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1、高等数学第九章第高等数学第九章第一节多元函数的概一节多元函数的概念念第一页，本课件共有72页（1）邻域）邻域一、平面区域的概念一、平面区域的概念第二页，本课件共有72页（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集内点：内点：设设 E 是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点是平面上的一个点如果存在点如果存在点 P 的某一邻域的某一邻域则称则称为为的内点的内点的内点属于的内点属于如果点集如果点集的点都是内点，的点都是内点，则称则称为开集为开集第三页，本课件共有72页边界点：边界点：外点：外点：如果存在如果存在 U(P),使得使得则称点则称点P 为为 E 的外点的外点连通集：连
2、通集：连通的开集称为开区域，简称区域连通的开集称为开区域，简称区域第四页，本课件共有72页例如，例如，例如，例如，第五页，本课件共有72页有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，第六页，本课件共有72页（3）聚点）聚点I：内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：如果对于任意的如果对于任意的 0,点点 P 的去心邻域的去心邻域内总有内总有 E 中的点，则称点中的点，则称点 P 是点集是点集 E 的聚点。的聚点。II：在在 内，总有内，总有 E 的无穷多个点；的无穷多个点；III：点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,
3、0)是聚点但不属于是聚点但不属于E第七页，本课件共有72页 E中任何一点都是中任何一点都是 E 的边界点，的边界点，又如又如,E 中的任何一点都是中的任何一点都是 E 的聚点。的聚点。思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否一定是边界点？一定是边界点？第八页，本课件共有72页二、二、n 维空间的概念维空间的概念当当 n=3 时，时，(x,y,z)表示空间中的一个点或向量表示空间中的一个点或向量表示空间中的全体点或全体向量。表示空间中的全体点或全体向量。因此，我们也称因此，我们也称为为中的一个点中的一个点或一个或一个 n 维向量。维向量。第九页，本
4、课件共有72页因此，我们也称因此，我们也称为为中的一个点中的一个点或一个或一个 n 维向量。维向量。定义线性运算如下：定义线性运算如下：这样定义了线性运算的向量集合这样定义了线性运算的向量集合称为称为 n 维空间维空间第十页，本课件共有72页称称 (x,y)为为空间两点空间两点 x 和和 y 之间的距离之间的距离设设中两点间的距离公式中两点间的距离公式第十一页，本课件共有72页类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义中邻域、区域等概念中邻域、区域等概念则称则称 中的点集中的点集为为 中点中点 a 的的 邻域。邻域。第十二页，本课件共有72页三
5、、二元函数的概念三、二元函数的概念 f 称为对应规则或函数，称为对应规则或函数，f(x,y)称为称为 f 在点在点(x,y)处的函数值。处的函数值。函数值的全体所构成的集合称为函数函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作的值域，记作函数与选用的记号无关，如函数与选用的记号无关，如则称则称 f 是是 D 上的二元函数上的二元函数,记为记为 第十三页，本课件共有72页类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 n 元函数通常记为元函数通常记为或简记为或简记为第十四页，本课件共有72页一元函数与多元函数的概念比较一元函数与多元函数的概念比较 一一 元函数元函数 y=f(x
6、):二元函数二元函数 y=f(x,y):n 元函数元函数第十五页，本课件共有72页例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第十六页，本课件共有72页二元函数二元函数 的的几何意义几何意义（如下页图）（如下页图）当当 P(x,y)取遍取遍 D 上一切点时上一切点时,得到空间点集得到空间点集第十七页，本课件共有72页二元函数的图形二元函数的图形通常是通常是一张曲面一张曲面。第十八页，本课件共有72页例如例如,单值分支单值分支:第十九页，本课件共有72页四、二元函数的极限四、二元函数的极限一元函数极限回顾：一元函数极限回顾：如果在如果在 的过程中，的过程中，f(x)无限接近一个
7、确定常数无限接近一个确定常数 A，就称，就称 A 是是 f(x)当当 时的极限，记为时的极限，记为二元函数的极限：二元函数的极限：如果在如果在 的过程中的过程中 f(x,y)无限接近一个确定常数无限接近一个确定常数 A，就称，就称 A 是是 f(x,y)当当 时的极限，记为时的极限，记为第二十页，本课件共有72页都有都有第二十一页，本课件共有72页说明：说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（1）定义中）定义中 的方式比的方式比 的方式复杂的多的方式复杂的多第二十二页，本课件共有72页例
8、例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立第二十三页，本课件共有72页例例3 3 求极限求极限 解解其中其中第二十四页，本课件共有72页证证例例4 4 证明证明 不存在不存在 （2）取）取此时，仍不能确定极限是否存在此时，仍不能确定极限是否存在（1）P(x,y)沿沿 x 轴趋于轴趋于(0,0)，此时此时 y=0,x 0第二十五页，本课件共有72页例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证（3）取）取极限值随极限值随 k 的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第二十六页，本课件共有72页不存在不存在.观察观察第二十七页，本课件共有72页不存在不存在.观察观察第四十页，
9、本课件共有72页确定极限确定极限不存在不存在的常用方法：的常用方法：第四十一页，本课件共有72页求二元函数的极限求二元函数的极限常用常用的方法：的方法：（1）用定义验证其存在或不存在；）用定义验证其存在或不存在；（2）利用变量代换转化为一元函数的极限，）利用变量代换转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；再用一元函数中已有的方法；（3）消去分子分母中极限为）消去分子分母中极限为 0 的因子；的因子；（4）利用极限运算性质（与一元函数相似）；）利用极限运算性质（与一元函数相似）；（5）利用函数的连续性；）利用函数的连续性；第四十二页，本课件共有72页解：解：例例5：求极限：求极限第四十三
10、页，本课件共有72页解：解：例例6：求极限：求极限第四十四页，本课件共有72页解：解：例例7：求极限：求极限第四十五页，本课件共有72页第四十六页，本课件共有72页五、二元函数的连续性五、二元函数的连续性一元函数连续性回顾：一元函数连续性回顾：二元函数的连续性二元函数的连续性第四十七页，本课件共有72页 如果函数如果函数 f(x,y)在在 D 的每一点都连续，的每一点都连续，二元函数连续的三个要素二元函数连续的三个要素则称函数则称函数 f(x,y)在在 D 上连续，上连续，或者称或者称 f(x,y)是是 D 上的连续函数。上的连续函数。第四十八页，本课件共有72页 二元函数间断的情形比一元函数
11、要复杂的多二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多因为当因为当 f(x,y)无定义，无定义，所以在整个圆周所以在整个圆周 f(x,y)间断间断。第四十九页，本课件共有72页例例8 8 证明函数证明函数在在(0,0)处连续处连续解解取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.第五十页，本课件共有72页例例9 9 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第五十一页，本课件共有72页定义定义3 3 如果函数如果函数 f(P)在在 D 的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称函数函数 f
12、(P)在在 D 上连续，或者称上连续，或者称 f(P)是是 D 上的上的连续函数。连续函数。n 元函数的连续性元函数的连续性第五十二页，本课件共有72页（2）多元初等函数）多元初等函数：由常数及：由常数及不同自变量表达的一元不同自变量表达的一元基本初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用成的可用一个式子表示一个式子表示的多元函数叫的多元函数叫多元初等函数多元初等函数（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域关于二元函数
13、连续性的几点说明关于二元函数连续性的几点说明（1）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。不同自变量表达的一元基本初等函数不同自变量表达的一元基本初等函数第五十三页，本课件共有72页（4）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点处的极限。处的极限。例例解解第五十四页，本课件共有72页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域 D D 上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在 D D 上必上必定有界，且能取
14、得它的最大值和最小值，即定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在两点）至少存在两点（1）存在正数）存在正数 M，使得对于任意的点，使得对于任意的点 P D，均有，均有第五十五页，本课件共有72页（二）介值定理（二）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续的多元函数上连续的多元函数 f(P)，必取得介于最小值必取得介于最小值 m 和最大值和最大值 M 之间的任何值。之间的任何值。即对任意的即对任意的 c,m c M,至少存在一点至少存在一点 P D,使得：使得：第五十六页，本课件共有72页多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近（注意趋近方式的方式的任意性）任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义第五十七页，本课件共有72页作作 业业习题习题 9-14(3,5),5(2,4,6),6(3)7(1),8第五十八页，本课件共有72页思考题思考题第五十九页，本课件共有72页思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.因为若取因为若取第六十页，本课件共有72页