集合论基础优秀PPT.ppt

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1、集合论基础集合论基础第一页,本课件共有39页第一篇第一篇 绪绪 言言v离散数学的特征和性质v此课程的主要学习内容v此课程的主要学习方法第二页,本课件共有39页第一篇第一篇 绪绪 言言v正如马克思所说的:“一门科学,只有当它能够运用数学时,才算真正发展了。”计算机正是在离散数学中图灵机理论的指导下诞生的。v离散数学是数学的一个分支,它以离散量作为其主要研究对象,是研究离散对象的结构以及它们之间相互关系的科学。由于计算机不论硬件还是软件都属于离散结构,所以计算机所应用的数学必是离散数学。第三页,本课件共有39页第一篇第一篇 绪绪 言言v离散数学课程是 计算机系核心课程 信息类专业必修课 其它类专业

2、的重要选修课程v离散数学也是后继课的基础 第四页,本课件共有39页第一篇第一篇 绪绪 言言v离散数学课程的学习可以培养学生抽象的思维、逻辑推理能力和创新能力。v让学生见识一些重要的数学思想、数学方 法以及用数学解决实际问题的著名事例。培养逻辑思维的能力和分析问题解决问题的能力。第五页,本课件共有39页第一篇第一篇 绪绪 言言v离散数学的主要学习内容:1.集合论 2.代数系统 3.图论 4.数理逻辑 *5.组合数学 *6.形式语言与自动机第六页,本课件共有39页第一篇第一篇 绪绪 言言v特点:内容较杂,概念多,定理多,比较抽象,学习有一定的难度。v学习方法:1.准确掌握每个概念(包括内涵及外延)

3、。2.要有刻苦钻研的精神,不断总结经验。3.在理解内容的基础上,要多做练习题,从而再进一步加深理解所学内容。4.注意培养分析问题和解决问题的能力第七页,本课件共有39页第二篇第二篇 集合论集合论v主要包括如下内容:集合论基础 二元关系 函数第八页,本课件共有39页第一章第一章 集合论基础集合论基础v本章主要介绍如下内容:基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算第九页,本课件共有39页基本概念基本概念1.集合与元素 集合:是由确定的对象(客体)构成的集体。一般用大写的英文字母表示。这里所谓“确定”是指:论域内任何客体,要么属于这个集合,要么不属于这个集合,是唯一确定的。元素:

4、集合中的对象,称之为元素。:表示元素与集合的属于关系。例如,N表示自然数集合,2N,而1.5不属于N,写成 1.5N。第十页,本课件共有39页2.有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合先给出朴素的定义,以后再给出严格的形式定义。有限集合有限集合:元素是有限个的集合。如果A是有限集合,用|A|表示A中元素个数。例如,A=1,2,3,则|A|=3。无限集合无限集合:元素是无限个的集合。对无限集合的所谓大小的讨论,以后再进行。第十一页,本课件共有39页3.集合的表示方法 列举法列举法:将集合中的元素一一列出,写在大括号内。例如,N=1,2,3,4,A=a,b,c,d 描述法描述法:用句子描述元

5、素的属性。例如,B=x|x是偶数 C=x|x是实数且2x5 一般地,A=x|P(x),其中P(x)是谓词公式,如果客体a使得P(a)为真,则aA,否则aA。第十二页,本课件共有39页4.说明 集合中的元素间次序是无关紧要的,但是必须是 可以区分的,即是不同的。例如A=a,b,c,B=c,b,a,C=a,b,c,a,则A、B和C是一样的。对集合中的元素无任何限制,例如令 A=人,石头,1,,B=,本书中常用的几个集合符号的约定:自然数集合N=1,2,3,整数集合I,实数集合R,有理数集合Q第十三页,本课件共有39页集合中的元素也可以是集合,下面的集合的含义不同:如 a :张书记 a :党支部(只

6、有一个书记)a:分党委(只有一个支部)a:党委(只有一个分党委)a:市党委(只有一个党委)第十四页,本课件共有39页特殊集合特殊集合1.全集 E 定义:包含所讨论的所有集合的集合,称之为全集,记作E。由于讨论的问题不同,全集也不同。所以全集不唯一。例如:若讨论数,可以把实数集看成全集。若讨论人,可以把人类看成全集。性质:对于任何集合A,都有A在E中。第十五页,本课件共有39页特殊集合特殊集合2.空集 定义:没有元素的集合,称之为空集,记作。性质:(1).对于任何集合A,都有在A中。(2).空集是唯一的。第十六页,本课件共有39页集合间的关系集合间的关系1.包含关系(子集)(1).定义:A、B是

7、集合,如果A中元素都是B中元素,则称B包含A,A包含于B,也称A是B的子集。记作AB。文氏图表示如右下图。例如,N是自然数集合,R是实数集合,则NR AB第十七页,本课件共有39页集合间的关系集合间的关系(2).性质:(a).有自反性,对任何集合A有AA。(b).有传递性,对任何集合A、B、C,有AB且 BC,则AC。(c).有反对称性,对任何集合A、B,有AB且 BA,则A=B。第十八页,本课件共有39页集合间的关系集合间的关系2.相等关系 定义:A、B是集合,如果它们的元素完全相同,则称A与B相等。记作A=B。性质:有自反性,对任何集合A,有A=A。有传递性,对任何集合A、B、C,如果有A

8、=B且 B=C,则A=C。有对称性,对任何集合A、B,如果有A=B,则B=A。第十九页,本课件共有39页集合间的关系集合间的关系3.真包含关系(真子集)定义:A、B是集合,如果AB且AB,则称B真包含A,A真包含于B,也称A是B的真子集。记作AB。性质:有传递性,对任何集合A、B、C,如果有AB且 BC,则AC。第二十页,本课件共有39页集合的运算集合的运算1.1.交运算交运算 定义:定义:A、B是集合,由既属于A,也属于B的元素构成的集合,称之为A与B的交集,记作AB。例如:A=1,2,3,B=2,3,4 则 AB=2,3ABAB第二十一页,本课件共有39页集合的运算集合的运算性质:幂等律幂

9、等律 对任何集合A,有AA=A。交换律交换律 对任何集合A、B,有AB=BA。结合律结合律 对任何集合A、B、C,有 (AB)C=A(BC)。同一律同一律 对任何集合A,有AE=A。零一律零一律 对任何集合A,有A=。AB AB=A。第二十二页,本课件共有39页集合的运算集合的运算2.2.并运算并运算 定义:定义:A、B是集合,由或属于A,或属于B的元素构成的集合,称之为A与B的并集,记作AB。例如:A=1,2,3,B=2,3,4 则AB=1,2,3,4BAAB第二十三页,本课件共有39页集合的运算集合的运算性质:幂等律幂等律 对任何集合A,有AA=A。交换律交换律 对任何集合A,B,有AB=

10、BA。结合律结合律 对任何集合A,B,C,有(AB)C=A(BC).同一律同一律 对任何集合A,有A=A。零一律零一律 对任何集合A,有AE=E 。第二十四页,本课件共有39页集合的运算集合的运算 分配律分配律 对任何集合A、B、C,有 A(BC)=(AB)(AC)。A(BC)=(AB)(AC)。吸收律吸收律 对任何集合A、B,有 A(AB)=A A(AB)=A。AB AB=B。第二十五页,本课件共有39页集合的运算集合的运算3.绝对补集 定义:定义:A是集合,由不属于A的元素构成的集合,称之为A的绝对补集,记作A。例如,E=1,2,3,4,A=2,3,则A=1,4AEA第二十六页,本课件共有

11、39页集合的运算集合的运算性质:设A、B、C是任意集合,则 E=E (A)=A AA=AA=E 注:在这里只有A同时满足性质(4)(5)(称作A的惟一性)。证明:此时我们假设除了A还有B满足(4)(5),则有B=B =B(AA)=(B A)(B A)=E(B A)=B A.同理,我们可以得到A=A B.因此B=A.A-B=AB 德摩根定律(De Morgans Law):(AB)=AB (AB)=AB第二十七页,本课件共有39页集合的运算集合的运算4.4.差运算差运算-(-(相对补集相对补集)定义:定义:A、B是集合,由属于A,而不属于B的元素构成的集合,称之为A与B的差集,或B对A的相对补集

12、,记作A-B。从图中可以知道A-B=AB例如:A=1,2,3,B=2,3,4 则A-B=1ABA-B第二十八页,本课件共有39页集合的运算集合的运算性质:设A、B、C是任意集合,则 A-=A -A=A-A=A-BA AB A-B=(A-B)-C=(A-C)-(B-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(B C)=(A-B)(A-C)A(B-C)=(AB)-(AC)但对-是不可分配的,如A(A-B)=A 而(AA)-(AB)=第二十九页,本课件共有39页集合的运算集合的运算v补集与差集的关系:v A=E-A,A(B)=A-B,AA=,AA=E v利用以上性质我们可以得到著名的德.摩根定律(D

13、e Morgans Law):v (A B)=A Bv (A B)=A Bv我们简单地证明一下第一个式子:v只需证:(A B)(A B)=E 和 (A B)(A B)=第三十页,本课件共有39页德德.摩根定律的证明摩根定律的证明显然:(A B)(A B)=(A B)(A)(A B)(B)=E E=E及:(A B)(A B)=(A B)(A)(A B)(B)=(B-A)(A-B)=其中,我们用到了 B(A)=B-A 和 A(B)=A-B 由补集的惟一性,得 (A B)=(A B)同理可得 (A B)=(A B)第三十一页,本课件共有39页差集性质证明差集性质证明v(6)(A-B)-C=(A-C)

14、-(B-C)v证明:v(6)(A-B)-C=(A-B)C=(A B)Cv同时(A-C)-(B-C)=(A C)(B C)v =(A C)B Cv =(A C)B (A C)Cv =(A C)B v =(A C)B v =(A B)Cv 第三十二页,本课件共有39页集合的运算集合的运算5.对称差 定义:定义:A、B是集合,由属于A而不属于B,或者属于B而不属于A的元素构成的集合,称之为A与B的对称差,记作AB。由右图可以看出:AB=AB-AB=(A-B)(B-A)例如:A=1,2,3,B=2,3,4 则AB=1,4ABABE第三十三页,本课件共有39页集合的运算集合的运算性质:交换律交换律 对任

15、何集合A、B,有AB=BA。结合律结合律 对任何集合A、B、C,有 (AB)C=A(BC)。同一律同一律 对任何集合A,有A=A。对任何集合A,有AA=。对可分配 A(BC)=(AB)(AC)第三十四页,本课件共有39页幂集幂集6.集合的幂集定义:A是集合,由A的所有子集构成的集合,称之为A的幂集。记作P(A)或2A。P(A)=B|BA例如:A A的幂集P(A)a ,a a,b ,a,b,a,b第三十五页,本课件共有39页幂集幂集性质:(1).给定有限集合A,如果|A|=n,则|P(A)|=2n。例如:a,b,c 则 P(A)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c 238C33C3

16、2C31C30|P(A)|第三十六页,本课件共有39页n元有序组元有序组7.笛卡尔乘积 先给出n元有序组的定义 定义:n个(n1)按一定次序排列的客体a1,a2,,an 组成一个有序序列,称为n元有序组,记为(a1,a2,,an)。例如我国当前使用的身份证号码是由一个七元有序组组成(省、市、区、出生年、月、日、序列号)410102198708250037 第三十七页,本课件共有39页笛卡尔乘积笛卡尔乘积 两个集合的笛卡尔乘积:定义:集合A、B的笛卡尔乘积可表示为 AB=(a,b)|aA,bB 例如:设A=1,2,B=a,b,则 AB=(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)第三十八页,本课件共有39页笛卡尔乘积笛卡尔乘积n个集合的笛卡尔乘积 定义:集合A1、A2、An 的笛卡尔乘积可表示为 A1A2An=(a1,a2,an)|aiAi,i=1,2,性质:如果A、B都是有限集,且|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn.第三十九页,本课件共有39页

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