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1、计算机控制技术传递函数矩阵2022/12/72022/12/71 1现在学习的是第1页，共13页一、传递函数阵的引入：一、传递函数阵的引入：一、传递函数阵的引入：一、传递函数阵的引入：2 2）MIMOMIMO系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵G(s)G(s)，G(s)G(s)是是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：根据传递函数定义，根据传递函数定义，式式(1)(1)拉氏变换，并令拉氏变换，并令 ，得式，得式(2)(2)：1
2、 1）SISOSISO系统，一输入对一输出，用传递函数系统，一输入对一输出，用传递函数G(s)G(s)描述，描述，G(s)G(s)是一个元素；是一个元素；整理（整理（2 2）式得：）式得：状态空间表达式：状态空间表达式：2022/12/72022/12/72 2现在学习的是第2页，共13页注意矩阵求逆定义定义传递函数阵传递函数阵：说明说明说明说明 ：1 1）dim(G(s)=mrdim(G(s)=mr，其中，其中dim()dim()表示表示的维数。的维数。mm是输出维数，是输出维数，r r是输入维数。是输入维数。2 2）G(s)G(s)的每个元素的含义：的每个元素的含义：表示第表示第i i个输
3、出中，由第个输出中，由第j j个输入变量引起个输入变量引起的输出和第的输出和第j j个输入变量间的传递关系。个输入变量间的传递关系。3 3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的）同一系统，不同的状态空间表达式对应的G(s)G(s)是相同的。是相同的。2022/12/72022/12/73 3现在学习的是第3页，共13页 例例例例 求由求由 表述系统的表述系统的G(s)G(s)解解解解 ：根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：由传递函数阵公式得：由传递函数阵公式得：2022/12/72022/12/74 4现在学习的是第4页，共13页求得：求得：求得传递函数阵为：求得传递函数阵为：2022/12/
4、72022/12/75 5现在学习的是第5页，共13页 例例例例2 2 2 2 求如图所示二输入二输出求如图所示二输入二输出系统的传递函数阵。系统的传递函数阵。步骤：步骤：步骤：步骤：1 1、确定、确定G(s)G(s)维数。维数。2 2、确定、确定G(s)G(s)中各元素的值。中各元素的值。解解解解 ：根据根据G(s)G(s)矩阵中每个元素的含义，很容易写出上图的矩阵中每个元素的含义，很容易写出上图的传递函数阵传递函数阵 小结小结小结小结 ：2022/12/72022/12/76 6现在学习的是第6页，共13页第四节第四节 动态方程的线性变换动态方程的线性变换1、将状态空间表达式变换成对角线标
5、准型、将状态空间表达式变换成对角线标准型2、将状态空间表达式变换成约当标准型、将状态空间表达式变换成约当标准型3、将状态空间表达式变换成能控、能观标准型、将状态空间表达式变换成能控、能观标准型2022/12/72022/12/77 7现在学习的是第7页，共13页 线性非奇异变换线性非奇异变换：含义含义含义含义：如果如果P P是一个非奇异阵，则将是一个非奇异阵，则将 变换称为线性非奇异变换。变换称为线性非奇异变换。满足满足满足满足：叠加原理叠加原理齐次性条件齐次性条件用途：用途：用途：用途：通过线性变换，可将状态方程变成对角线或约当标准型。通过线性变换，可将状态方程变成对角线或约当标准型。系统状
6、态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性：含义含义含义含义：同一系统的不同状态变量可通过线性变换互相得到。：同一系统的不同状态变量可通过线性变换互相得到。2022/12/72022/12/78 8现在学习的是第8页，共13页两组状态变量的关系：两组状态变量的关系：其中：其中：P P不同则得到不同的不同则得到不同的 。例例：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性考虑系统考虑系统 为：为：非奇异变换后非奇异变换后 2022/12/72022/12/79 9现在学习的是第9页，共13页1 1）若选非奇异变换阵）若选非奇异变换阵P P为：为：结论结论：不同的
7、非奇异变换阵，对应不同的状态方程，：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性非唯一性2 2）若选非奇异变换阵）若选非奇异变换阵P P为：为：对角线矩阵对角线矩阵对角线矩阵对角线矩阵2022/12/72022/12/71010现在学习的是第10页，共13页对于系统矩阵对于系统矩阵A A，若存在一非零向量，若存在一非零向量 ，使得：，使得：系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量 则：则：矩阵矩阵A A的特征值（的特征值（A A特征方程的根）特征方程的根）矩阵矩阵A A的特征方程的特征方程矩阵矩阵A A的特征矩阵的特征矩阵矩阵矩阵A A对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量矩阵
8、矩阵A A的特征多项式的特征多项式使使 ，则称，则称 为为A A的对应于的对应于 的特征向量。的特征向量。设设 为为A A的一个特征值，若存在某个的一个特征值，若存在某个n n维非零向量维非零向量由定义知由定义知由定义知由定义知：2022/12/72022/12/71111现在学习的是第11页，共13页 特征值及传递函数阵的性质特征值及传递函数阵的性质特征值及传递函数阵的性质特征值及传递函数阵的性质 ：3 3）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。2 2）A A为实数方阵，则为实数方阵，则n n个特征值或为实数，或为共轭复数对。个
9、特征值或为实数，或为共轭复数对。系统系统2:2:特征多项式特征多项式 ，传递函数阵传递函数阵 系统系统1:1:特征多项式特征多项式 ，传递函数阵传递函数阵 则：则：且且 其中：其中：特征值和传递函数阵的不变性特征值和传递函数阵的不变性特征值和传递函数阵的不变性特征值和传递函数阵的不变性，证明作为课后练习。，证明作为课后练习。1 1）一个）一个n n维系统的维系统的 方阵方阵A A，有且仅有，有且仅有 n n 个独立的特征值。个独立的特征值。2022/12/72022/12/71212现在学习的是第12页，共13页4 4）若系统矩阵）若系统矩阵A A具有形式：具有形式：则其特征多项式为：则其特征多项式为：特征方程为：特征方程为：2022/12/72022/12/71313现在学习的是第13页，共13页