平方和最小。n n 例例2-52-5 已知河流平均流速为已知河流平均流速为4.0kmh h，饱和溶解氧(DO)(DO)为lO.OmgL L，河流起点的BOD(L0 0)浓度为20mg20mgL L，沿程的溶解氧，沿程的溶解氧n n()的测定数据如下：第二十一页，本课件共有26页第二十二页，本课件共有26页第二章第二章 数学模型概述数学模型概述 学习难点的阐述学习难点的阐述学习难点的阐述学习难点的阐述通过例题通过例题例例2-2学习，进一步学习，进一步学习，进一步学习，进一步阐述该学习难点，用阐述该学习难
16、点，用阐述该学习难点，用阐述该学习难点，用具具具具体计算和图形展示体计算和图形展示体计算和图形展示体计算和图形展示n n误差的取值、累积频率曲线；误差的取值、累积频率曲线；误差的取值、累积频率曲线；误差的取值、累积频率曲线；n n认识中值误差认识中值误差认识中值误差认识中值误差(累积频率为累积频率为累积频率为累积频率为5050)的概念和采用来作为的概念和采用来作为的概念和采用来作为的概念和采用来作为衡量模型精确度的度量。衡量模型精确度的度量。衡量模型精确度的度量。衡量模型精确度的度量。n n掌握数学建模方法。掌握数学建模方法。掌握数学建模方法。掌握数学建模方法。第二十三页，本课件共有26页第二
17、章第二章 数学模型概述数学模型概述n n学习要点为：学习要点为：n n(1)(1)满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具有高度满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具有高度的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。n n(2)(2)数学模型的建立过程包括：数据的搜集和初步分析、模数学模型的建立过程包括：
18、数据的搜集和初步分析、模型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等。型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等。n n(3)Microsoft Excel(3)Microsoft Excel 提供了一组数据分析工具，要使用分析工具提供了一组数据分析工具，要使用分析工具库进行库进行数学模型的验证和误差分析数学模型的验证和误差分析，必须对所提供的分析函数，必须对所提供的分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。n n(4)(4)练习掌握练习掌握用用ExcelExcel解决环境问题的线性回归分析、曲线拟解决环境问题的线性回归分析、
19、曲线拟合及参数估计合及参数估计等数学建模问题。等数学建模问题。难点重点第二十四页，本课件共有26页作业作业已知一组实验数据已知一组实验数据,就下列模型进行参数估就下列模型进行参数估计并说明哪种模型结构更适合实验数计并说明哪种模型结构更适合实验数据。据。(1)y=abx；(2)y=ax bx x1 12 24 47 7101015152020252530304040y y1.361.363.693.6927275.5E25.5E21.1E41.1E41.6E61.6E62.4E82.4E83.6E103.6E105.3E125.3E121.2E141.2E14第二十五页，本课件共有26页感感谢谢大大家家观观看看第二十六页，本课件共有26页