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1、 三角形面积公式之水平宽铅垂高三角形的面积公式计算较多，而在平面直角yC坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便.公式呈现A如右图所示，过 ABC 三个顶点分别作 x 轴的垂线，其中过 A，C 两条垂线与 x 轴交于点 E，F，线段 EF 的长度称为 ABC 的水平宽，而过 B 点xOFE1的垂线与边 AC 交于点 D，线段 BD 的长度称为铅垂高，则 S ABC EF gBD ，2此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF 通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC）交点（D）之间的距离.
2、yC公式推导如右图，过点A，C 作铅垂高 BD 上的高 AG，CH，121则有 S ABCS ABD+S BCDAGgBD + CH gBD211() AG + CH gBD EF gBD .B22AGxOF公式应用 1上下垂线例 1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方EEAD形 ABCD,E 为的中点， 为CE的中点， 为 的F BPADP中点，则 BFD 的面积是（）.1A. a8111B.aC.aD.a2222P1632说明：本题可以连结 CF，由 BCD 的面积减去 BCF与 CDF 的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.FBC1 解析：不妨以
3、 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴建立平面直角坐标系，则点 C坐标为（a，0），点 D 坐标为（a，a），1E 为 AD 的中点，点 E 坐标为（ a，a），23yEAD1 为P的中点，点 P 坐标为（ a， a），CE4321 为F BP的中点，点 F 坐标为（ a， a）.84P过 F 点作 BC 的垂线交 BD 于点 G，则点 G 的横G3坐标为 a ，又直线 BD 的解析式为 y = x ，点8F3G 的纵坐标为 a ，x8（ ）O BC311BDF 的铅垂高 FG a a a ，84811 11SBDF BC gFG = ag a = a2 .22 816公式应用 2左
4、右垂线例 2（适合八年级） 如图，直线 y = -y3x +1与3Cx 轴， y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为直角边 在 第 一 象 限 内 作 等 腰 直 角 ABC ， 且BPxOA1BAC=90.如果在第二象限内有一点 P a, ，2且ABP 的面积与 RtABC 的面积相等，求a 的值.yCxBP说明：本题常见解法有三，一是连结 OP，ABP的面积AOB 面积+BOP 面积AOP 面积，然后用 a 的代数式表示，与 RtABC 的面积相等列方程求解；OAyC二是将点 C 沿 AB 翻折到 C位置，则ABC 面积与ABC面积相等，若ABP 的面积与 RtABC 的面积PxA2C
5、 相等，则可得 PC/AB，因此，可以由点 A，C 坐标先求 C坐标，再根据 AB 的斜率与点 C坐标求直线 PC的解析式，将点 P 纵坐标代入，即可求 a 的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从 A，B，P 三点向 x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从 A，B，P 向 y 轴作垂线（即左右方向作垂线），仿公式求解.现解析如下.yC解析：过 A，B，P 三点作 y 轴的垂B线，则 OB 可以看成公式中的水平宽，E而 PE 可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个 90PxOA度）由 AB 的解析式可以得 OA 3 ，1OB1，而 P 的纵坐标为 ，所以 E
6、 为 AB 的中点，23所以 PE-a+，2113从而有 22 = 1 -a +，2223解得 a =- 4 .2公式应用 3内外垂线从例 2 可以看到，三条垂线不一定作向 x 轴，也可以作向 y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S ABC 1EF gCG .2yC简单推导：121S ABC SS BCGCGgEH - CGgFH ACG铅垂高21 EF gCG .G2说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三A水平宽x条垂线将与第三边（AB）的延长线相交，此时顶OFHE3 点（C）到交
7、点（G）的距离为铅垂高（CG）.例 3（适合九年级） 如图所示，直线 l：y=3x+3 与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B把 AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B，C 和 D（3，0）（1）求直线 BD 和抛物线的解析式（3）在抛物线上是否存在点 P，使 S=6？若存PBD在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（4）点 Q 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 Q 使得 BQ - CQ 的值最大，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物y线 解 析 式 为 y = x2 - 4x + 3 ， BD 解 析
8、式 为y = -x + 3，由于问题中并未交待 P 点在 BD 的上方或下方，故要分类讨论：B当 P 在 BD 下方时，如右上图，水平宽为 ODE3，铅垂高为 PE x - 4x + 3+ x -3 = x -3x ；22xO当 P 在 BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取 OD 3 为 水 平 宽 ， 则 铅 垂 高 PE ACDPy-x + 3- x + 4x -3 = -x + 3x .22P1两 种情 况合起来 就 是 3 x2 -3x = 6 ，即2EBx -3x = 4 .2当 x -3x = -4 时，方程无实数根，即 P 在 BD2x下方时，不可能面积为 6；OCD4 当 x2 -3x = 4时，解得 x = -1,x = 4 ，12即当 P（1，8）或 P（4，3）时，SPBD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例 3，可以将 P 点的两种不同的位置分类统一为 PE 长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在 BD 上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶 2015 年 1 月 26 日记于温十七中5