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1、非线性问题第一页，本课件共有61页非线性问题及分类非线性问题及分类在分析线性弹性问题时，假定：应力应变线性关系结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）加载时边界条件的性质不变 如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题。非线性结构的基本特征：变化的结构刚度第二页，本课件共有61页非线性问题可以分为三类：材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变关系的非线性引起。如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化。如板壳的大挠度问题平衡方程必须建立于变形后的状态接触非线性：接触状态的变化所引起。如金属成形、跌落试验、多零件装配体等第三页，本课件共有61页碰
2、到障碍物的悬臂梁（碰到障碍物的悬臂梁（端部端部碰到障碍物时，梁端部的碰到障碍物时，梁端部的边界条件发生了突然变化，边界条件发生了突然变化，阻止了进一步的竖向挠度。阻止了进一步的竖向挠度。）板料的冲压成形接触非线性例子接触非线性例子第四页，本课件共有61页随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。1969年，第一个商业非线性有限元程序Marc诞生。目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析求解能力。非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优劣的标准。第五页，本课件共有61页非线性问题
3、的有限元求解方法非线性问题的有限元求解方法非线性方程(组)的求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中应力和变形的演变历史。）每个增量步采用Newton-Raphson迭代法非线性问题有限元控制方程：第六页，本课件共有61页非线性方程的迭代求解方法非线性方程的迭代求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代第七页，本课件共有61页非线性方程组的迭代求解方法非线性方程组的迭代求解方法第八页，本课件共有61页直接迭代法N-R迭代修正的N-R迭代第九页，本课件共有61页非线性问题的增量
4、法求解过程非线性问题的增量法求解过程(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加第十页，本课件共有61页(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段第十一页，本课件共有61页(2)(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛在每一载荷段中进行迭代，直至收敛N-R迭代:第十二页，本课件共有61页(3)(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加所有载荷段循环，并将结果进行累加第十三页，本课件共有61页6.3材料非线性材料非线性问题及分类材料非线性问题及分类非线性弹性材料行为非线性弹性材料行为弹塑性材料行为弹塑性材料行为第十四页，本课件共有61页材料
5、非线性问题及分类材料非线性问题及分类概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的非线性。分类：不依赖时间的弹、塑性问题非线性弹性橡胶弹塑性冲压成形依赖于时间的粘（弹、塑）性问题蠕变载荷不变，变形随时间继续变化松弛变形不变，应力随时间衰减第十五页，本课件共有61页非线性弹性材料行为非线性弹性材料行为橡胶应力应变关系曲线第十六页，本课件共有61页弹塑性材料进入塑性的特征：载荷卸去后存在不可恢复的永久变形。应力应变之间不是单值对应关系，与加载历史有关。第十七页，本课件共有61页单轴应力状态下弹塑性材料行为单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为可以从拉伸试验中获得。第十八页，本课件共有61页第十九页，本
6、课件共有61页单调加载单调加载硬化塑性理想弹塑性第二十页，本课件共有61页各向同性硬化:运动硬化:混合硬化:反向加载反向加载运动硬化各向同性硬化混合硬化第二十一页，本课件共有61页 在简单拉伸的情况下在简单拉伸的情况下，当材料发生塑性变形后卸载，此后再，当材料发生塑性变形后卸载，此后再重新加载，则应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达重新加载，则应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才再次屈服再次屈服（后继屈服后继屈服）。）。这个最高应力点的应力就是材料在经历了塑性变形后的新这个最高应力点的应力就是材料在经历了塑
7、性变形后的新的屈服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应力大。的屈服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应力大。第二十二页，本课件共有61页为了与初始屈服应力相区别，我们称之为为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力后继屈服应力。与初始屈服应力不同，与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史于塑性变形的大小和历史。后继屈服应力是在简单拉伸下，材料后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。第二十三页，本
8、课件共有61页 和简单应力状态相似，材料和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下在复杂应力状态下同样同样存在存在初始屈服和后继屈服的问题初始屈服和后继屈服的问题。材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性变材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹性状后继弹性状态态）。）。第二十四页，本课件共有61页 把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的准则就称为准则就称为后继屈服条件后继屈服条件，又称为，又称为加载条件加载条件。问题问题:当材料处于后继弹性状
9、态而继续加载时，应力（或变形）发当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变形）发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？展到什么程度材料再一次开始屈服呢？第二十五页，本课件共有61页一般应力状态下弹塑性材料行为一般应力状态下弹塑性材料行为屈服准则（初始屈服条件）硬化法则 （后继屈服函数、加载函数、加载曲面）流动法则加载、卸载准则第二十六页，本课件共有61页屈服准则（初始屈服条件）屈服准则（初始屈服条件）在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料开始产在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料开始产生塑性变形。生塑性变形。对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决定时，对于一般复
10、杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断材料是否进显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量为坐标的应力空入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量为坐标的应力空间，根据代表不同应力路径的实验结果，可以定出从弹性阶间，根据代表不同应力路径的实验结果，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中，段进入塑性阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中，这些屈服应力点形成一个这些屈服应力点形成一个区分弹性和塑性的分界面区分弹性和塑性的分界面屈服屈服面。面。描述这个屈服面的数学表达式就是我
11、们所要寻求的一般描述这个屈服面的数学表达式就是我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准则。应力状态下的屈服准则。第二十七页，本课件共有61页常用的各向同性Von-Mises屈服准则：u各向同性屈服准则：各个方向屈服应力相同u各向异性屈服准则：不同方向屈服应力有差异第二十八页，本课件共有61页三维主应力空间平面上的屈服轨迹3=0平面上的屈服轨迹第二十九页，本课件共有61页硬化法则硬化法则塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈服塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲面）函数（又称加载函数或加载曲面）各向同性硬化各向同性硬化运动硬化运动硬化混合硬化混合硬化第三十页
12、，本课件共有61页运动硬化：该模型假设材料随塑性变形发展时，屈服面的大小和形状不变，仅是整体在应力空间作平动。各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外扩张，其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。材料的强化只与总的塑性变形功有关而与加载路径无关。应力有反复变化时，等向强化模型与实验结果不相符合。第三十一页，本课件共有61页混合硬化：其实质就是将随动强化模型和等向强化模型结合起来，即认为后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化。该模型能够更好的反映材料的Bauschinger效应。各向同性硬化运动硬化第三十二页，本课件共有61页流动法则塑性应变增量和应力分量
13、的关系：塑性应变沿后继屈服面F=0的法线方向是一正的待定系数，其具体数值和 材料硬化准则有关第三十三页，本课件共有61页加载、卸载准则加载、卸载准则对于硬化材料（当材料处于某一塑性状态）：第三十四页，本课件共有61页几何非线性几何非线性几何非线性问题及分类几何非线性力学理论基础变形体运动的描述应变的度量方法应力的度量方法几何非线性问题的表达格式第三十五页，本课件共有61页几何非线性问题及分类概念：由于大位移、大转动而引起的非线性。分类：大位移、大转动、小应变问题 板壳的大挠度和后屈曲大位移、大转动、大应变问题 薄板成形、弹性材料的受力第三十六页，本课件共有61页比较：线弹性比较：线弹性 几何非
14、线性几何非线性线弹性：线弹性：小变形假设小变形假设假定物体发生的位移远小假定物体发生的位移远小于物体本身的几何尺寸，应变远小于于物体本身的几何尺寸，应变远小于1 1。建立平衡。建立平衡方程时不考虑物体位置和形状的变化。方程时不考虑物体位置和形状的变化。几何非线性：几何非线性：物体发生有限变形物体发生有限变形大位移、大转动大位移、大转动的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置和形状的的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置和形状的变化。变化。第三十七页，本课件共有61页几何非线性力学理论基础几何非线性力学理论基础变形体运动的描述应变的度量应力的度量弹塑性问题本构方程的客观性第三十八页，本课件共有61
15、页变形体运动的描述变形体运动的描述描述物体的运动和变形时，需要选择某一构形作为各种方程式的参考。一般选择未变形构形作为参考构形。物体的构形：某一时刻所占据的空间区域初始构形：未变形构形V0现时构形：当前时刻的变形构形V为了确定变形前后物体构形中质点的位置，通常引入物质坐标系OX1X2X3和空间坐标系ox1x2x3物质坐标（拉格朗日坐标）Xi：代表质点本身，不随时间而变化，提供了材料点的标识。空间坐标（欧拉坐标）xi：仅仅代表质点的空间位置，随时间而变化。第三十九页，本课件共有61页物体的运动方程显然第四十页，本课件共有61页函数将参考构形映射到t时刻的当前构形。根据变形的连续性要求，这种变换必
16、须是一一对应的，也即变换应是单值连续的，因此上述变换应有唯一的逆变换运动方程第四十一页，本课件共有61页拉格朗日（Lagrange）描述（物质描述）：独立变量是材料坐标和时间，而空间坐标是时间的函数，反映了物体中每个质点随时间不同所占据空间点的变化，适用于固体力学问题的描述。欧拉（Euler）描述（空间描述）：将空间坐标和时间作为彼此独立的的变量来处理，反映了同一个空间点在不同时刻被不同的质点占据，一般用于流体力学问题的描述。第四十二页，本课件共有61页也称为运动的Jacobian矩阵使用Jacobian矩阵行列式可以将当前构形和参考构形上的积分联系起来：变形梯度定义关于变形梯度(反映变形特征
17、)第四十三页，本课件共有61页物体质量在变形过程中是不变的。关于质量守恒定律关于质量守恒定律第四十四页，本课件共有61页应变的度量应变的度量有限变形情况下，小变形情况下的应变度量方法已经不再适用，必须重新定义。刚体转动，应变度量必须为零。小变形情况下的应变度量方法不能满足这个要求非线性连续介质力学中使用了多种不同的应变和应变率度量。在有限元方法中使用最普遍的有两种：Green应变张量Eij变形率张量Dij（率形式的本构方程中）第四十五页，本课件共有61页初始构形中P0Q0距离的平方：现时构形中PQ距离的平方：GreenGreen应变张量的定义应变张量的定义第四十六页，本课件共有61页变形前后微
18、段长度平方的变化：格林(Green)应变张量初始构形中定义进一步引入位移：第四十七页，本课件共有61页对于小变形问题Green应变张量简化为无限小应变张量：第四十八页，本课件共有61页Green应变不能直接反映变形的大小，它本身不是伸长度和角变度，而是与伸长度和角变度有一定的关系。Green应变和工程(名义)应变分量的关系为：第四十九页，本课件共有61页变形率张量变形率张量D Dijij的定义的定义为了定义变形率张量的表达式，首先定义速度梯度变形率张量转动张量变形率张量Dij在现时构形中定义，其时间积分和真应变相对应。第五十页，本课件共有61页应变度量的客观性应变度量的客观性Green应变张量
19、Eij和变形率张量Dij都是不随刚体转动而变化的客观张量。对于纯刚体运动，应变度量必须为零。否则预示着纯刚体运动中，将导致非零应力。这是线性应变位移方程在非线性理论中被放弃的主要原因。第五十一页，本课件共有61页考虑物体的刚体运动：（绕原点的转动和平动）举例具体说明如下：第五十二页，本课件共有61页格林(Green)应变张量：写成矩阵形式：对于物体的刚体运动：则变形梯度：正交矩阵所以：第五十三页，本课件共有61页对比：线性应变位移方程对比：线性应变位移方程如果 较大，伸长应变不为零。因此，线应变张量不能用于大变形问题，即几何非线性问题。第五十四页，本课件共有61页大变形情况下，是在变形后的物体
20、中截取微元体建立平衡方大变形情况下，是在变形后的物体中截取微元体建立平衡方程和与之等效的虚功程和与之等效的虚功(率率)原理的。原理的。如果应变是用变形前的坐标表示的Green应变张量，则需要定义与之对应的关于变形前构形的应力张量。0应力的度量应力的度量第五十五页，本课件共有61页Cauchy应力张量(表征现时构形中质点的应力状态)Lagrange应力张量Tij(第一类Piola-Kirchhoff应力张量)Kirchholf应力张量Sij(第二类Piola-Kirchhoff应力张量)三者之间关系第五十六页，本课件共有61页Cauchy应力张量在现时构形中定义，具有明确的物理意义，代表真实应力
21、。Cauchy应力张量和变形率张量Dij在功率上共轭（或在功或能量上耦合）。（给出内部功率）Lagrange应力张量和Kirchholf应力张量在参考构形上定义，没有实际的物理意义，仅仅是为了构成能量上共轭的需要。Lagrange应力张量是非对称张量，很难实际应用。因此进一步引入对称的Kirchholf应力张量。Kirchholf应力张量被广泛应用于与路径无关材料（如橡胶），并且和Green应变率在功率（能量）上耦合。第五十七页，本课件共有61页弹塑性问题中本构方程的客观性弹塑性问题中本构方程的客观性在大变形弹塑性有限元分析中，需要采用增量理论来分析依赖于材料变形历史的塑性变形过程，因而通常采
22、用微分型或速率型的材料本构关系。采用速率型的本构关系也应该具有客观性。可以证明，在固定坐标系下，Cauchy应力率张量不具有客观性（不能反映刚体运动）。因此定义一种不随刚体转动而变化的速率型的应力张量Cauchy应力张量的Jaumann率另外两种经常使用的率是Truesdell率和Green-Naghdi率。（构造方法参见相关文献）第五十八页，本课件共有61页有限变形条件下的弹塑性本构方程与小变形弹塑性本构方程在形式上是相同的，但其中的应力速率和应变速率要具有客观性。如果在有限元分析中采用随动共旋坐标系，本构方程可以直接使用Cauchy应力率张量和变形率张量。习惯上第五十九页，本课件共有61页几何非线性问题的表达格式几何非线性问题的表达格式两种表达格式(根据参考构形的情况)：完全的Lagrange格式变量总是参考初始构形，一般采用全量型的本构关系。更新的Lagrange格式变量参考每一载荷步开始时的构形，即分析过程中参考构形是不断被更新的。一般采用速率型的本构关系。可根据材料本构关系的特点选择最有效的格式，如下表所示：第六十页，本课件共有61页几何非线性问题(大位移、大转动)材料本构关系弹性问题非弹性问题小应变大应变小应变(累积塑性应变2%)大应变完全的Lagrange格式(T.L.)更新的Lagrange格式(U.L.)完全拉格朗日格式是比较经济的。第六十一页，本课件共有61页