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1、第四章第四章 多分辨分析和多分辨分析和 正交小波变换正交小波变换 如前所述，小波变换可以将时域信号分解为若干子频段的时域分量之和，那么如何构造小波函数？本章将给出框架理论及多分辨率分析方法。4.1 4.1 函数的多尺度逼近函数的多尺度逼近1 1 1 1、若干基本概念、若干基本概念、若干基本概念、若干基本概念 能量有限信号：满足能量有限信号：满足 的信号的信号。函数线性空间：函数线性空间：若若 内积及其性质内积及其性质 定义：定义：性质：交换性性质：交换性 分配性分配性内积空间：满足内积定义和性质的函数线性空间。内积空间：满足内积定义和性质的函数线性空间。正交：对正交：对 ,若若 ，称二者正交。
2、，称二者正交。向量的模：向量的模：模可以理解成向量的长度，也可看成是向量之间距离。模可以理解成向量的长度，也可看成是向量之间距离。线性无关线性无关 在在 中，对于有限个函数向量中，对于有限个函数向量 ，若若 当且仅当当且仅当 时成立，称时成立，称 线性无关。线性无关。基函数基函数 在在有有限限维维空空间间中中，选选定定有有限限个个线线性性无无关关函函数数作作为为基基底底向向量量，空空间间中中任任意意函函数数向向量量都都可可以以由由这这些些函函数数（基基底底）的的线线性性组组合合来来表表示示。将将此此推推广广到到无无穷穷维维空空间间，则则线线性性无无关关的的函函数数族族 可可构构成成 的的基基底
3、底，其其中中任任意意函函数数均均可可由由它它们们线线性组合而成。因此：性组合而成。因此：正交基函数正交基函数 如如果果基基函函数数族族 中中的的基基函函数数是是相相互互正正交交（或或标标准正交）的，则称为正交基函数族（标准正交基）。准正交）的，则称为正交基函数族（标准正交基）。（1010）正交子空间）正交子空间设设 和和 是是 的两个子空间，若的两个子空间，若2 2 2 2、函数的多尺度逼近函数的多尺度逼近函数的多尺度逼近函数的多尺度逼近 函函数数（模模拟拟信信号号）可可用用一一串串不不同同尺尺度度的的函函数数序序列列 来来逼逼近近，这这种种方方法法称称为为函数的多尺度逼近。函数的多尺度逼近。
4、这这种种做做法法已已经经得得到到广广泛泛的的应应用用。最最常常用用的的做做法法是是数数据据的的采采样样分分析析。给给定定采采样样间间隔隔基基本本单单位位，在不同的尺度下，有不同的采样间隔。在不同的尺度下，有不同的采样间隔。给定一个连续信号f(t)，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如下图所示，令显然，(t)的整数位移相互之间是正交的，即这样，由(t)的整数位移(t k)就构成了一组正交基。设空间V 0由这一组正交基所构成，这样，f(t)在空间 V 0中的投影（记作f 0(t)）可表为：f 0(t)如上图所示，它可以看作是f(t)在 V 0中的近似。是离散序列。令是由 作二进
5、制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，和,是正交的。这一结论可证明如下：将 作二倍的扩展后得 ，由 作整数倍位移所产生的函数组当然也是两两正交的（对整数k），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为 V-1，记信号f(t)在 V-1中的投影为f-1(t)，则将 作1/2倍的压缩后得 ，由 作整数倍位移所产生的函数组当然也是两两正交的（对整数k），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为 ，记信号x(t)在 中的投影为 ，则若如此继续下去，在给定的 的基础上，我们可得到在不同尺度j 下通过作整数位移所得到一组组的正交基 ，它们所构成的空间是 ，j Z。用这样的正交基对
6、作近似，就可得到f(t)在中的投影 。用 对 作近似，j 越大，近似的程度越好，也即分辨率越高。当j 时，中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有另一方面，若j-，那么,k j(t)中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，对f(t)的近似误差最大.不难发现：低分辨率的基函数 完全可以由高一级分辨率的基函数 所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间V-1应包含在高分辨率的空间V0 中，即：假定基本采样间隔为假定基本采样间隔为 ，j j尺度下的采样间隔为尺度下的采样间隔为 ，在在该该尺尺度度下下划划分分的的节节点点为为 ，采采样样值值为为 ，为为了了逼逼近近原原函函数数，选选定定基基函函数数为为 ，这这种种
7、基基函函数数是是由由同同一一函函数数 经经过过平平移移放放缩缩生生成成，如如 ，于于是是可可作作出出j j尺尺度度下下 的近似函数：的近似函数：从从上上式式可可以以看看出出 实实际际上上是是函函数数在在该该尺尺度度基基函函数数上的投影。上的投影。如如何何确确定定这这些些系系数数 ，最最方方便便的的做做法法是是采采用用内内插插型型基基函函数数，这这样样 刚刚好好是是函函数数在在样样本本点点的的值值，避避免另行计算这些系数。免另行计算这些系数。逼逼近近的的方方法法包包括括阶阶梯梯型型函函数数逼逼近近、梳梳状状函函数数逼逼近近、折线函数逼近、样条函数逼近等。折线函数逼近、样条函数逼近等。3 3 3
8、3、多尺度逼近中函数子空间的相互关系多尺度逼近中函数子空间的相互关系多尺度逼近中函数子空间的相互关系多尺度逼近中函数子空间的相互关系 在在多多尺尺度度逼逼近近中中，若若尺尺度度j j和和基基函函数数 给给定定，不不同同的的组组合合系系数数 对对应应着着不不同同的的 ，这这些函数可归为同一类函数，均由相同的基函数些函数可归为同一类函数，均由相同的基函数 描述出来，都是平方可积的，记为：描述出来，都是平方可积的，记为：为为线线性性函函数数空空间间，且且 。改改变变尺尺度度j j，可可得得到到不不同同的的线线性性空空间间 ，由由 逼逼进进 的的过过程程，可形成如下子空间序列：可形成如下子空间序列：称
9、称 是一个嵌套式子空间逼进序列。是一个嵌套式子空间逼进序列。4 4、多尺度逼近中的正交基表示多尺度逼近中的正交基表示多尺度逼近中的正交基表示多尺度逼近中的正交基表示 在在多多尺尺度度逼逼近近过过程程中中，用用到到了了的的基基函函数数序序列列 ，同同一一尺尺度度中中各各基基函函数数可可以以是是平平移移正正交交的的，也也可可以是平移非正交的。假设是标准正交基，则：以是平移非正交的。假设是标准正交基，则：这给近似函数的表示带来方便这给近似函数的表示带来方便.公式：公式：5 5 5 5、多尺度逼近的基本条件、多尺度逼近的基本条件、多尺度逼近的基本条件、多尺度逼近的基本条件RieszRieszRiesz
10、Riesz基基基基按照逼近要求，有：按照逼近要求，有：（平方可积）根据根据 和和 的一一对应关系，的一一对应关系，（平方可和（平方可和)Riesz基条件 4.2 4.2 多分辨分析多分辨分析（Multi-resolution AnalysisMulti-resolution Analysis）将多尺度逼近总结如下：将多尺度逼近总结如下：1 1）2 2）3 3）是是RieszRiesz基。基。19861986年年S.MallatS.Mallat和和Y.MeyerY.Meyer在在多多尺尺度度逼逼近近的的基基 础础 上上 提提 出出 了了 多多 分分 辨辨 分分 析析(Multi-resoluti
11、on(Multi-resolution AnalysisAnalysis，简称简称MARMAR）.MRAMRA是是指指一一系系列列嵌嵌套套式式子子空空间间逼逼进进序序列列 ，满足如下要求：满足如下要求：1 1）2 2）3 3）4 4）是是RieszRiesz基。基。生成了生成了MRAMRA，称为尺度函数或称为尺度函数或MRAMRA的称为生成元。的称为生成元。二者比较二者比较:差别一差别一:红色显示部分；红色显示部分；差别二：后者强调双尺度方程。差别二：后者强调双尺度方程。（双尺度方程）MRAMRA的含义的含义1 1 1 1、生成生成生成生成MRAMRAMRAMRA 双双尺尺度度方方程程明明确确
12、了了V V0 0和和V V1 1之之间间的的传传递递关关系系，现在推导现在推导 和和 之间的传递关系。之间的传递关系。2 2 2 2、MRAMRAMRAMRA确定了确定了确定了确定了 的子空间直和分解关系的子空间直和分解关系的子空间直和分解关系的子空间直和分解关系 按照前面的分析，毕竟 不等于 ，也即 比 对f(t)近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是由 和 的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为该式的含义是：f(t)在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。设有一基本函数细节 属于子空间 ,由基函数 张成。同时，同时，（
13、）推而广之3 3 3 3、MRAMRAMRAMRA明确了明确了明确了明确了 的结构的结构的结构的结构因为因为 ,可由可由 中的基函数线性表示：中的基函数线性表示：同样同样 ,它的基函数记为它的基函数记为 ，也可以用，也可以用中的基函数线性表示：中的基函数线性表示：称为称为小波函数小波函数。上式也表明了。上式也表明了 的传递关系的传递关系（双尺度方程）由于由于 是是RieszRiesz基，基，是是 的的RieszRiesz基。基。仿照仿照 基的表述形式，有：基的表述形式，有：此式反映了此式反映了 和和 的传递关系，与的传递关系，与 和和 的传递关系的传递关系同形。同形。为线性子空间为线性子空间
14、，它的基函数为，它的基函数为 ，这，这样样 中的函数中的函数 可表示为：可表示为：称为小波基，称为小波基，称为小波分量，称为小波分量，称称为小波子空间。为小波子空间。4 4 4 4、MRAMRAMRAMRA明确了明确了明确了明确了 的级数表示形式的级数表示形式的级数表示形式的级数表示形式 从上面的分析可以看出，从上面的分析可以看出，且，且 之之间没有非零的公共元素，因此，任意间没有非零的公共元素，因此，任意 可可以分解为各个子空间分量以分解为各个子空间分量 的直和。的直和。实际上，已经看出了两条途径，一条为基于子实际上，已经看出了两条途径，一条为基于子空间序列空间序列 逼近途径逼近途径 ；一条
15、是基于正交子；一条是基于正交子空间序列空间序列 的系列分量的系列分量 。5 5 5 5、MRAMRAMRAMRA能将频带分成子频带的直和。能将频带分成子频带的直和。能将频带分成子频带的直和。能将频带分成子频带的直和。子空间的子空间的 可以看成是有限频宽信号，从可以看成是有限频宽信号，从 看看出出，其其频频率率范范围围是是由由 决决定定的的（实实际际上上是是指指标标j j决决定定，k k只只起起平平移移作作用用，不不影影响响频频率率范范围围）。为为频频宽宽与与 相相同同低低通通滤滤波波函数函数。空间的空间的 的频宽只有的频宽只有 的一半，的一半，（的频窗中心为：的频窗中心为：,频窗半径为：频窗半
16、径为：再由再由 可知，可知，分为了两部分：一部分是一半频宽的低频部分，由分为了两部分：一部分是一半频宽的低频部分，由 表示；另一部分是关于表示；另一部分是关于 的相对高的相对高频部分，由频部分，由 表现，为表现，为带通函数带通函数。)总之，总之，MRAMRA所确定的小波子空间分解关系所确定的小波子空间分解关系 表明，任何一个信号表明，任何一个信号 的频率的频率被分隔为若干互不重叠的子频带的直和，换句话被分隔为若干互不重叠的子频带的直和，换句话说，说，在在MRAMRA框架下分解为若干表示子频带的分框架下分解为若干表示子频带的分量量 的直和，的直和，的任何局部位置的不同频带的任何局部位置的不同频带
17、分量将分别表现在不同的小波子空间中，具有频分量将分别表现在不同的小波子空间中，具有频域局部化能力域局部化能力。6 6 6 6、MRAMRAMRAMRA所确定的数字滤波器所确定的数字滤波器所确定的数字滤波器所确定的数字滤波器以上二式反映了以上二式反映了 到到 ，到到 之间的传递关系；之间的传递关系；以上二式反映了以上二式反映了 到到 ，到到 之间的传递关系；之间的传递关系；再对前面二式进行频域处理：再对前面二式进行频域处理：简化之后可写成简化之后可写成：上上式式表表明明：所所代代表表的的 的的有有限限频频率率范范围围，在在 的作用下被压缩一半，成为的作用下被压缩一半，成为 ，代代表表的的是是 的
18、的有有限限频频率率范范围围，结结合合前前面面的的子子频频带带含含义义，可可知知 反反映映的的是是低低频频部部分分，起起了了低低通通滤滤波波作作用用，相相应应的的 为为低低通通数数字字滤滤波波器器；同理同理,在在 的作用下的作用下 被压缩一半，成为被压缩一半，成为 代代表表的的是是 的的有有限限频频率率范范围围，结结合合前前面面的的子子频频带带含含义义，可可知知 反反映映的的是是高高频频部部分分，因因此此，起起了了高高通通滤滤波波作作用用，相相应应的的 为为高高通通滤滤波器波器。7 7 7 7、MRAMRAMRAMRA是构造小波的统一框架是构造小波的统一框架是构造小波的统一框架是构造小波的统一框
19、架 从从MRAMRA的的定定义义可可知知，只只要要给给定定尺尺度度函函数数 和和双双尺尺度方程度方程 ，则，则 :的的双双尺尺度度关关系系是是存存在在的的，从而在从而在 的的描描述述下下，MRAMRA确确定定了了小小波波子子空空间间的的直直和和分分解解关关系系和函数的小波分解形式和函数的小波分解形式：原原则则上上讲讲，只只要要给给定定 和和 满满足足MRAMRA的的要要求求，只只要求出要求出 并满足下述下列条件：并满足下述下列条件：小波函数就是存在且能构造出来。小波函数就是存在且能构造出来。4.34.3正交小波级数和正交小波变换正交小波级数和正交小波变换 一、一、正交小波级数正交小波级数正交小
20、波级数正交小波级数 如果尺度函数（生成元）如果尺度函数（生成元）是平移正交的，分是平移正交的，分解的小波子空间具有什么性质？解的小波子空间具有什么性质？定理定理定理定理 设设 生成生成MRAMRA，并为尺度函数，并为尺度函数，为小波为小波函数。双尺度方程函数。双尺度方程（第八章给出了来源）设设 是标准正交的，则有：是标准正交的，则有：（1 1）的基函数的基函数 关于平移指标关于平移指标k k是标准正是标准正 交的；交的；（2 2）的基函数的基函数 关于尺度指标关于尺度指标j j和平移指和平移指标标k k是标准正交的；是标准正交的；（3 3）;（4 4）是是 的标准正交基，的标准正交基，f(t)
21、f(t)可展开可展开成正交小波级数：成正交小波级数：证明：如果基函数平移标准正交，则表明：证明：如果基函数平移标准正交，则表明：同理，同理，标准正交等价为：标准正交等价为：（1 1）证明）证明 的基函数的基函数 关于平移指标关于平移指标k k是标是标准正交的。准正交的。因此因此 是平移正交的；是平移正交的；(2)(2)的基函数的基函数 关于尺度指标关于尺度指标j j和平移指标和平移指标k k是标准正交的；是标准正交的；首先证明首先证明 关于平移指标关于平移指标k k是标准正交的。根是标准正交的。根据据(1)(1)的结论只要证明的结论只要证明 是平移正交的即可。是平移正交的即可。当当 时，时，无
22、公共非零元素，二者正交，因无公共非零元素，二者正交，因 此关于指标此关于指标j j是标准正交的。是标准正交的。二、正交小波变换二、正交小波变换二、正交小波变换二、正交小波变换上面图表反映了两个事实。上面一条线为函数的多上面图表反映了两个事实。上面一条线为函数的多尺度逼近，由尺度逼近，由 表现表现 的的“概貌概貌”，其时域表现，其时域表现为为 。由于由于 的正交性，展开系数为的正交性，展开系数为 。随着。随着j j尺度的增大，尺度的增大，无论是在时域还是频域越来越接近无论是在时域还是频域越来越接近 。下面一条线反应的是多分辨分解。下面一条线反应的是多分辨分解。表现表现 的的“细节细节”，其时域表
23、现为，其时域表现为 ，由于，由于 的正交性，的正交性，展展开系数为开系数为 。4.4 4.4 离散小波分解所表现的局部时频离散小波分解所表现的局部时频分析方法分析方法 第第三三章章的的小小波波变变换换具具有有局局部部时时频频分分析析的的特特点点，时时频频窗窗具具有有自自适适应应能能力力，由由MRAMRA确确定定的的离离散散小小波波分分解有同样的效果。解有同样的效果。MRAMRA确定的离散小波分解关系为：确定的离散小波分解关系为：是由是由 经平移缩放而成，都具有时频局部经平移缩放而成，都具有时频局部化能力，具有带通性质。如果，化能力，具有带通性质。如果，是标准正交是标准正交的，则的，则 表现出小
24、波变换的形式。表现出小波变换的形式。如果，如果，不是标准正交的，则不是标准正交的，则 ，同样将信号同样将信号f f限制在限制在 所决定的子频带内。所决定的子频带内。由由MRAMRA所确定的离散小波分解把所确定的离散小波分解把 分解为若分解为若干子频带分量干子频带分量 ，通过对，通过对 的分析来达到的分析来达到局部时频分析的目的。局部时频分析的目的。对于不同的尺度对于不同的尺度j j，这些子频带相互不重叠。信这些子频带相互不重叠。信号被分解为若干个细节，局部信号的低频细节或号被分解为若干个细节，局部信号的低频细节或高频细节都将在不同的小波分量高频细节都将在不同的小波分量 中得到表现中得到表现 。这个局部信号的频域特征将综合地、然而又是这个局部信号的频域特征将综合地、然而又是细致地表现在各个子频带中。这个局部信号的时细致地表现在各个子频带中。这个局部信号的时域特征将综合地、然而又是细致地表现在各个小域特征将综合地、然而又是细致地表现在各个小波分量中波分量中。