拉丁方试验设计及统计分析.docx

《拉丁方试验设计及统计分析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拉丁方试验设计及统计分析.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 前言拉丁方试验设计及分析1 前言“拉丁方”的名字最初是由 R、A、Fisher 给出的。拉丁方设计（latin squaredesign）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡

2、，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的

3、机会均等，打破顺序界限。所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。例如四组被试接受 A、B、C、D 四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。第 1 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计及分析在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以 ABBA 的顺序来安排实验处理的顺序。或者把单组被试分为两半一半按照 ABBA 的顺序实施处理，另一半按照 BAAB 的顺序实施处理。源于生产实践，在畜

4、牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高

5、。课题的目的是：因为在拉丁设计中，横行单位组数、直列单位组数、试验处理数与试验处理的重复数必须相等，所以处理数受到一定限制。若处理数少，则重复数也少，估计试验误差的自由度就小，影响检验的灵敏度；若处理数多，则重复数也多，横行、直列单位组数也多，导致试验工作量大，且同一单位组内试验动物的初始条件亦难控制一致。因此，拉丁方设计一般用于 5-8 个处理的试验。在采用 4 个以下处理的拉丁方设计时，为了使估计误差的自由度不少于 12，可采用“复拉丁方设计”，即同一个拉丁方试验重复进行数次，并将试验数据合并分析，以增加误差项的自由度。应当注意，在进行拉丁方试验时，某些单位组因素，如奶牛的泌乳阶段，试验因

6、素的各处理要逐个地在不同阶段实施，如果前一阶段有残效，在后一阶段的试验中，就会产生系统误差而影响试验的准确性。此时应根据实际情况，安排适当的试验间歇期以消除残效。另外，还要注意，横行、直列单位组因素与试验因素间不存在交互作用，否则不能采用拉丁方设计。其研究的意义在于：1、精确性高 拉丁方设计在不增加试验单位的情况下，第 2 页 （共 15 页） 前言比随机单位组设计多设置了一个单位组因素，能将横行和直列两个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而试验误差比随机单位组设计小，试验的精确性比随机单位组设计高。2、试验结果的分析简便拉丁方试验从实际应用上来说，在计算机科学、数字通讯、光纤网络优化、实

7、验设计、生物基因工程等方面都有着重要的应用，其不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如心理学、生物等学科中均有重要应用。近年来，正交拉丁方理论在实验设计、计算机科学、编码理论和保密通讯等领域得到了重要的应用，这为正交拉丁方理论的研究提供了巨大的原动力。本研究方向近年来在 frame 自正交拉丁方、带对称正交侣的自正交拉丁方、r-自正交拉丁方、自正交的 Mendelsohn 三元系、横截设计等方面取得了一系列的研究成果。3 试验设计及拉丁方试验设计3.1 试验设计试验设计的基本工具是正交表，正交表是根据均匀分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格试验设计的方

8、法很多，不同的方法用于解决在实际工作中所遇到的不同的问题，应用最广泛和最具典型性的方法有区组设计、正交设计、参数设计、回归设计、均匀设计、混料设计、饱和设计与超饱和设计”。为比较某因子的多个水平，按某个已知的噪声因子把全部试验单元分为若干个组并进行试验和统计分析的方法称为区组设计。根据不同情况设计具体试验的方法有随机化完全区组设计、平衡不完全区组设计和链式区组设计。区组设计被广泛用于因素水平比较试验。第 3 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计及分析正交试验设计是一种常用多因子试验设计方法，它利用正交表k(q选择试验条件和安排试验计划。并利用正交表的特点进行数据分析，减少试验次数，找出最好的或

9、满意的试验计划组合。对应试验具体情况和要求不同，正交设计方法和统计分析方法也有相应的调整和优化。正交试验设计中的裂区设计是现今一大研究热点。试验设计的主要作用是减低试验次数、提高试验精度，使研究人员从试验结果中获得无偏的处理效应及试验误差的估计，进行正确而有效的比较。为了控制干扰因子引起的差异，降低试验误差，在试验设计中要遵循三条基本原则。一重复(Replication)重复性是科学调查结论的基本要求。相同处理设置试验单元重复后就可研究在试验单元间的变异。设置重复主要作用在于；1估计试验误差；2降低试验误差，提高试验精度二随机化(Randomization)随机化指试验中每一个处理都有相等的机

10、会实施安排在任何一个试验单元上。随机可以消除任何人为的主观偏性及各种干扰因子的影响，以保证获得处理效应及误差变异的有效无偏估计。三区域控制(Blocking)区域控制是将试验单元按系统干扰因子的环境控制因子进行区组划分，实施区组控制，使同一区组内的单元间环境因子保持一致，保证同一区组中局部范围内单元间误差的同质性。3.2 拉丁方试验设计拉丁方设计（latin square design）在统计上控制两个不相互作用的外部变量并且操纵自变量。每个外部变量或分区变量被划分为一个相等数目的区组或级别，自变量也同样被分为相同数目的级别。如果将 k 个不同符号排成 k 列，使得每一个符号在每一行、每一列都

11、只出现一次的方阵，叫做 kk 拉丁方。应用拉丁方设计就是将处理从纵横二个方向排列为区组(或重复)，使每个处理在每一列和每一行中出现的次数相等（通常一次），即在行和列两个方向都进行局部控制。所以它是比随机区组多一个方向局部控制的随机排列的设计，因而具有较高的精确性。第 4 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计的具体实例拉丁方设计的特点是处理数、重复数、行数、列数都相等。最小的可以为 22拉丁方设计,没有诸如 23 拉丁方设计。它的每一行和每一列都是一个区组或一次重复，而每一个处理在每一行或每一列都只出现一次，因此，它的处理数、重复数、行数、列数都等于 5。拉丁方设计的优点是：精确度高。缺点是：由

12、于重复数与处理数必须相等，使得两者之间相互制约，缺乏伸缩性。因此，采用此类设计时试验的处理数不能太多，一般以 410 个为宜。其具体的应用过程是这样的：假设我现在要做一个实验，被试一共要进行 5 个小测试，并且需要重测多次，因此对这 5 个测试的排序就需要列入变量控制之内，不可能多次都一样的顺序，因此为了平衡这种顺序效应，采取拉丁方设计，先命名 5 个小测试分别为 1，2，3，4，5。那么对其的排序就是这样的：第一组测试顺序：1，2，5，3，4第二组测试顺序：2，3，1，4，5第三组测试顺序：3，4，2，5，1第四组测试顺序：4，5，3，1，2第五组测试顺序：5，1，4，2，3其顺序是这样确定

13、的，横排：1，2，n，3，n-1，4，n-2（n 代表要排序的量的个数） 竖排：1，2，3，4，5 再轮回 1。（1）设计的基本要求：必须是三个因素的实验，且三个因素的水平数相等（若三因素的水平数略有不同，应以主要处理因素的水平数为主，其它两因素的水平数可进行适当调整）；三因素间是相互独立的，均无交互作用；各行、列、字母所得实验数据的方差齐。（2）设计步骤：根据主要处理因素的水平数，确定基本型拉丁方，并从专业角度使另两个次要因素的水平数与之相同；先将基本型拉丁方随机化，然后按随机化后的拉丁方阵安排实验。可通过对拉丁方的任两列交换位置，或/及任两行交换位置实现随机化；规定行、列、字母所代表的因素

14、与水平，通常用字母表示主要处理因素。4、拉丁方试验设计数据处理的相关理论第 5 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计及分析拉丁方设计试验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行，但应假定 3 个因素之间不存在交互作用。将横行单位组因素记为 A，直列单位组因素记为 B，处理因素记为 C，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为 r，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：（I=j=k=1，2，r）式中： 为总平均数； 为第 I 横行单位组效应； 为第 j 直列单位组效应，为第 k 处理效应。单位组效应 、 通常是随机的，处理效应通常是固定的，且有 ；

15、为随机误差，相互独立，且都服从 N（0，）。2注意：k 不是独立的下标，因为 I j 一经确定，k 亦随之确定。、平方和与自由度划分式为：SS = SS +SS +SS +SSTABCedf = df +df +df +dfTABce矫正数C=x ./r22总平方和SS =x -C2Tij(k)横行平方和 SS =x /r- C2AI.直列平方和 SS =x / r C2.jB处理平方和 SS =x / r C2C(K)误差平方和 SS = SS - SS - SS - SSeTABc总自由度df = r -12T横行自由度 df = r-1A直列自由度 df = r-1B处理自由度 df =

16、 r-1C误差自由度 df =df -df -df -df =(r-1)( r-2)eTABC第 6 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计的具体实例关于方差分析的基本步骤现归纳如下：（一）计算各项平方和与自由度。（二）列出方差分析表，进行 F 检验。（三）若 F 检验显著，则进行多重比较。多重比较的方法有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR 法：包括 q 检验法和新复极差法)。表示多重比较结果的方法有三角形法和标记字母法。5 拉丁方试验设计的具体实例在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。下面结合具体例子说明拉丁方设

17、计方法。为了研究 5 种不同温度对蛋鸡产蛋量的影响，将 5 栋鸡舍的温度设为 A B、 、 、5C D E，把各栋鸡舍的鸡群的产蛋期分为 期，由于各鸡群和产蛋期的不同对产蛋量有较大的影响，因此采用拉丁方设计，把鸡群和产蛋期作为单位组设置，以便控制这两个方面的系统误差。拉丁方设计步骤如下：（一）选择拉丁方选择拉丁方时应根据试验的处理数和横行、直列单位组数先确定采用几阶拉丁方，再选择标准型拉丁方或非标准型拉丁方。此例因试验处理因素为温度，处理数为 5；将鸡群作为直列单位组因素，直列单位组数为 5；将产蛋期作为横行单位组因素，横行单位组数亦为 5，即试验处理数、直列单位组数、横行单位组数均为 5，则

18、应选取 55 阶拉丁方。本例选取前面列出的第 2个 5 5 标准型拉丁方，即：（二）随机排列 在选定拉丁方之后，如是非标准型时，则可直接按拉丁方中的字母安排试验方案。若是标准型拉丁方，还应按下列要求对横行、直列和试验处理的顺序进行随机排列。第 7 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计及分析33 标准型拉丁方：直列随机排列，再将第二和第三横行随机排列。44 标准型拉丁方：随机选择 4 个标准型拉丁方中的一个，然后再将横行、直列及处理都随机排列。下面对选定的 55 标准型拉丁方进行随机排列。先从随机数字表（）第 22行、第 8 列 97 开始，向右连续抄录 3 个 5 位数，抄录时舍去“0”、“6

19、 以上的数”和重复出现的数，抄录的 3 个五位数字为：13542，41523，34521。然后将上面选定的 55 拉丁方的直列、横行及处理按这 3 个五位数的顺序重新随机排列。1、直列随机 将拉丁方的各直列顺序按 13542 顺序重排。2、横行随机 再将直列重排后的拉丁方的各横行按 41523 顺序重排。选择拉丁方1 2 3 4 51 3 5 4 2A B C D EB A D E CC E B A DD C E B AE D A C B1 A C E D BE A B CC E D B2 B D C E A3 C B D A E4 D E A B C5 E A B C D5 DAEBC A

20、B C D23D C E AB D A E3、把 5 种不同温度按第三个 5 位数 34521 顺序排列 即：A=3，B=4，C=5，D=2，E=1，也就是说，在拉丁方中的 A 表示第 3 种温度，B 表示第 4 种温度等，依次类推。从而得出 55 拉丁方设计，如表 5.01 所示。表 5.01 5 种不同温度对鸡产蛋量影响的拉丁方设计第 8 页 （共 15 页） 试验结果的统计分析D 2E 1A 3B 4（ ）C 5（ ）B 4（ ）D 2（ ）A 3（ ）E 1注：括号内的数字表示温度的编号由表 5.01 可以看出，第一鸡群在第个产蛋期用第 2 种温度，第二鸡群在第个产蛋期用第 1 种温度

21、，等等。试验应严格按设计实施。6 试验结果的统计分析由前面拉丁方试验设计数据处理的相关理论我们可以得知：将横行单位组因素记为 A，直列单位组因素记为 B，处理因素记为 C，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为 r，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：（I=j=k=1，2，r）式中： 为总平均数； 为第 I 横行单位组效应； 为第 j 直列单位组效应，为第 k 处理效应。单位组效应 、 通常是随机的，处理效应通常是固定的，且有 ； 为随机误差，相互独立，且都服从 N（0，2）。、注意：k 不是独立的下标，因为 I j 一经确定，k 亦随之确定。平方和与自由度划分式为：第 9 页 （共 1

22、5 页） 拉丁方试验设计及分析SS = SS +SS +SS +SSTABCedf = df +df +df +dfTABce例 1 的试验结果如表 6.10 所示。表 6.10 5 种不同温度对母鸡产蛋量影响试验结果（单位：个）横行和 xI.一A（24）B（21）B（25） D（22） C（25）E（21）A（23）E（19）直列和 x.j109108119107106x.=549注：括号内数字为产蛋量表 6.11 各种温度（处理）的合计ABCDEx10523.222.821.022.620.2现对表 6.10 资料进行方差分析。1、计算各项平方和与自由度第 10 页 （共 15 页） 试验

23、结果的统计分析矫正数C=x ./r =549 /5 =12056.042222总平方和SS =x -C=23 +21 +19 -12056.04= 12157-12056.04=100.962222Tij(k)横行平方和 SS =x /r- C =(108 +105 +104 )/5-12056.04=27.362222AI.直列平方和 SS =x / r - C =(109 +108 +106 )/5-12056.04=22.162.j222B处理平方和 SS =x / r - C=(116 +114 +101 )/5-12056.04=33.362222C(K)误差平方和 SS = SS

24、- SS - SS - SS =100.96-33.36-27.36-22.16= 18.08eTABc总自由度df = r -1=5 -1=2422T横行自由度 df = r-1=5-1=4A直列自由度 df = r-1=5-1=4B处理自由度 df = r-1=5-1=4C误差自由度 df =df -df -df -df =(r-1)( r-2)=(5-1)(5-2)=12eTABC2、列出方差分析表，进行 F 检验表 6.10 表 6.11 资料的方差分析表MSF6.845.548.341.504总变异100.9624经 F 检验，产蛋期间和鸡群间差异显著,温度间差异极显著。因在拉丁方设

25、计中，横行、直列单位组因素是为了控制和降低试验误差而设置的非试验因素，所以即第 11 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计及分析使显著一般也不对单位组间进行多重比较。下面对不同温度平均产蛋量间作进行多重比较。3、多重比较列出多重比较表，见表 6.12。表 6.12 不同温度平均产蛋量多重比较表（q 法）-20.2-21-22.6-22.8ABDCE23.222.822.621.020.23.0*2.20.60.21.81.60.4温度平均数标准误为:由 df =12 和 k=2，3，4，5 从 q 值表查得临界 q 值：q 和 q ,并与 相乘得e0.050.01值，列于表 6.13。表 6.

26、13 q 值和 LSR 值表dfekLSR23453.083.774.204.514.325.045.505.841.692.072.312.482.773.033.21第 12 页 （共 15 页） 试验结果的统计分析、 、3 4 2多重比较结果表明：温度 A B D 平均产蛋量显著地高于 E，即第 、 、 种温度的平均产蛋量显著高于第 1 种温度的平均产蛋量，其余之间差异不显著。第1 种和第 5 种温度平均产蛋量最低。2）优缺点（1）优点：拉丁方的行与列皆为配伍组，可用较少的重复次数获得较多的信息；双向误差控制，使观察单位更加区组化和均衡化，进一步减少实验误差，比配伍组设计优越。（2）缺点

27、：要求三因素的水平数相等且无交互作用。虽然当三因素的水平数不等时，可以通过调整次要因素的水平数以满足设计的要求，但有时无法达到；况且因素间可能存在交互作用，故在实际工作中有一定的局限性；当因素的水平数（）较少时，易受偶然因素的影响。为了提高精确度，可应用 m 个 拉丁方设计（可参照有关统计学书籍）; 重复数等于处理数，灵活性不强。处理数多时，则重复过多。处理数少时，重复少，则估计误差的自由度太小，精确度低。因此，适用于 58 个品种或处理的试验。如果在品种数或处理数少时，为了提高试验的精确度，可采用复拉丁方设计，即将一个拉丁方试验重复几次。应当注意，在进行拉丁方试验时，某些单位组因素，如奶牛的

28、泌乳阶段，试验因素的各处理要逐个地在不同阶段实施，如果前一阶段有残效，在后一阶段的试验中，就会产生系统误差而影响试验的准确性。此时应根据实际情况，安排适当的试验间歇期以消除残效。另外，还要注意，横行、直列单位组因素与试验因素间不存在交互作用，否则不能采用拉丁方设计。参考文献一 、刘思衡. 作物育种与良种繁育学词典. 北京:中国农业出版社, 2001.责任编辑：中国水稻研究所科技信息中心、国家水稻数据中心第 13 页 （共 15 页） 拉丁方试验设计及分析二、南开大学法政学院学术论丛(下)2002 年 S2 期三、舒华 心理与教育研究中的多因素实验设计北京师范大学出版社 1994-7-1四、李云

29、雁 胡传荣实验设计与数据处理北京化学工业出版社 2005五、周概荣 应用统计方法辞典 北京中国统计出版社 1992六、韩于羹 应用数理统计 北京康空航天大学出版社 1989七、吴乙申 应用统计学 机械工业出版社 1986八、朱燕汤 数理统计 西北工业大学出版社 1990九、金良超 正交设计与多指标分析 北京中国铁道出版社 1988十、中国科学院数学研究所数理统计组 正交实验法 北疆人民教育出版社 1975十一、方开泰 均匀设计 应用数学报 1989十二、杨虎 数理统计 北京高等教育出版社 2004十三、李永乐 胡庆军 应用数理统计 国防科技大学出版社 1995十四、明道绪 生物统计附设计第三版

30、。致谢首先，我要深深的感谢我的指导老师高明成老师这段时间来对我的耐心指导和悉心关怀，高老师渊博的学识、严谨的治学态度、勤勉的敬业精神和高标准严要求的精神，使我这段时间来学到了最宝贵的知识，将使我受益终生 .高老师从毕业论文的选题、开题、定稿到具体的内容安排等各方面，都给予了悉心的指导，并且在整个修改过程中严格把关，提出了很多宝贵意见，最后得以成文凝聚着何老师的心血.其次，我要深深的感谢长江大学信息与数学学院的领导和尊敬的其他带课老师，他们在我大学四年学习期间，不但教我知识还给予我很多有益的指导和帮助.总之，我要向长江大学信息与数学学院的全体老师表示诚挚的谢意，你们渊博的知识、勤勉的敬业精神和课堂上精彩的讲解让我受益匪浅，是你们无私地传授知第 14 页 （共 15 页） 试验结果的统计分析识把我领入了求真知、解疑惑的广阔天地.最后感谢我的父母和亲人，你们不管在任何时候都义无反顾的支持我 .回首近四年的学习生活，老师的教导和同学们的深厚情谊都给我留下了永恒而美好的回忆，这一切将成为我今后学习、生活和工作中最为宝贵的财富，激励我向前迈进.第 15 页 （共 15 页）