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1、第5章数组和广义表 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望5.1 数组的类型定义数组的类型定义5.3 稀疏矩阵的压缩存储稀疏矩阵的压缩存储 5.2 数组的顺序表示和实现数组的顺序表示和实现5.4 广义表的类型定义广义表的类型定义5.5 广义表的表示方法广义表的表示方法5.6 广义表操作的递归函数广义表操作的递归函数5.1 数组的类型定义数组的类型定义ADT Array 数据对象数据对象：Daj1,j2,.,ji,jn|ji=0,.,bi-1,i=1,2,.
2、,n 数据关系数据关系：RR1,R2,.,Rn Ri|0 jk bk-1,1 k n 且k i,0 ji bi-2,i=2,.,n ADT Array 基本操作基本操作:二维数组的定义二维数组的定义:数据对象数据对象:D=aij|0ib1-1,0 jb2-1数据关系数据关系:R=ROW,COL ROW=|0ib1-2,0jb2-1 COL=|0ib1-1,0 jb2-2基本操作基本操作：InitArray(&A,n,bound1,.,boundn)DestroyArray(&A)Value(A,&e,index1,.,indexn)Assign(&A,e,index1,.,indexn)Ini
3、tArray(&A,n,bound1,.,boundn)操作结果：操作结果：若维数 n 和各维长度合法，则构造相应的数组A，并 返回OK。DestroyArray(&A)操作结果：操作结果：销毁数组A。Value(A,&e,index1,.,indexn)初始条件：初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。操作结果：操作结果：若各下标不超界，则e赋值为 所指定的A 的元素值，并返 回OK。Assign(&A,e,index1,.,indexn)初始条件：初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。操作结果：操作结果：若下标不超界，则将e的值赋 给所指定的A的元素，
4、并返回 OK。5.2 数组的顺序表示和实现数组的顺序表示和实现 类型特点类型特点:1)只有引用型操作，没有加工型操作；2)数组是多维的结构，而存储空间是 一个一维的结构。有两种顺序映象的方式有两种顺序映象的方式:1)以行序为主序(低下标优先)；2)以列序为主序(高下标优先)。例如：例如：称为基地址基地址或基址。以以“行序为主序行序为主序”的存储映象的存储映象二维数组A中任一元素ai,j 的存储位置 LOC(i,j)=LOC(0,0)+(b2ij)a0,1a0,0a0,2a1,0a1,1a1,2a0,1a0,0a0,2a1,0a1,1a1,2L L 推广到一般情况，可得到 n 维数组数据元素存储
5、位置的映象关系 称为 n 维数组的映象函数。数组元素数组元素的存储位置是其下标的线性函数。的存储位置是其下标的线性函数。其中 cn=L，ci-1=bi ci,1 i n。LOC(j1,j2,.,jn)=LOC(0,0,.,0)+ci ji i=1n假设 m 行 n 列的矩阵含 t 个非零元素，则称 为稀疏因子稀疏因子。通常认为通常认为 0.05 的矩阵为稀疏矩阵。的矩阵为稀疏矩阵。5.3 稀疏矩阵的压缩存储稀疏矩阵的压缩存储何谓稀疏矩阵？以常规方法，即以二维数组表示高阶的稀疏矩阵时产生的问题问题:1)零值元素占了很大空间零值元素占了很大空间;2)计算中进行了很多和零值的运算，计算中进行了很多和
6、零值的运算，遇除法，还需判别除数是否为零遇除法，还需判别除数是否为零。1)尽可能少存或不存零值元素；解决问题的原则解决问题的原则:2)尽可能减少没有实际意义的运算；3)操作方便。即：能尽可能快地找到与 下标值(i，j)对应的元素，能尽可能快地找到同 一行或同一列的非零值元。1)特殊矩阵特殊矩阵 非零元在矩阵中的分布有一定规则 例如:三角矩阵 对角矩阵2)随机稀疏矩阵随机稀疏矩阵 非零元在矩阵中随机出现有两类稀疏矩阵有两类稀疏矩阵：随机稀疏矩阵的压缩存储方法随机稀疏矩阵的压缩存储方法:一、三元组顺序表一、三元组顺序表二、行逻辑联接的顺序表二、行逻辑联接的顺序表三、三、十字链表十字链表#defin
7、e MAXSIZE 12500 typedef struct int i,j;/该非零元的行下标和列下标 ElemType e;/该非零元的值 Triple;/三元组类型三元组类型一、三元组顺序表一、三元组顺序表typedef union Triple dataMAXSIZE+1;int mu,nu,tu;TSMatrix;/稀疏矩阵类型稀疏矩阵类型如何求转置矩阵？如何求转置矩阵？用常规的二维数组表示时的算法 其时间复杂度为其时间复杂度为:O(munu)for(col=1;col=nu;+col)for(row=1;row=mu;+row)Tcolrow=Mrowcol;用“三元组”表示时如何
8、实现？1 2 141 5 -52 2 -73 1 363 4 282 1 145 1 -52 2 -71 3 364 3 28 首先应该确定每一行的第一个非零元在三元组中的位置。cpot1=1;for(col=2;col=M.nu;+col)cpotcol=cpotcol-1+numcol-1;Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M,TSMatrix&T)T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu)for(col=1;col=M.nu;+col)numcol=0;for(t=1;t=M.tu;+t)+numM.datat.j
9、;cpot1=1;for(col=2;col=M.nu;+col)cpotcol=cpotcol-1+numcol-1;for(p=1;p=M.tu;+p)/if return OK;/FastTransposeSMatrix 转置矩阵元素Col=M.datap.j;q=cpotcol;T.dataq.i=M.datap.j;T.dataq.j=M.datap.i;T.dataq.e=M.datap.e;+cpotcol 分析算法FastTransposeSMatrix的时间复杂度：时间复杂度为时间复杂度为:O(M.nu+M.tu)for(col=1;col=M.nu;+col)for(t=1
10、;t=M.tu;+t)for(col=2;col=M.nu;+col)for(p=1;p=M.tu;+p)三元组顺序表又称有序的双下标有序的双下标法法，它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序便于进行依行顺序处理的矩阵运算处理的矩阵运算。然而，若需随机存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。二、行逻辑联接的顺序表二、行逻辑联接的顺序表#define MAXMN 500 typedef struct Triple dataMAXSIZE+1;int rposMAXMN+1;int mu,nu,tu;RLSMatrix;/行逻辑链接顺序表类型 修改前述的稀疏矩阵的结构定义，
11、增加一个数据成员rpos，其值在稀疏矩阵的初始化函数中确定。例如：给定一组下标，求矩阵的元素值ElemType value(RLSMatrix M,int r,int c)p=M.rposr;while(M.datap.i=r&M.datap.j c)p+;if(M.datap.i=r&M.datap.j=c)return M.datap.e;else return 0;/value矩阵乘法的精典算法矩阵乘法的精典算法:for(i=1;i=m1;+i)for(j=1;j=n2;+j)Qij=0;for(k=1;k=n1;+k)Qij+=Mik*Nkj;其时间复杂度为其时间复杂度为:O(m1n2
12、n1)Q初始化；if Q是非零矩阵 /逐行求积 for(arow=1;arow=M.mu;+arow)/处理M的每一行 ctemp=0;/累加器清零 计算Q中第arow行的积并存入ctemp 中；将ctemp 中非零元压缩存储到Q.data；/for arow /if 两个稀疏矩阵相乘（两个稀疏矩阵相乘（Q M N）的过程可大致描述如下：的过程可大致描述如下：Status MultSMatrix (RLSMatrix M,RLSMatrix N,RLSMatrix&Q)if(M.nu!=N.mu)return ERROR;Q.mu=M.mu;Q.nu=N.nu;Q.tu=0;if(M.tu*N
13、.tu!=0)/Q是非零矩阵 for(arow=1;arow=M.mu;+arow)/处理M的每一行 /for arow /if return OK;/MultSMatrix ctemp=0;/当前行各元素累加器清零 Q.rposarow=Q.tu+1;for(p=M.rposarow;pM.rposarow+1;+p)/对当前行中每一个非零元 brow=M.datap.j;if(brow N.nu)t=N.rposbrow+1;else t=N.tu+1 for(q=N.rposbrow;q t;+q)ccol=N.dataq.j;/乘积元素在Q中列号 ctempccol+=M.datap.
14、e*N.dataq.e;/for q /求得Q中第crow(=arow)行的非零元 for(ccol=1;ccol MAXSIZE)return ERROR;Q.dataQ.tu=arow,ccol,ctempccol;/if处理 的每一行M分析上述算法的时间复杂度分析上述算法的时间复杂度累加器ctemp初始化的时间复杂度为(M.muN.nu)，求Q的所有非零元的时间复杂度为(M.tuN.tu/N.mu)，进行压缩存储的时间复杂度为(M.muN.nu)，总的时间复杂度就是总的时间复杂度就是(M.mu N.nu+M.tu N.tu/N.mu)。若M是m行n列的稀疏矩阵，N是n行p列的稀疏矩阵，则
15、M中非零元的个数 M.tu=Mmn，N中非零元的个数 N.tu=Nnp，相乘算法的时间复杂度就是(mp(1+nMN)，当M0.05 和N0.05及 n 1000时，相乘算法的时间复杂度就相当于(mp)。三、三、十字链表十字链表3 0 0 50-1 0 02 0 0 01 1 31 4 52 2-13 1 2 5.4 广义表的类型定义广义表的类型定义ADT Glist 数据对象数据对象：Dei|i=1,2,.,n;n0;eiAtomSet 或 eiGList,AtomSet为某个数据对象 数据关系：数据关系：LR|ei-1,eiD,2in ADT Glist基本操作基本操作:广义表是递归递归定义
16、的线性结构线性结构，LS=(1,2,n)其中：i 或为原子 或为广义表例如例如:A=()F=(d,(e)D=(a,(b,c),F)C=(A,D,F)B=(a,B)=(a,(a,(a,)广义表是一个多层次多层次的线性结构线性结构例如：例如：D=(E,F)其中:E=(a,(b,c)F=(d,(e)DEFa()d()bce广义表广义表 LS=(1,2,n)的结构特点的结构特点:1)广义表中的数据元素有相对次序次序；2)广义表的长度长度定义为最外层包含元素个数；3)广义表的深度深度定义为所含括弧的重数；注意：“原子”的深度为 0 “空表”的深度为 1 4)广义表可以共享共享；5)广义表可以是一个递归递
17、归的表。递归表的深度是无穷值，长度是有限值。6)任何一个非空广义表非空广义表 LS=(1,2,n)均可分解为 表头表头 Head(LS)=1 和 表尾表尾 Tail(LS)=(2,n)两部分。例如例如:D=(E,F)=(a,(b,c)，F)Head(D)=E Tail(D)=(F)Head(E)=a Tail(E)=(b,c)Head(b,c)=(b,c)Tail(b,c)=()Head(b,c)=b Tail(b,c)=(c)Head(c)=c Tail(c)=()结构的创建和销毁结构的创建和销毁 InitGList(&L);DestroyGList(&L);CreateGList(&L,S
18、);CopyGList(&T,L);基基本本操操作作 状态函数状态函数 GListLength(L);GListDepth(L);GListEmpty(L);GetHead(L);GetTail(L);插入和删除操作插入和删除操作 InsertFirst_GL(&L,e);DeleteFirst_GL(&L,&e);遍历遍历 Traverse_GL(L,Visit();5.5 广义表的表示方法广义表的表示方法通常采用头、尾指针的链表结构表结点表结点:原子结点：原子结点：tag=1 hp tptag=0 data1)表头、表尾分析法：构造存储结构的两种分析方法构造存储结构的两种分析方法:若表头为
19、原子，则为若表头为原子，则为空表空表 ls=NIL非空表非空表 lstag=1 指向表头的指针指向表尾的指针tag=0 data否则，依次类推。否则，依次类推。L=(a,(x,y),(x)a(x,y)()1 LL=()0 a 1 1 1 1 1 0 a ()x2)子表分析法：若子表为原子，则为若子表为原子，则为空表空表 ls=NIL非空表非空表 1 指向子表1 的指针tag=0 data否则，依次类推。否则，依次类推。1 指向子表2 的指针 1 指向子表n 的指针ls 例如例如:a (x,y)(x)LS=(a,(x,y),(x)ls5.6 广义表操作的递归函数广义表操作的递归函数递归函数递归函
20、数 一个含直接或间接调用本函数语句含直接或间接调用本函数语句的函数被称之为递归函数，它必须满足以下两个条件：1)在每一次调用自己时，必须是(在某 种意义上)更接近于解更接近于解;2)必须有一个终止终止处理或计算的准则准则。例如例如:梵塔的递归函数void hanoi(int n,char x,char y,char z)if(n=1)move(x,1,z);else hanoi(n-1,x,z,y);move(x,n,z);hanoi(n-1,y,x,z);二叉树的遍历二叉树的遍历 void PreOrderTraverse(BiTree T,void(Visit)(BiTree P)if(T
21、)Visit(T-data);(PreOrderTraverse(T-lchild,Visit);(PreOrderTraverse(T-rchild,Visit);/PreOrderTraverse一、分治法一、分治法(Divide and Conquer)(又称分割求解法又称分割求解法)如何设计递归函数如何设计递归函数？二、后置递归法二、后置递归法(Postponing the work)三、回溯法三、回溯法(Backtracking)对于一个输入规模为 n 的函数或问题，用某种方法把输入分割成 k(1ptr.tp)dep=GlistDepth(pp-ptr.hp);if(dep max)
22、max=dep;return max+1;/GlistDepthif(!L)return 1;if(L-tag=ATOM)return 0;1 1 1 L for(max=0,pp=L;pp;pp=pp-ptr.tp)dep=GlistDepth(pp-ptr.hp);if(dep max)max=dep;例如例如:pppp-ptr.hppppppp-ptr.hppp-ptr.hp例二例二 复制广义表复制广义表新的广义表由新的表头和表尾构成。新的广义表由新的表头和表尾构成。可以直接求解的两种简单情况为：空表复制求得的新表自然也是空表空表复制求得的新表自然也是空表;原子结点可以直接复制求得。原子
23、结点可以直接复制求得。将广义表分解成表头和表尾两部分，分别(递归)复制求得新的表头和表尾，若若 ls=NIL 则则 newls=NIL否则否则 构造结点构造结点 newls,由由 表头表头ls-ptr.hp 复制得复制得 newhp 由由 表尾表尾 ls-ptr.tp 复制得复制得 newtp 并使并使 newls-ptr.hp=newhp,newls-ptr.tp=newtp复制求广义表的算法描述如下复制求广义表的算法描述如下:Status CopyGList(Glist&T,Glist L)if(!L)T=NULL;/复制空表 else if(!(T=(Glist)malloc(sizeo
24、f(GLNode)exit(OVERFLOW);/建表结点 T-tag=L-tag;if(L-tag=ATOM)T-atom=L-atom;/复制单原子结点 else /else return OK;/CopyGList分别复制表头和表尾分别复制表头和表尾CopyGList(T-ptr.hp,L-ptr.hp);/复制求得表头T-ptr.hp的一个副本L-ptr.hpCopyGList(T-ptr.tp,L-ptr.tp);/复制求得表尾T-ptr.tp 的一个副本L-ptr.tp语句语句 CopyGList(T-ptr.hp,L-ptr.hp);等价于等价于 CopyGList(newhp,
25、L-ptr.tp);T-ptr.hp=newhp;例三例三 创建广义表的存储结构创建广义表的存储结构 对应广义表的不同不同定义方法相应地有不同不同的创建存储结构的算法。假设以字符串 S=(1,2,n)的形式定义广义表 L，建立相应的存储结构。由于S中的每个子串 i定义 L 的一个子表子表，从而产生 n 个子问题，即分别由这 n个子串(递归递归)建立 n 个子表，再组合组合成一个广义表。可以直接求解的两种简单情况为：由串由串()建立的广义表是建立的广义表是空表；空表；由单字符建立的子表只是一个原子结点。由单字符建立的子表只是一个原子结点。如何由子表组合成一个广义表？如何由子表组合成一个广义表？首
26、先分析广义表和子表在存储结构中首先分析广义表和子表在存储结构中的关系。的关系。先看第一个子表和广义表的关系先看第一个子表和广义表的关系:1 L指向广义表指向广义表的头指针的头指针指向第一个指向第一个子表的头指针子表的头指针再看相邻两个子表之间的关系再看相邻两个子表之间的关系:1 1 指向第指向第i+1个个子表的头指针子表的头指针指向第指向第i个个子表的头指针子表的头指针可见，两者之间通过表结点相链接。可见，两者之间通过表结点相链接。若若 S=()则则 L=NIL；否则，构造第一个表结点*L，并从串S中分解出第一个子串1，对应创建第一个子广义表 L-ptr.hp；若剩余串非空，则构造第二个表结点
27、 L-ptr.tp，并从串S中分解出第二个子串 2，对应创建第二个子广义表；依次类推，直至剩余串为空串止。void CreateGList(Glist&L,String S)if (空串)L=NULL;/创建空表 else L=(Glist)malloc(sizeof(GLNode);L-tag=List;p=L;sub=SubString(S,2,StrLength(S)-1);/脱去串S的外层括弧 /else 由由sub中所含中所含n个子串建立个子串建立n个子表个子表;do sever(sub,hsub);/分离出子表串hsub=i if(!StrEmpty(sub)p-ptr.tp=(G
28、list)malloc(sizeof(GLNode);/建下一个子表的表结点*(p-ptr.tp)p=p-ptr.tp;while(!StrEmpty(sub);p-ptr.tp=NULL;/表尾为空表创建由串创建由串hsub定义的广义表定义的广义表p-ptr.hp;if(StrLength(hsub)=1)p-ptr.hp=(GList)malloc(sizeof(GLNode);p-ptr.hp-tag=ATOM;p-ptr.hp-atom=hsub;/创建单原子结点else CreateGList(p-ptr.hp,hsub);/递归建广义表 后置递归的设计思想为后置递归的设计思想为:递
29、归的终结状态终结状态是，当前的问题可以直接求解直接求解，对原问题而言，则是已走到了求解的最后一步最后一步。链表是可以如此求解的一个典型例子。例如：编写“删除单链表中所有值为删除单链表中所有值为x x 的数据元素的数据元素”的算法。1)单链表是一种顺序结构，必须从第一个结点起，逐个检查每个结点的数据元素；分析分析:2)从另一角度看，链表又是一个递归结构，若 L 是线性链表(a1,a2,an)的头指针，则 L-next是线性链表 (a2,an)的头指针。a1 a2 a3 an L例如例如:a1 a2 a3 an L a1 a2 a3 an L已知下列链表1)“a1=x”，则 L 仍为删除 x 后的
30、链表头指针2)“a1x”，则余下问题是考虑以 L-next 为头指针的链表 a1 L-nextL-next=p-nextp=L-nextvoid delete(LinkList&L,ElemType x)/删除以L为头指针的带头结点的单链表中/所有值为x的数据元素 if(L-next)if(L-next-data=x)p=L-next;L-next=p-next;free(p);delete(L,x);else delete(L-next,x);/delete删除广义表中所有元素为删除广义表中所有元素为x x的原子结点的原子结点分析分析:比较广义表和线性表的结构特点结构特点：相似处：相似处：都
31、是链表结构。不同处：不同处：1)广义表的数据元素可能还是个 广义表；2)删除时，不仅要删除原子结点，还需要删除相应的表结点。void Delete_GL(Glist&L,AtomType x)/删除广义表L中所有值为x的原子结点 if(L)head=L-ptr.hp;/考察第一个子表 if(head-tag=Atom)&(head-atom=x)/删除原子项 x的情况 else /第一项没有被删除的情况 /Delete_GL p=L;L=L-ptr.tp;/修改指针free(head);/释放原子结点free(p);/释放表结点Delete_GL(L,x);/递归处理剩余表项 1 L0 x 1
32、 pL headif(head-tag=LIST)/该项为广义表 Delete_GL(head,x);Delete_GL(L-ptr.tp,x);/递归处理剩余表项 1 L0 a 1 1 headL-ptr.tp回溯法回溯法是一种“穷举”方法。其基本思想为：假设问题的解为 n 元组(x1,x2,xn)，其中 xi 取值于集合 Si。n 元组的子组(x1,x2,xi)(in)的一个合法布局 /时，输出之。if(in)输出棋盘的当前布局;else for(j=1;jn)else while(!Empty(Si)从 Si 中取 xi 的一个值 viSi;if (x1,x2,xi)满足约束条件 B(i
33、+1,n);/继续求下一个部分解 从 Si 中删除值 vi;/B综合几点：综合几点：1.对于含有递归特性含有递归特性的问题，最好设计递归形式的算法。但也不要单纯追求形不要单纯追求形式式，应在算法设计的分析过程中“就事论事”。例如，在利用分割求解设计算法时，子问题和原问题的性质相同；或者，问题的当前一步解决之后，余下的问题和原问题性质相同，则自然导致递归求解。2.实现实现递归函数，目前必须利用“栈栈”。一个递归函数必定能改写为利用栈实现的非递归函数；反之，一个用栈实现的非递归函数可以改写为递归函数。需要注意的是递归函数递归层次的深度决定所需存储量的大小。3.分析分析递归算法的工具是递归树递归树，
34、从递归树上可以得到递归函数的各种相关信息。例如：递归树的深度即为递归函数的递归深度递归深度；递归树上的结点数目恰为函数中的主要操作重复进行重复进行的次数的次数；若递归树蜕化为单支树单支树或者递归树中含有很多相同的结点含有很多相同的结点，则表明该递归函数不适用。例如例如:n=3的梵塔算法中主要操作的梵塔算法中主要操作move的的执行次数可以利用下列递归树进行分析执行次数可以利用下列递归树进行分析:move(3,a,b,c)move(2,a,c,b)move(2,b,a,c)move(1,a,b,c)move(1,c,a,b)move(1,b,c,a)move(1,a,b,c)上图递归树的中序序列
35、即为圆盘的移动操作序列。上图递归树的中序序列即为圆盘的移动操作序列。又如又如:求求n!的递归函数的递归树已退化为一个的递归函数的递归树已退化为一个单枝树单枝树;而计算斐波那契递归函数的递归树中而计算斐波那契递归函数的递归树中有很多重复出现的结点。有很多重复出现的结点。nn-110。F5F4F3F3F2F2F1F1F0F1F0。4.递归函数中的尾递归尾递归容易消除。例如：先序遍历二叉树可以改写为：void PreOrderTraverse(BiTree T)While(T)Visit(T-data);PreOrderTraverse(T-lchild);T=T-rchild;/PreOrderT
36、raversevoid delete(LinkList&L,ElemType x)/L为无头结点的单链表的头指针 if(L)if(L-data=x)p=L;L=L-next;free(p);delete(L,x);else delete(L-next,x);又如又如:void delete(LinkList&L,ElemType x)/L为带头结点的单链表的头指针 p=L-next;pre=L;while(p)if(p-data=x)pre-next=p-next;free(p);p=pre-next;else pre=p;p=p-next;可可改改写写为为 5.可以用递归方程递归方程来表述递
37、归函数的 时间性能时间性能。例如:假设解n个圆盘的梵塔的执行 时间为T(n)则递归方程为：T(n)=2T(n-1)+C，初始条件为：T(0)=01.1.了了解解数数组组的的两两种种存存储储表表示示方方法法，并并掌掌握握数数组组在在以以行行为为主主的的存存储储结结构构中中的地址计算方法。的地址计算方法。2.2.掌掌握握对对特特殊殊矩矩阵阵进进行行压压缩缩存存储储时时的下标变换公式。的下标变换公式。3.3.了了解解稀稀疏疏矩矩阵阵的的两两类类压压缩缩存存储储方方法法的的特特点点和和适适用用范范围围，领领会会以以三三元元组组表表示示稀稀疏疏矩矩阵阵时时进进行行矩矩阵阵运运算算采采用用的的处理方法处理方法。4.4.掌握广义表的结构特点及其存储掌握广义表的结构特点及其存储表示方法，读者可根据自己的习惯表示方法，读者可根据自己的习惯熟练掌握任意一种结构的链表，学熟练掌握任意一种结构的链表，学会对非空广义表进行分解的两种分会对非空广义表进行分解的两种分析方法：即可将一个非空广义表分析方法：即可将一个非空广义表分解为表头和表尾两部分或者分解为解为表头和表尾两部分或者分解为n n个子表。个子表。5.5.学习利用分治法的算法设计思学习利用分治法的算法设计思想编制递归算法的方法。想编制递归算法的方法。