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1、线性变换的矩阵 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望n n阶矩阵阶矩阵A A 叫做线性变换叫做线性变换关于基关于基 的矩阵的矩阵.利用线性变换的矩阵利用线性变换的矩阵,(7.14),(7.14)式可以写成矩阵式可以写成矩阵乘积的形式乘积的形式:定理定理7.3 7.3 设设V V是数域是数域F F上一个上一个n n维向量空间维向量空间,是是 V V的一个线性变换的一个线性变换,关于关于V V 的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是 .7.3.2 坐标变换公式坐
2、标变换公式如果如果V V中向量中向量 关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是那么那么 推论推论7.3.1 7.3.1 设设 是是 的一个线性变换的一个线性变换.关关于于 的标准基的标准基 的矩阵是的矩阵是A当且仅当对于当且仅当对于 中任一向量中任一向量 引理引理7.4 设设V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间，维向量空间，是是V的一个基的一个基.那么对于那么对于V 中任意中任意 n个向量个向量 ，有且仅有，有且仅有 V 的一个线性的一个线性 变换变换，使得，使得 定理定理7.4 7.4 设设V V 是数域是数域F F上一个上一个n n 维向量空间，维向
3、量空间，是是V V 的一个基的一个基.对于数域对于数域F F上任意一上任意一个个n n 阶矩阵阶矩阵A A，恰有恰有V V 的每一个线性变换的每一个线性变换，使得，使得关于基关于基 的矩阵是的矩阵是A.A.定理定理7.5 7.5 设设V V 是数域是数域 F F 上一个上一个n n 维向量空维向量空间，间，是是V V 的一个基的一个基.如果如果 并且它们关于基并且它们关于基 的矩阵分别是的矩阵分别是A A和和B B，那么，那么 关于这个基的矩阵分别是关于这个基的矩阵分别是A A+B B,kAkA和和ABAB(k k是数域是数域F F中的一个数）中的一个数）.推论推论7.5.17.5.1 设设 是数域是数域F上上n 维向量空间维向量空间V 的一个线性变换的一个线性变换.如果如果关于关于V 的基的基 的矩阵是的矩阵是A,那么那么可逆当且仅当可逆当且仅当A可逆可逆,并且并且 关于这个基的矩阵就是关于这个基的矩阵就是 .推论推论7.5.2 设设 是数域是数域F上上n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换.可逆当且仅当可逆当且仅当 把把V的基的基变为变为V的基的基.推论推论7.5.3 设设 是数域是数域F上上n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换.可逆当且仅当可逆当且仅当 把把V中中线性无关的向量组变为线性无关的向量组线性无关的向量组变为线性无关的向量组.