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1、专题学习专题学习 -几何证明中常见的几何证明中常见的 “添辅助线添辅助线”方法方法 -“-“周长问题周长问题(wnt)”(wnt)”的转化的转化第一页，共29页。连结连结(lin ji)(lin ji)目的目的(md):(md):构造全等三角形或等腰三角构造全等三角形或等腰三角形形适用情况适用情况(qngkung):(qngkung):图中已经存在两个点图中已经存在两个点A A和和B B语言描述语言描述:连结连结ABAB注意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法第二页，共29页。连结连结(lin ji)(lin ji)典例典例1:1:如图如图
2、,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证(qizhng):B=D.(qizhng):B=D.ACBD1.1.连结连结(lin ji)AC(lin ji)AC构造全等三角形构造全等三角形2.2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形第三页，共29页。连结连结(lin ji)(lin ji)典例典例2:2:如图如图,AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,求证求证(qizhng):(qizhng):点点M M是是CDCD的中点的中点.ACBD连结连结(lin ji)AC(lin ji)AC、ADAD构造全等三角形构造全等三
3、角形EM第四页，共29页。连结连结(lin ji)(lin ji)典例典例3:3:如图如图,AB=AC,BD=CD,M,AB=AC,BD=CD,M、N N分别分别(fnbi)(fnbi)是是BDBD、CDCD的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANC ANCACBD连结连结(lin ji)AD(lin ji)AD构造全等三角形构造全等三角形NM第五页，共29页。连结连结(lin ji)(lin ji)典例典例4:4:如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O,O,且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长.ACBD连结连结(lin j
4、i)BD(lin ji)BD构造构造(guzo)(guzo)全等三角全等三角形形O第六页，共29页。目的目的:构造构造(guzo)(guzo)直角三角形直角三角形,得到距离相等得到距离相等适用情况适用情况:图中已经图中已经(y jing)(y jing)存在一个点存在一个点A A和一条和一条线线MNMN语言语言(yyn)(yyn)描述描述:过点过点A A作作AHMNAHMN注意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段第七页，共29页。角平分线上点向两边角平分线上点向两边(lingbin)(li
5、ngbin)作作垂线段垂线段典例典例1:1:如图如图,ABC,ABC中中,C=90o,BC=10,BD=6,C=90o,BC=10,BD=6,AD AD平分平分(pngfn)BAC,(pngfn)BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离.ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造构造(guzo)(guzo)了了:全等的直角三角形且距离相等全等的直角三角形且距离相等BE第八页，共29页。角平分线上点向两边角平分线上点向两边(lingbin)(lingbin)作作垂线段垂线段典例典例2:2:如图如图,ABC,ABC中中,C=90o,AC=BC,C=90o,AC=BC,AD AD平分平分(p
6、ngfn)BAC,(pngfn)BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了:全等的直角三角形且距离全等的直角三角形且距离(jl)(jl)相相等等BE 思考思考:(1)(1)若若AB=15cm,AB=15cm,则则BEDBED的周长是多少的周长是多少?(2)(2)能否用截长补短法，在能否用截长补短法，在ABAB上截取上截取AE=ACAE=AC？第九页，共29页。角平分线上点向两边角平分线上点向两边(lingbin)(lingbin)作垂作垂线段线段典例典例3:3:如图如图,梯形梯形(txng)(txng)中中,A=D=90o,A=
7、D=90o,BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线,求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造构造(guzo)(guzo)了了:全等的直角三角形且距离相等全等的直角三角形且距离相等BF 思考思考:1.1.有没有其他辅助线的做法有没有其他辅助线的做法 2.2.你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论?E第十页，共29页。.角平分线上点向两边角平分线上点向两边(lingbin)(lingbin)作垂线段作垂线段典例典例4:4:如图如图,OC,OC 平分平分(pngfn)AOB,DOE+DPE=180o,(pngfn)AOB,DOE
8、+DPE=180o,求证求证:PD=PE.:PD=PE.ACD过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB构造了构造了:全等的直角三角形且距离全等的直角三角形且距离(jl)(jl)相等相等BF 思考思考:你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论?EPGO第十一页，共29页。目的目的:构造构造(guzo)(guzo)直角三角形直角三角形,得到斜边相等得到斜边相等适用情况适用情况:图中已经存在一条图中已经存在一条(y tio)(y tio)线段线段MNMN 和垂直平分线上一个点和垂直平分线上一个点X X 语言语言(yyn)(yyn)描述描述:连结连结XMXM和和XNXN注
9、意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段第十二页，共29页。如图：如图：PD、PE分别分别(fnbi)垂直平分线段垂直平分线段AB、BC，则，则PA_PCABCPDE第十三页，共29页。问题问题1:1:在某一乡村公路在某一乡村公路L L的同侧，有两个村庄的同侧，有两个村庄A A、B B，为，为了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建一所医院，使得它到两村庄的距离相等一所医院，使得它到两村庄的距离相等(xingdng)(xingdng)
10、，试问医院的院址试问医院的院址P P应选在何处？应选在何处？LABCDP联系联系(linx)生活生活第十四页，共29页。问题问题2:有三个村庄有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人看，为了便于三个村庄的人看病，乡政府计划修建一所医院病，乡政府计划修建一所医院(yyun)，使得它到三个，使得它到三个村庄的距离相等，试问医院村庄的距离相等，试问医院(yyun)的院址的院址P应选在何应选在何处？处？ABCP想一想，想一想，P点与点与BC有有怎样怎样(znyng)的关的关系？系？DEFG三角形三条三角形三条(sntio)边边的中垂线是交于一点的，的中垂线是交于一点的，这个点到三个顶点距离这个点到三
11、个顶点距离相等相等第十五页，共29页。目的目的:构造构造(guzo)(guzo)直角三角形直角三角形,得到斜边相得到斜边相等等适用情况适用情况(qngkung):(qngkung):图中已经存在一条线段图中已经存在一条线段MNMN 和垂直平分线上一个点和垂直平分线上一个点X X 语言描述语言描述(mio sh):(mio sh):连结连结XMXM和和XNXN注意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.中线延长一倍中线延长一倍第十六页，共29页。1.1.已知，如图已知，如图ADAD是是ABCABC的中线的中线(zhngxin)(zhngxin)
12、，.中线中线(zhngxin)(zhngxin)延长一倍延长一倍ABCDE延长延长(ynchng)AD(ynchng)AD到点到点E E，使，使DE=AEDE=AE，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5，求，求ADAD的取值范围？的取值范围？第十七页，共29页。已知在已知在ABC中，中，C=2B,1=2求证求证(qizhng):AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得(shde)AE=AC，连接，连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得(shde)CF=CD，连接，连接DF补短补短第十八页，共29页。A1BCD23
13、4如图所示，已知如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线，直线DC经过经过(jnggu)点点E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：。求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得(shde)AF=AD,连接连接EF截长补短(ji chng b dun)第十九页，共29页。例1 如图，已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E.求证(qizhng)：AB+BE=ACABCDFEG截截长补长补短短(ji chng b dun)法法第二十页，共29页。旋转法旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法旋转方
14、法(fngf)构造全等三角形。构造全等三角形。.例3如图所示，已知点、分别在正方形 的边 与 上，并且 AF平分(pngfn)EAD ，求证：ABCDEFG第二十一页，共29页。如图，已知在正方形中，在上，在上，求证(qizhng)：第二十二页，共29页。如图，ABC中，是边上的中点(zhn din)，于，交 的平分线于，过作于，作于求证：第二十三页，共29页。1.1.如图如图,ABC,ABC中中,C=90o,AC=BC,AD,C=90o,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB,DEAB.DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长的周长(zhu chn)(zhu chn)
15、是多少是多少?.“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助(jizh)“(jizh)“角平分线性角平分线性质质”BACDEBE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB第二十四页，共29页。2.2.如图如图,ABC,ABC中中,C=90o,D,C=90o,D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上.若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长(zhu chn).(zhu chn).“.“周长周长(zhu chn)(zhu chn)问题问题”的转的转化化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BA
16、CDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC第二十五页，共29页。3.3.如图如图,A,A、A1A1关于关于OMOM对称对称(duchn),A(duchn),A、A2A2关于关于ONON对称对称(duchn).(duchn).若若A1 A2=6cm,A1 A2=6cm,求求ABCABC的周长的周长.“.“周长问题周长问题”的转化的转化(zhunhu)(zhunhu)借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACOMAB+AC+BC=A=A1B+A A2C+BC=A=A1A A2A1A2N第二十六页，共29页。4.4.如图如图,ABC,ABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线
17、.若若AN=3cm,ABMAN=3cm,ABM周长周长(zhu chn)(zhu chn)为为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长(zhu chn).(zhu chn).“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助(jizh)“(jizh)“垂直平分线垂直平分线性质性质”BACMAB+BC+AC=AB+BM+MC+6N=AB+BM+AM+6=13+6第二十七页，共29页。5.5.如图如图,ABC,ABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm,AMNBC=6cm,AMN周长周长(zhu chn)(zhu chn)为
18、为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长(zhu chn).(zhu chn).“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助(jizh)“(jizh)“等腰三角形等腰三角形性质性质”BACPAB+AC+BC=AM+BM+AN+NC+6N=AM+MP+AN+NP+6=13+6M=AM+AN+MN+6第二十八页，共29页。线段与角求相等，先找全等试试看线段与角求相等，先找全等试试看若有等角等线段，构筑全等把线添若有等角等线段，构筑全等把线添图中有角平分线，可向两边图中有角平分线，可向两边(lingbin)(lingbin)作垂线。作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线=中线。中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。第二十九页，共29页。