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1、计算机图形学曲线的生成现在学习的是第1页，共27页7.1.1 规则曲线绘制的基本原理 对曲线进行离散化处理，把它们分割成很多短的直线对曲线进行离散化处理，把它们分割成很多短的直线段，用这些短的直线段组成的折线来逼近曲线。段，用这些短的直线段组成的折线来逼近曲线。至于这些短的直线段取多长，则取决于图形输出设备至于这些短的直线段取多长，则取决于图形输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度，但我们所要求达的精度和我们绘制的曲线所要求的精度，但我们所要求达到的精度不能逾越图形设备实际所具有的精度。到的精度不能逾越图形设备实际所具有的精度。现在学习的是第2页，共27页7.1.2 规则曲线绘制的基本方法
2、(1)函数 y=f(x)曲线的生成(2)参数方程曲线的生成 绘制曲线绘制曲线 y=f(x)时，应给出自变量时，应给出自变量x的取值范围的取值范围 x1和和 x2，并选取适当的，并选取适当的 x 增量增量x，计算出曲线上一系列相应的点的坐，计算出曲线上一系列相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。标，依次用直线连接即可画出曲线。绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算机绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式：绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式：x=f 1(t)y=f 2(t)现在学习的是第3页，共27页极坐标方程形式是极坐标方程形式是
3、 r=P()，式中，式中r为向径，为向径，为极角。为极角。因绘图时使用的是直角坐标系，因此在绘制极坐标方程曲线时，因绘图时使用的是直角坐标系，因此在绘制极坐标方程曲线时，需先将点的极坐标需先将点的极坐标(r,)转换成直角坐标转换成直角坐标(x,y)，然后才能画，然后才能画出这个点曲线。坐标转换公式为：出这个点曲线。坐标转换公式为：(3)极坐标方程曲线的生成 参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列点的纵参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列点的纵横坐标，从而画出曲线。横坐标，从而画出曲线。x=r cos y=r sin 现在学习的是第4页，共27页7.2 7.2 自由曲线的生成自由曲
4、线的生成广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。插值插值：给定一组有序的数据点给定一组有序的数据点Pi，i0，1，n，构造一条曲线顺序通过这些，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，搜构成的曲线称为插值曲线。数据点，称为对这些数据点进行插值，搜构成的曲线称为插值曲线。逼近逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。光顺光顺：指曲线的拐点不能太多，
5、光顺的条件是：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是：（1）具有二阶几何连续；（）具有二阶几何连续；（2）不存在多余的拐点和奇异点；（）不存在多余的拐点和奇异点；（3）曲率变化较）曲率变化较小。小。拟合拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。现在学习的是第5页，共27页7.2.1 曲线的表示要求曲线的表示要求1)唯一性2)几何不变性3)易于定界4)统一性5)易于实现光滑连接6)几何直观现在学习的是第6页，共27页7.2.2 基本定义基本定义型值点：型值点：是指通过测量或者计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。通常是
6、是指通过测量或者计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建立曲线的数学模型，从而根据数求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建立曲线的数学模型，从而根据数学模型去获得曲线上每一点的几何信息。学模型去获得曲线上每一点的几何信息。控制点：控制点：是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该控制点。是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该控制点。现在学习的是第7页，共27页7.2.2 基本定义基本定义1.参数连续性参数连续性C0连续：曲线相连。连续：曲线相连。C1连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶导连续：
7、指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶导数数C2连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶导数和二阶连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶导数和二阶导数导数2.几何连续性几何连续性G0连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。G1连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。G2连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数和二阶导数均成比例。连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数和二阶导数均成比例。现在学习的是第8页，共27页一、定义及其数学表示式一、定义及其数学表示式1
8、1、定义、定义给定空间给定空间n+1个点的位置矢量个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），），则则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：参数曲线上各点坐标的插值公式是：7.2.2 Bezier 曲线曲线其中，其中，Pi构成该构成该Bezier曲线的特征多边形，曲线的特征多边形，Bi,n(t)是是n次次Bernstein基函数基函数：现在学习的是第9页，共27页现在学习的是第10页，共27页2、一次、一次Bezier曲线曲线n=1,有两个控制点，则：有两个控制点，则：说明：一次说明：一次Bezier曲线是连接起点曲线是连接起点P0和终点和终点P1的直线段。的直线段。矩阵表示为：矩阵表示为
9、：现在学习的是第11页，共27页3、二次、二次Bezier曲线：曲线：n=2，有三个控制点，则：有三个控制点，则：说明：二次说明：二次Bezier曲线为抛物线。曲线为抛物线。现在学习的是第12页，共27页4、三次、三次Bezier曲线：曲线：n=3，三次多项式，有四个控制点，则：三次多项式，有四个控制点，则：其中其中称为三次称为三次Bezier曲线的调和函数。这四条曲线均是三次曲线，曲线的调和函数。这四条曲线均是三次曲线，形成形成Bezier曲线的一组基。任何三次曲线的一组基。任何三次Bezier曲线都是这四条曲线的曲线都是这四条曲线的线性组合线性组合。现在学习的是第13页，共27页现在学习的
10、是第14页，共27页现在学习的是第15页，共27页 二、二、Bezier曲线的性质曲线的性质1、端点及端点切线、端点及端点切线t=0：t=1：Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。曲线通过特征多边形的起点和终点。现在学习的是第16页，共27页在起始点，在起始点，t=0，B0,n-1(0)=1,其余项均为其余项均为0，故有：，故有：在终止点，在终止点，t=1，B n-1,n-1(1)=1,其余项均为其余项均为0，故有：，故有：对于三次对于三次Bezier曲线，曲线，n=3，所以所以Bezier曲线在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第一条边及最后一曲线在始点和终点处的切线方向与特征多边形
11、的第一条边及最后一条边的走向一致。条边的走向一致。现在学习的是第17页，共27页2、对称性、对称性。BezierBezier曲线形状相同，走向相反。即假如保持曲线形状相同，走向相反。即假如保持n n次次BezierBezier曲线诸曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（PiPi）改为下标为改为下标为n-in-i的点（的点（Pn-iPn-i），），则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。3 3、凸包性。、凸包性。BezierBezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（包
12、含所有顶曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（包含所有顶点的最小凸多边形）之中，点的最小凸多边形）之中，4、几何不变性。几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。BezierBezier曲线的位置与形状与其曲线的位置与形状与其特征多边形顶点特征多边形顶点Pi(i=0,1,.,=0,1,.,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择的位置有关，它不依赖坐标系的选择。现在学习的是第18页，共27页三三Bezier曲线的拼接曲线的拼接为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种连续性为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑
13、过渡，可以在连接点处要求各种连续性条件。条件。1、C0连续，可以简单的表示曲线相连，即如果两个曲线段具有一个公共的端点，连续，可以简单的表示曲线相连，即如果两个曲线段具有一个公共的端点，那么这两个曲线段是连续的。那么这两个曲线段是连续的。2、C1连续，如说明代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数。连续，如说明代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数。3、二阶参数连续，记作、二阶参数连续，记作C2连续，是指两个曲线段在相交点处有相同的一阶和二阶连续，是指两个曲线段在相交点处有相同的一阶和二阶导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段。导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另
14、一个曲线段。现在学习的是第19页，共27页三三Bezier曲线的拼接曲线的拼接设有两条设有两条Bezier曲线曲线Q1(t)和和Q2(t)，其控制顶点分别为：其控制顶点分别为：0,1,2,3及及R0,R1,R2,R3 如何把它们按照一定的连续条件连接起来？如何把它们按照一定的连续条件连接起来？（1）Q1(t)的终点的终点P3和和Q2(t)的始点的始点R0重合，即达到重合，即达到C0连续。连续。（2）要使它们达到）要使它们达到C1连续的充要条件是，连续的充要条件是，P2，P3=R0，R1三点共线三点共线,且且。P2，R1应在应在P3=R0的两侧的两侧（3）要使它们达到）要使它们达到C2连续的充要
15、条件是要在连续的充要条件是要在C1连续的前提下再增加两个条件，连续的前提下再增加两个条件，即：即：密切平面重合密切平面重合,副法线矢量同向。副法线矢量同向。曲率相等。曲率相等。现在学习的是第20页，共27页7.2.3 B样条曲线的定义样条曲线的定义1 1、B B样条曲线的数学表达式样条曲线的数学表达式（1 1）一般形式）一般形式若给定若给定N Nm+nm+n1 1个顶点（个顶点（m m为最大段号，为最大段号，n n为阶次），则第为阶次），则第i i段（段（i i0 0，1,1,m,m）、）、n n次等距分割的次等距分割的B B样条曲线函数可表示为：样条曲线函数可表示为：其中，基底函数：其中，基
16、底函数：为定义第为定义第i i段曲线特征多边形的段曲线特征多边形的n n1 1个顶点个顶点现在学习的是第21页，共27页（2）三次（四阶）三次（四阶）B样条曲线样条曲线由于由于n=3，所以所以l0，1，2，3，此时所对应的基底函数分别为：此时所对应的基底函数分别为：现在学习的是第22页，共27页则第则第i i段、三次段、三次B B样条曲线的矩阵形式可表示为：样条曲线的矩阵形式可表示为：现在学习的是第23页，共27页2 2、B B样条曲线的性质样条曲线的性质（1 1）端点性质及连续性）端点性质及连续性现在学习的是第24页，共27页现在学习的是第25页，共27页（2 2）局部性）局部性每一段三次每
17、一段三次B B样条曲线由样条曲线由4 4个控制点的位置向量来决定。改变一个控制点的位置，个控制点的位置向量来决定。改变一个控制点的位置，最多影响四个曲线段。最多影响四个曲线段。（3 3）扩展性）扩展性如果增加一个控制点，就相应地增加了一段如果增加一个控制点，就相应地增加了一段B B样条曲线。且原有样条曲线。且原有B B样条曲线样条曲线不受影响，而且新增地曲线段与与原曲线地连接处具有一阶、二阶连续不受影响，而且新增地曲线段与与原曲线地连接处具有一阶、二阶连续的特性。的特性。现在学习的是第26页，共27页3 3、三次、三次B B样条曲线的边界条件样条曲线的边界条件如果要使曲线以如果要使曲线以P P0 0为起始点且切于向量为起始点且切于向量p p0 0p p1 1，同时以同时以P Pn n为终点且切于向量为终点且切于向量p pn n1 1P Pn n，那么只需要在始端和终端各增加一个顶点那么只需要在始端和终端各增加一个顶点P P1 1及及P Pn n1 1，使得向量，使得向量P P1 1P P0 0P P0 0P P1 1,P,Pn n1 1P Pn nP Pn nP Pn+1n+1,这样在始端和终端所增加的这样在始端和终端所增加的B B样条曲线段即可满足上述要求。样条曲线段即可满足上述要求。现在学习的是第27页，共27页