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1、统计学9ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望9.1 方差分析引论方差分析引论1.方差分析及有关术语方差分析及有关术语2.方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理3.方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定4.假设问题的一般提法假设问题的一般提法29.1.1什么是方差分析什么是方差分析(ANOVA)?方方差差分分析析是是通通过过检检验验多多个个总总体体的的均均值值是是否否相相等等来来判判断断分分类类型型自自变变量量对对数数值值型型因变量
2、是否有显著影响的统计方法。因变量是否有显著影响的统计方法。有单因素方差分析和双因素方差分析有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量3什么是方差分析什么是方差分析?(例题分析)消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造业家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例例例例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消
3、费者协会为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共费者对总共23家企业投诉的次数如下表家企业投诉的次数如下表一个分类变量4什么是方差分析什么是方差分析?(例题分析)1.1.分分析析四四个个行行业业之之间间的的服服务务质质量量是是否否有有显显著著差差异异，也也就就是是要要判判断断“行行业业”对对“投投诉诉次次数数”是否有显著影响是否有显著影响2.2.作作出出这这种种判判断断最最终终被被归归结结为为检检验验这这四四个个行行业业被投诉次数的被投诉次数的均值是否相等。均值是否相等。怎样检
4、验？怎样检验？3.3.若若它它们们的的均均值值相相等等，则则意意味味着着“行行业业”对对投投诉诉次次数数是是没没有有影影响响的的，即即它它们们之之间间的的服服务务质质量量没没有有显显著著差差异异；若若均均值值不不全全相相等等，则则意意味味着着“行行业业”对对投投诉诉次次数数是是有有影影响响的的，它它们们之之间的服务质量有显著差异间的服务质量有显著差异5方差分析中的其他有关概念方差分析中的其他有关概念 p3101.因素或因子因素或因子(factor)所要检验的对象所要检验的对象要要分分析析行行业业对对投投诉诉次次数数是是否否有有影影响响，行行行行业业业业是是要检验的因素或因子要检验的因素或因子2
5、.水平或水平或处理处理(treatment)因子的不同表现因子的不同表现零零售售业业、旅旅游游业业、航航空空公公司司、家家电电制制造造业业就就是因子的水平是因子的水平3.观察值观察值在每个因素水平下得到的在每个因素水平下得到的样本数据样本数据每个行业被投诉的次数就是观察值每个行业被投诉的次数就是观察值64 4.试验试验试验试验这这这这里里里里只只只只涉涉涉涉及及及及一一一一个个个个因因因因素素素素，因因因因此此此此称称称称为为为为单单单单因因因因素素素素四四四四水水水水平的试验平的试验平的试验平的试验5.5.总体总体总体总体因素的因素的因素的因素的每一个水平每一个水平每一个水平每一个水平可以看
6、作可以看作可以看作可以看作是一个总体是一个总体是一个总体是一个总体比比比比如如如如零零零零售售售售业业业业、旅旅旅旅游游游游业业业业、航航航航空空空空公公公公司司司司、家家家家电电电电制制制制造造造造业可以看作是四个总体业可以看作是四个总体业可以看作是四个总体业可以看作是四个总体6.6.样本数据样本数据样本数据样本数据被被被被投投投投诉诉诉诉次次次次数数数数可可可可以以以以看看看看作作作作是是是是从从从从这这这这四四四四个个个个总总总总体体体体中中中中抽抽抽抽取取取取的样本的样本的样本的样本数据数据数据数据79.1.2.方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理 零售业 旅游业 航空公司
7、 家电制造81.从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数是有明显差异的同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低2.2.行行业与被投诉次数之间有一定的关系业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(图形分析图形分析)93仅仅从从散散点点图图上上观观察察还还不不能能提提供供充充分分的的证证据据证证明明不不同同行业被投诉的次数之间有显著差异行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异可能是由于抽抽样样的的随随机机性性
8、所造成的,也有可能是系统性影响因素系统性影响因素造成的。4需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感感兴兴趣趣的的是是均均值值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它它是是通通过过对对数数据据误误差差来来源源的的分分析析判判断断不不同同总总体体的的均均值值是是否否相相等等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源数据误差的来源101.比较两类误差（系统性误差、随机误差），以检验检验均值是否相等2.比较的基础是方差比方差比3.如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的4.误差是由各
9、部分的误差占总误差的比例来测度的9.1.2方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理11方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(两类误差两类误差)1.组内误差组内误差组内误差组内误差因因素素的的同同一一水水平平(总总体体)下下，样样本本内内部部各各观观察察值值之之间间的差异的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这这种种差差异异可可以以看看成成是是随随机机因因素素的的影影响响，是是随随随随机机机机误误误误差差差差 。组内误差只含有随机误差。组内误差只含有随机误差。组内误差只含有随机误差。组内误差只含有随机误差。2.组间误差组间误
10、差因素的因素的不同不同不同不同水平水平(不同总体不同总体)下，各观察值之间的差异下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这这种种差差异异可可能能是是由由于于抽抽样样的的随随机机性性所所造造成成的的，也也可可能能是是由由于于行行业业本本身身所所造造成成的的，后后者者所所形形成成的的误误差差是是由由系统性因素造成的，称为系统性因素造成的，称为系统误差。系统误差。系统误差。系统误差。12方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(两类误差两类误差)数据的误差用平方和数据的误差用平方和(sum of squares)表示表示SS反映组
11、内误差大小的平方和称为组内平方和，记记记记为为为为SSESSE 反映组间误差大小的平方和称为组间平方和，记记为为SSA 反映全部数据误差大小的平方和称为总平方和，记为SST13方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(方差的比较方差的比较)1.若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随随机机误误差差，没没有有系系统统误误差差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近会接近会接近会接近1 12.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组组间间误误差差平平均均后后的的数数值值就就会会大于组内误差平均后的数值
12、，它们之间的比值就大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于会大于13.当这个比比值值大大到到某某种种程程度度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响149.1.3方差分析的基本假定方差分析的基本假定 1.每个每个总体都应服从总体都应服从正态分布正态分布对对于于因因素素的的每每一一个个水水平平，其其观观察察值值是是来来自自服服从从正正态分布总体的简单随机样本态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需
13、服从正态分布比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布2.各个各个总体的总体的方差必须相同方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等比如，四个行业被投诉次数的方差都相等3.观观察值是察值是独立的独立的比比如如，每每个个行行业业被被投投诉诉的的次次数数与与其其他他行行业业被被投投诉诉的次数独立的次数独立15方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定1.在在上上述述假假定定条条件件下下，判判断断行行业业对对投投诉诉次次数数是是否否有有显显著著影影响响，实实际际上上也也就就是是检检验验具具有有同同方方差差的的四个
14、正态总体的均值是否相等四个正态总体的均值是否相等2.如如果果四四个个总总体体的的均均值值相相等等，可可以以期期望望四四个个样样本本的均值也会很接近的均值也会很接近四四个个样样本本的的均均值值越越接接近近，推推断断四四个个总总体体均均值值相相等等的证据也就越充分的证据也就越充分样样本本均均值值越越不不同同，推推断断总总体体均均值值不不同同的的证证据据就就越越充分充分 16方差分析中基本假定方差分析中基本假定 如果原假设成立，即如果原假设成立，即H0：1=2=3=4四个行业被投诉次数的均值都相等四个行业被投诉次数的均值都相等意味着意味着每个样本都来自均值为每个样本都来自均值为、方差为、方差为 2的
15、同一的同一正态总体正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 17方差分析中基本假定方差分析中基本假定若备择假设成立，即若备择假设成立，即H H1 1:m m j j (j j=1,2,3,4=1,2,3,4)不全相不全相等等至少有一个总体的均值是不同的至少有一个总体的均值是不同的四个样本分别来自均值不同的四个正态总体四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X)3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 189.1.4问题的一般提法问题的一般提法1.设设因因素素有有k个个水水平平，
16、每每个个水水平平的的均均值值分分别别用用 1,2,k 表示表示2.要要检检验验k个个水水平平(总总体体)的的均均值值是是否否相相等等，需需要要提提出出如下假设：如下假设：H0：1 2 k H1：1,2,，k 不全相等不全相等3.设设 1为为零零售售业业被被投投诉诉次次数数的的均均值值，2为为旅旅游游业业被被投投诉诉次次数数的的均均值值，3为为航航空空公公司司被被投投诉诉次次数数的的均均值值，4为家电制造业为家电制造业被投诉次数的均值被投诉次数的均值，提出的假设为提出的假设为H0：1 2 3 4 H1：1,2,3,4 不全相等不全相等199.2 单因素方差分析单因素方差分析 9.2.1 数据结构
17、数据结构9.2.2 分析步骤分析步骤9.2.3 关系强度的测量关系强度的测量9.2.4 用用Excel进行方差分析进行方差分析209.2.1单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构(one-way analysis of variance)观察值观察值 (i)因素因素(A)j 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 :x1n x2n xkn21一、提出假设：一、提出假设：1.一般提法H0：m1=m2=mk 自变量对因变量没有显著影响 H1：m1，m2，mk不全相等自变量对因变量有显著影响 2.注意：拒拒绝绝原原假假设设，只只表表
18、明明至至少少有有两两个个总总体体的的均均值值不不相相等等，并并不不意意味味着着所所有有的的均均值值都不相等都不相等 9.2.2方差分布的基本步骤方差分布的基本步骤22二、构造检验的统计量二、构造检验的统计量 构造统计量需要计算因素各水平的均值全部观察值的总均值误差平方和(sum of squares记为SS)SS误差均方误差均方(MS)23计算计算因素各水平的均值因素各水平的均值假定从第j个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第j个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数计算公式为 式中：式中：ni为第为第 i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数 xij 为第为第
19、i 个总体的第个总体的第 j 个观察值个观察值 24计算全部观察值的总均值计算全部观察值的总均值全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为：25例题分析例题分析 26计算总误差平方和计算总误差平方和 SST：sum of squares for total(1)全部观察值 与总平均值 的离差平方和(2)反映全部观察值的离散状况反映全部观察值的离散状况其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SST SST=(57-47.869565)=(57-47.869565)2 2+(58-47.869565)(58-47.869565)2 2 =115.9295 =115.929527计算组间计算
20、组间(水平项水平项)平方和平方和 SSASSA：Sum of squares for factor A1.各组平均值 与总平均值 的离差平方和2.反映各总体的样样样样本本本本均均均均值值值值之之之之间间间间的的的的差差差差异异异异程程程程度度度度，又称组组间平方和间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差随机误差，也包括系统误差4.计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSA SSA=1456.608696=1456.60869628计算误差项平方和计算误差项平方和 SSESSE:Sum of squares for error(1)每每个个水水平平或或组组的的各各样样本本数数据
21、据与与其其组组平平均均值值的的离离差差平方和平方和(2)反反映映每每个个样样本本各各观观察察值值的的离离散散状状况况，又又称称组组内内平平方和方和(3)该平方和反映的是随机误差随机误差的大小计算公式为:前例的计算结果：前例的计算结果：SSE SSE=2708=270829三个平方和的关系三个平方和的关系总总离离差差平平方方和和(SST)、误误差差项项离离差差平平方方和和(SSE)、水水平平项项离离差差平平方方和和(SSA)之之间间的的关关系系SST=SSA+SSE总离差平方和总离差平方和总离差平方和总离差平方和=组间离差平方和组间离差平方和组间离差平方和组间离差平方和+组内离差平方和组内离差平
22、方和组内离差平方和组内离差平方和 前例的计算结果：前例的计算结果：4164.608696=1456.608696+2708 30三个平方和的作用三个平方和的作用1.SSTSSTSSTSST反反映映全全部部数数据据总总的的误误差差程程度度；SSESSESSESSE反反映映随随机机误误差差的的大小；大小；SSASSASSASSA反映随机误差和系统误差的大小反映随机误差和系统误差的大小2.2.如如果果原原假假设设成成立立，则则表表明明没没有有系系统统误误差差，组组间间平平方方和和SSASSASSASSA除除以以自自由由度度后后的的均均方方与与组组内内平平方方和和SSESSESSESSE除除以以自自由
23、由度度后后的的均均方方差差异异就就不不会会太太大大；如如果果组组间间均均方方显显著著地地大大于于组组内内均均方方，说说明明各各水水平平(总总体体)之之间间的的差差异异不不仅仅有有随随机机误差，还有系统误差误差，还有系统误差3.3.判判断断因因素素的的水水平平是是否否对对其其观观察察值值有有影影响响，实实际际上上就就是是比较组间方差与组内方差之间差异的大小比较组间方差与组内方差之间差异的大小31 计计 算算 均均 方方 MS 1.各各误误差差平平方方和和的的大大小小与与观观察察值值的的多多少少有有关关，为为消消除除观观察察值值多多少少对对误误差差平平方方和和大大小小的的影影响响，需需要要将将其其
24、平平均，这就是均，这就是均方均方，也称为方差，也称为方差2.计算方法是用误差平方和除以相应的自由度计算方法是用误差平方和除以相应的自由度3.三个平方和对应的三个平方和对应的自由度自由度分别是分别是4.SST 的的自自由由度度为为n-1，其其中中n为为全全部部观观察察值值的的个个数数5.SSA的的自由度为自由度为k-1，其中，其中k为为总体的总体的个数个数6.SSE 的的自由度为自由度为n-k注意注意32计算均方计算均方 MSMS 1.组组间间均均方方：SSA的均方，记为MSA，计算公式为2.组组内内均均方方：SSE的均方，记为MSE，计算公式为33四四 计算检验统计量计算检验统计量 F F1.
25、将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 3.记住记住34F分布与拒绝域分布与拒绝域如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，F F F=MSAMSAMSA/MSEMSEMSE1 1 1 F 分布分布F(k-1,n-k)0 0拒绝拒绝拒绝拒绝HH0 0不能拒绝不能拒绝不能拒绝不能拒绝H H H H0 0 0 0F F35五、统计决策五、统计决策 将将统统计计量量的的值值F与与给给定定的的显显著著性性水水平平 的的临临界值界值F 进行比较，作出对原假设进
26、行比较，作出对原假设H0的决策的决策根根据据给给定定的的显显著著性性水水平平，在在F分分布布表表中中查查找找与与第第一一自自由由度度df1k-1、第第二二自自由由度度df2=n-k 相应的临界值相应的临界值 F 若若FF ，则则拒拒绝绝原原假假设设H0，表表明明均均值值之之间间的的差差异异是是显显著著的的，所所检检验验的的因因素素对对观观察察值有显著影响值有显著影响若若FF ，则则不不能能拒拒绝绝原原假假设设H0，表表明明所所检验的因素对观察值没有显著影响检验的因素对观察值没有显著影响 36单因素方差分析表单因素方差分析表(基本结构基本结构)P256看看懂懂记记住住37例题分析例题分析P257
27、389.2.3 关系强度的测量关系强度的测量 1.拒绝原假设表明因素拒绝原假设表明因素(自变量自变量)与观测值之间有关系与观测值之间有关系2.组组间间平平方方和和(SSA)度度量量了了自自变变量量(行行业业)对对因因变变量量(投投诉次数诉次数)的影响效应的影响效应只只要要组组间间平平方方和和SSA不不等等于于0，就就表表明明两两个个变变量量之间有关系之间有关系(只是是否显著的问题只是是否显著的问题)当当组组间间平平方方和和比比组组内内平平方方和和(SSE)大大，而而且且大大到到一一定定程程度度时时，就就意意味味着着两两个个变变量量之之间间的的关关系系显显著著，大大得得越越多多，表表明明它它们们
28、之之间间的的关关系系就就越越强强。反反之之，就就意意味味着着两两个个变变量量之之间间的的关关系系不不显显著著，小得越多，表明它们之间的关系就越弱小得越多，表明它们之间的关系就越弱399.2.3关系强度的测量关系强度的测量 1.变量间关系的强度用自组间平方和(SSA)及残差平方和(SSE)占总平方和(SST)的比例大小来反映2.自变量平方和占总平方和的比例记为R2,即3.其平方根R就可以用来测量两个变量之间的关系强度 40关系强度的测量(例题分析)R=0.591404 结论：结论：行业(自变量)对投诉次数(因变量)的影响效应占总效应的34.9759%，而残差效应则占65.0241%。即行业对投诉
29、次数差异解释的比例达到近35%，而其他因素(残差变量)所解释的比例近为65%以上 R=0.591404，表明行业与投诉次数之间有中等以上的关系 41本本 章章 小小 结结一、一、9.1 方差分析的引论方差分析的引论何谓方差分析？何谓方差分析？误差来源的分解（总离误差来源的分解（总离差平方和、组间离差平方和、组内离差平方差平方和、组间离差平方和、组内离差平方和）和）方差分析的基本假定方差分析的基本假定p313方差分析的基本思想及原理方差分析的基本思想及原理二、单因素方差分析（分析步骤、检验统计二、单因素方差分析（分析步骤、检验统计量，作决策，看懂量，作决策，看懂p322-323表表)三、关系强度的测定三、关系强度的测定58