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1、第第3章章 网孔分析法和节点分析法网孔分析法和节点分析法l重点重点 熟练掌握电路方程的列写方法和计算熟练掌握电路方程的列写方法和计算 网孔分析法网孔分析法 节点分析法节点分析法 第一第一章介绍的章介绍的2b法法，支路电流法支路电流法和和支路电压法支路电压法可以可以解决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解的解的方程数目太多方程数目太多，给，给“笔笔”算求解带来困难。算求解带来困难。在在第二第二章讨论了利用章讨论了利用网络等效网络等效进行电阻电路分析，进行电阻电路分析，不用不用求解联立方程，就可以求得电路中的某些电压电流。求解联立方程，就可
2、以求得电路中的某些电压电流。本章介绍利用本章介绍利用独立电流或独立电压独立电流或独立电压作变量来建立电作变量来建立电路方程的分析方法，可以进一步减少联立求解方程的数路方程的分析方法，可以进一步减少联立求解方程的数目，适合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是目，适合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是“笔笔”算求解线性电阻电路最常用的分析方法。算求解线性电阻电路最常用的分析方法。引言引言 如用支路电流法分析电路，独立方程数为支路个数，电如用支路电流法分析电路，独立方程数为支路个数，电路方程数较多。路方程数较多。电路的网孔数必定小于支路个数，应用电路的网孔数必定小于支路个数，应用网网孔孔分析分析法
3、法可以减少电路方程数。可以减少电路方程数。设想在每个网孔内存在一设想在每个网孔内存在一假假想想的电流沿着构成该网孔的各支的电流沿着构成该网孔的各支路循环流动，称此假想的电流为路循环流动，称此假想的电流为网孔电流网孔电流。图示电路中图示电路中ia、ib、ic为为网孔网孔电流。它是一组能确定全部支路电流。它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。电流的独立电流变量。3.1 网孔电流法网孔电流法 (mesh current method)iaibic1.网孔电流网孔电流_+_+_i i1 1i i3 3i i6 6 i i2 2i i4 4i i5 52.网孔电流具有以下令人感兴趣的特点网孔电流具有
4、以下令人感兴趣的特点l完备性完备性可可以以求求出出所所有有支支路路电电流流，或或者者说说所所有有支支路路电电流流是网孔电流的线性组合。是网孔电流的线性组合。支路电流支路电流l独立性独立性 网孔电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流网孔电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，自动满足进一次，流出一次，自动满足KCL。以网孔电流为未知量。以网孔电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。方程。i1=iai2=ibi3=ici4=ia-ici5=ib-ici6=ia-ibiaibic_+_+_i i1 1i i3 3i
5、i6 6 i i2 2i i4 4i i5 5 i2R2 uS2i6R6i5R5=0uS1i1R1i5R5uS4i4R4=0i6R6uS3i3R3i4R4uS4=0网孔网孔网孔网孔网孔网孔支路电流方程：支路电流方程：列写列写列写列写KVLKVL方程：方程：方程：方程：把支路电流方程代入把支路电流方程代入KVL方程方程网孔方程网孔方程i ic ci ib bi ia a+_us1+_us2+_us4+_us3R R6 6R R2 2R R1 1R R5 5R R4 4R R3 3i i1 1i i2 2i i3 3i i6 6i i5 5i i4 43.列写网孔方程列写网孔方程i1=iai2=i
6、bi3=ici4=ia-ici5=ia-ibi6=ic-ib选取网孔电流参考方向选取网孔电流参考方向(R1+R4+R5)iaR5 ibR4 ic=uS1uS4R4 iaR6 ib+(R3+R4+R6)ic=uS3+uS4R5 ia+(R2+R5+R6)ibR6 ic=uS2整理可得：整理可得：将网孔方程写成一般形式：将网孔方程写成一般形式：R11 ia+R12 ib+R13 ic=uS11R21 ia+R22 ib+R23 ic=uS22R31 ia+R32 ib+R33 ic=uS33+_us1+_us2+_us4+_us3R R6 6R R2 2R R1 1R R5 5R R4 4R R3
7、 3i i1 1i i2 2i i3 3i ic ci ib bi ia a RKK称为网孔称为网孔K的的自电阻自电阻，它们分别是各网孔内全，它们分别是各网孔内全部电阻的总和，部电阻的总和，恒为恒为正号正号。例如例如 R11=R1+R4+R5 ,R22=R2+R5+R6 ,R33=R3+R4+R6 。网孔方程的网孔方程的矩阵形式：矩阵形式：其中：其中：+_us1+_us2+_us4+_us3R R6 6R R2 2R R1 1R R5 5R R4 4R R3 3i i1 1i i2 2i i3 3i ic ci ib bi ia a Rkj(k j)称为网孔称为网孔k与网孔与网孔 j 的的互电
8、阻互电阻，它们是两网，它们是两网孔公共电阻。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取孔公共电阻。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号。正号，当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号。例：例：R12=R21=R5;R13=R31=R4 ;R23=R32=R6 。不含受控源的线性网络不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为系数矩阵为对称矩阵对称矩阵。+_us1+_us2+_us4+_us3R R6 6R R2 2R R1 1R R5 5R R4 4R R3 3i i1 1i i2 2i i3 3i ic ci ib bi ia a uSkk
9、为为K网孔中全部电压源网孔中全部电压源电压升的代数和电压升的代数和。网孔电流从。网孔电流从电压源电压源正端流出正端流出取正号；反之则取负取正号；反之则取负号。号。例如例如:uS11=uS1 uS4,uS22=uS2 ,uS33=uS4+uS3。网孔方程的网孔方程的矩阵系数定义后，只需用矩阵系数定义后，只需用观察法观察法根据电路的连根据电路的连接形式直接列写方程。一般情况接形式直接列写方程。一般情况方程的方程的矩阵形式只适用于电矩阵形式只适用于电路中只含有独立电压源和线性电阻的平面电路。路中只含有独立电压源和线性电阻的平面电路。+_us1+_us2+_us4+_us3R R6 6R R2 2R
10、R1 1R R5 5R R4 4R R3 3i i1 1i i2 2i i3 3i ic ci ib bi ia a规则：规则：其中其中:（1）Rij:i=j 时，（对角线元素）自电阻，即时，（对角线元素）自电阻，即i 网孔网孔内所有电阻之和；内所有电阻之和；（2）Rij:ij 时，（非对角线元素）互电阻，即时，（非对角线元素）互电阻，即i网网孔与孔与j 网孔共有电阻之和；（网孔共有电阻之和；（两网孔电流方向一致时两网孔电流方向一致时取取“+”，方向不一致时取，方向不一致时取“-”）（3）uskk，k 网孔内所有电压源之代数和，电压升取网孔内所有电压源之代数和，电压升取“+”，电压降取，电压降
11、取“-”；（1）给网孔电流选取给网孔电流选取参考方向（刚开始都参考方向（刚开始都用顺时针或逆时针，用顺时针或逆时针，标出方向）标出方向）例例.已知已知R1=5 ;R2=10 ;R3=20 ，求各支路电流。求各支路电流。i ib bi ia a+_R R2 2R R1 1R R3 320V20V+_10V10Vi i1 1i i2 2R11R1R325 R12R21-20 R22R2R330 US1120VUS22-10V(2)求矩阵元求矩阵元(3)列方程列方程(4)计算计算i i1 1=ia a =1.143A 1.143A i i2 2=ib b =0.429A 0.429A i i3 3=
12、i ia a i ib b =0.714A=0.714A+_R R2 2R R1 1R R3 3i ib bi ia a20V20V+_10V10Vi i1 1i i2 2i i3 3作业作业3.1求各元件电流、电压和功率（要求用网孔分析法）求各元件电流、电压和功率（要求用网孔分析法）+_+_36610V4V+_2V作业作业3.2列写网孔方程列写网孔方程+_+_42243V4V+_2V+_2V621、边沿的电流源、边沿的电流源+_42368V2Ai1i2i3网孔电流等于支路电网孔电流等于支路电流等于电流源电流流等于电流源电流二二.含独立电流源的网孔方程含独立电流源的网孔方程2、等效变换、等效变
13、换i1i2i3i4i1i2+_224412V2A+_4V+_6V2i2+_ui1i3 增加一个电压变增加一个电压变量量u（把电流源看把电流源看做电压源，做电压源，列写列写方程），网孔方程），网孔1和和网孔网孔2互电阻为互电阻为0补充方程补充方程3、中间的电流源、中间的电流源 网孔方程是描述网孔的网孔方程是描述网孔的KVL方程，当两个网孔共有方程，当两个网孔共有一个电流源（独立源或受控源）时就产生超级网孔。一个电流源（独立源或受控源）时就产生超级网孔。4、超级网孔法、超级网孔法+_224412V2A+_4V+_6V2网孔网孔1和网孔和网孔2看看成一个网孔，即成一个网孔，即超级网孔超级网孔i2i1
14、i3超级网孔超级网孔KVL 方程方程补充方程补充方程2 1 1 1 2+_10V5A+_u05、改变电路结构改变电路结构使电流源位于外边沿支路。使电流源位于外边沿支路。2 1 1 1 2+_10V5A+_u0i1i2i3作业作业3.3列写网孔方程，并求出列写网孔方程，并求出u0+_+_4356V2V2A24423A21A+_u0作业作业3.4列写网孔方程列写网孔方程三三.含受控电源的网孔方程含受控电源的网孔方程 对含有受控电源支路的电路，（对含有受控电源支路的电路，（1）把受控源看作独立）把受控源看作独立电源；（电源；（2）将控制变量用网孔电流表示）将控制变量用网孔电流表示;（3）列方程求解）
15、列方程求解i22ix+_2434V+_ixi1补充方程补充方程+_+_51048V+_4ib2ia0.2uaibiaua（1）把受控源看作独立电源把受控源看作独立电源补充方程补充方程i1i2i3（2）将控制变量用将控制变量用网孔电流表示网孔电流表示练习练习+_+_51048V+_4ib2ia0.2uaibiaua+_作业作业3.522424ix1Aix+_3.2 节点（结点）电压法节点（结点）电压法 (node voltage method)在网孔分析法中我们运用个网孔独立电流变量在网孔分析法中我们运用个网孔独立电流变量建立电路方程，同样也可以用独立电压变量来建立建立电路方程，同样也可以用独立
16、电压变量来建立电路方程。电路方程。b条支路、条支路、n个结点的电路个结点的电路,（n-1）个独个独立立KCL和（和（b-n+1）独立回路（网孔）独立回路（网孔）KVL。对于对于具有具有n个结点的个结点的连通连通电路来说，它的电路来说，它的(n-1)个结点对个结点对第第n个结点的电压，就是一组独立电压变量。用这些个结点的电压，就是一组独立电压变量。用这些结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。这样，只需求解这样，只需求解(n-1)个结点方程，就可得到全部结个结点方程，就可得到全部结点电压，然后根据点电压，然后根据KVL方程可求出各支路电压，根方程可
17、求出各支路电压，根据据VCR方程可求得各支路电流。方程可求得各支路电流。一一.结点电压结点电压1、参考结点、参考结点 又称参考点，任意选取的又称参考点，任意选取的一个结点作为电位参考点或零一个结点作为电位参考点或零电位点，用接地符号表示。电位点，用接地符号表示。2、结点电压、结点电压 选取零电位点后，选取零电位点后，u10，u20，u30，称为结点电压，称为结点电压，记为记为u1，u2，u3。二二.结点电压的特点结点电压的特点l完备性完备性可以求出所有支路电压；可以求出所有支路电压；l独立性独立性结点电压相互独立，不能互求。结点电压相互独立，不能互求。1320i1+i4=iS1i1i2i3=0
18、 i3i4=iS2KCL：G4(u1u3)=i4 G1(u1u2)=i1 G2u2=i2 G3(u2 u3)i3G4u1G3u2+(G3+G4)u3=iS2(G1G4)u1G1u2G4u3=iS1G1u1+(G1+G2G3)u2G3u3=0把把VCR代入代入KCL得得：VCR:VCR:is2is1G1G2G3G4i4i3i1i2123三三.列写结点方程列写结点方程用结点电压列写用结点电压列写KCL方程方程 G4u1 G3u2+(G3+G4)u3=iS2(G1+G4)u1 G1u2 G4u3=iS1 G1u1+(G1+G2G3)u2 G3u3=0G31u1+G32u2+G33u3=iS33G11
19、u1+G12u3+G13u3=iS11G21u1+G22u2+G23u3=iS22节点电压方程标准形式：节点电压方程标准形式：节点电压方程标准形式：节点电压方程标准形式：is2is1G1G2G3G4i4i3i1i2123其中：其中：GKK 自自电电导导，等等于于接接在在节节点点K上上所所有有支支路路的的电电导导之之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。自电导总为正。自电导总为正。iSKK 流流入入节节点点K的的所所有有电电流流源源电电流流的的代代数数和和(包包括由括由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。GKj(=Gjk)互互电电导导，等等于于
20、接接在在节节点点K与与节节点点 j 之间所之间所有有支路的电导之和，支路的电导之和，恒为恒为负负值值。is2is1G1G2G3G4i4i3i1i2123例例.1A224-2A12（1）选参考点，）选参考点，结点编号结点编号（2）列写方程）列写方程1A2424A2A124作业作业3.6列写结点方程（不需求解）列写结点方程（不需求解）四四.含电压源的结点分析法含电压源的结点分析法2V2436V+_+_261A2431V261、电压源与电流源电路的等效变换、电压源与电流源电路的等效变换2V2436V+_+_26211A1421A+_+_42244V2V1322、电压源设为节点电压、电压源设为节点电压
21、结点结点2方程方程+_24422A1A2V1323、超级结点法、超级结点法超级节点超级节点超级结点超级结点KCL方程方程补充方程补充方程结点结点3当电压源（独立源或受当电压源（独立源或受控源）接在两个非参考控源）接在两个非参考节点之间，则这两个非节点之间，则这两个非参考节点形成一个广义参考节点形成一个广义节点或超节点，此时可节点或超节点，此时可用用KCL和和KVL确定节点确定节点电压。电压。132+_24422A1A2V4、增加电流变量、增加电流变量i节点节点1补充方程补充方程结点结点3节点节点2132+_24422A1A2V5、参考节点的选择、参考节点的选择节点节点1结点结点3节点节点21A
22、2242i0i0四四.含受控源的结点分析法含受控源的结点分析法 对对含含有有受受控控电电源源支支路路的的电电路路，（1）把把受受控控源源看看作作独独立立电电源源；（2）将将控控制制变变量量用用结结点点电电压压来来表表示示；（3）列列方方程程，求解。求解。例例12补充方程补充方程13242+_8241Aib2ua+_ua+_ub+_8ib4作业作业3.7提示提示：（1）受控源看作独立源；）受控源看作独立源；（2）结点）结点3、4构成超级结点构成超级结点只需列写方程，不需求解只需列写方程，不需求解3.3 回路分析法和割集分析法回路分析法和割集分析法1.树的概念树的概念（tree）（1）电路的拓扑图
23、）电路的拓扑图不考虑元件性质，仅用点和直线段表示电路结构的图。不考虑元件性质，仅用点和直线段表示电路结构的图。（2）有向图）有向图用箭头表示支路电流、支路电压参考方向的图。用箭头表示支路电流、支路电压参考方向的图。（3）连通图）连通图 如果在图的任意两点之间至少存在一条由支路构成如果在图的任意两点之间至少存在一条由支路构成的路径，则这样的图称为的路径，则这样的图称为连通图连通图。+_us1R2R5L3L4非连通图非连通图（4）子图）子图 如果在图如果在图G1中每个结点和支路都是另一图中每个结点和支路都是另一图G中的结点中的结点和支路，则称图和支路，则称图G1为为G的的子图子图。图图G图图G1图
24、图G1（5）树）树T是连通图是连通图G的一个子图，必须满足下列条件：的一个子图，必须满足下列条件：连通连通包含所有节点包含所有节点不含闭合路径不含闭合路径不是树不是树（1）在电路图中，当选定一棵树时，所有支路分为两类：在电路图中，当选定一棵树时，所有支路分为两类：其一，树支：构成树的支路；其一，树支：构成树的支路；其二，连支：除去树支以外的支路。其二，连支：除去树支以外的支路。结论结论（2）若电路的节点数为若电路的节点数为n，尽管树的形式很多，树支为（，尽管树的形式很多，树支为（n-1）（3）如果一个图有如果一个图有n个结点，则该图共有个结点，则该图共有n（n-2）种树种树2.回路回路（1）回
25、路）回路（2）基本回路）基本回路仅含有一个连支，其余均为树支的回路仅含有一个连支，其余均为树支的回路1234567981367843678 构成闭合通路的支路集合，构成闭合通路的支路集合，或由支路构成的闭合路径或由支路构成的闭合路径 1、3、6、7 2、3、6、8 4、6、7 5、6、8 7、9（2）基本回路的数目是一定的，为连支数基本回路的数目是一定的，为连支数 b-(n-1)特点特点（1）对应一个图有很多的回路对应一个图有很多的回路（3）对于平面电路，网孔数为基本回路数对于平面电路，网孔数为基本回路数Q是连通图是连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：(1)把把Q中
26、全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。(2)任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连通图。876543219876543219割集：割集：（1 9 6）（）（2 8 9）（）（3 6 8）（）（4 6 7）（）（5 7 8）（3 6 5 8 7）（）（3 6 2 8）是割集吗？是割集吗？只含有一个树枝的割集。基本割集数只含有一个树枝的割集。基本割集数n-13.割集割集(Cut set)（1）割集）割集（2）基本割集）基本割集+_+_33612V3A2Au0例例123456136电压源选作树支电压源选作树支电流源选作连支电流源选作连支选选
27、1、3、6为树支为树支则则2、4、5为连支为连支134选选1、3、4为树支为树支则则2、5、6为连支为连支5i54i42i2136则其基本回路为则其基本回路为136136+_+_33612V3A2Au0136+_+_33612V3A2Au0134i2134i51346134i6i5i2i4i31A4 2 2 2 i1+_2 30V3A4+_+_+_+_7V1 2 3 2 1 7Aux2 1 1 1 2+_10V5A+_u03A4+_us2+_+_+_i i1 1i i3 3i i6 6i1i2i3 i i2 2i i4 4i i5 5is2is1G1G2G3G4i4i3i1i2123i4 i1 i3i5 i2 i3i6 i1 i2+_+_+_i i1 1i i3 3i i6 6i1i2i3 i i2 2i i4 4i i5 5i5i2i4i31A4 2 2 2 i1+_2 30V3A4+_us2+_us1+_us2+_us4+_us3R R6 6R R2 2R R1 1R R5 5R R4 4R R3 3i i1 1i i2 2i i3 3i i6 6i i5 5i i4 4is1G1G2G3G4i1i5i2i4i31A4 2 2 2 i1+_2 30V