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1、非线性光学课件第一页，本课件共有16页（2.3.1）根据前一节的讨论，我们可以将波动方程写成如下形式根据前一节的讨论，我们可以将波动方程写成如下形式推导光脉冲在非线性色散光纤中传输的基本方程。推导光脉冲在非线性色散光纤中传输的基本方程。2.3.1 脉宽范围在脉宽范围在10ns10fs（f=10-15）的光脉冲在光纤内传输时的光脉冲在光纤内传输时色散和非线性效应都将影响其形状和频谱，因此不能把光纤当作色散和非线性效应都将影响其形状和频谱，因此不能把光纤当作非线性介质处理，即传输方程中非线性介质处理，即传输方程中 的假设不成的假设不成立。立。它是光信号在媒质中传播的基本方程。由于考虑到非线性，它是
2、光信号在媒质中传播的基本方程。由于考虑到非线性，（2.3.1）的解变得非常复杂。的解变得非常复杂。第二页，本课件共有16页 为得到有意义的解，对光纤中传输的光信号作如下几点假设为得到有意义的解，对光纤中传输的光信号作如下几点假设2、光场矢量在传播过程中保持其偏振不变，即、光场矢量在传播过程中保持其偏振不变，即偏振假设偏振假设。3、假定光场是、假定光场是准单色准单色的的(/01)。时间慢变时间慢变函数函数（2.3.2）假定沿假定沿x方向偏振光的单方向偏振光的单位偏振矢量位偏振矢量1、光纤是、光纤是弱非线性弱非线性的，即的，即 。根据上述假设我们可以将光信号看成一个慢变化的脉冲包络与根据上述假设我
3、们可以将光信号看成一个慢变化的脉冲包络与一个快速震荡的光载波的乘积，即一个快速震荡的光载波的乘积，即第三页，本课件共有16页（2.3.3）（2.3.4）光纤中的线性极化项光纤中的线性极化项 非线性极化项非线性极化项 具有类似的形式具有类似的形式如下：如下：根据前面的推导，可知线性极化强度与电场的关系为：根据前面的推导，可知线性极化强度与电场的关系为：非线性极化强度与电场的关系非线性极化强度与电场的关系?第四页，本课件共有16页 为简单起见，假定定非线性效应是瞬时作用，改写为简单起见，假定定非线性效应是瞬时作用，改写（2.1.10）第五页，本课件共有16页非线性波动方程及各场量表达式非线性波动方
4、程及各场量表达式（2.3.1）第六页，本课件共有16页经过傅里叶变换，在频域内波动方程经过傅里叶变换，在频域内波动方程（2.3.1）可以写成如下：可以写成如下：（2.3.10）可以表示为如下形式：可以表示为如下形式：第七页，本课件共有16页 利用利用变量分离法变量分离法求解非线性波动方程，假定解的形式为：求解非线性波动方程，假定解的形式为：（2.3.14）是是z的慢变函数；的慢变函数；模分布函数；模分布函数；则是与光载波中心频率相对应的相位常数。则是与光载波中心频率相对应的相位常数。方程两边必须等于一个方程两边必须等于一个常数常数，则此方程可以分解成两个独立方，则此方程可以分解成两个独立方程。
5、程。特征值特征值第八页，本课件共有16页（2.3.15）（2.3.16）上式中由于上式中由于 为为 的的慢变函数慢变函数，因而忽略了，因而忽略了其二阶偏导数。其二阶偏导数。方程方程（2.3.15）是考虑到非线性的单模光纤中的是考虑到非线性的单模光纤中的横式横向横式横向场方程场方程，而，而 是由方程所解得的模式相位常数，或者说是相是由方程所解得的模式相位常数，或者说是相对于频率对于频率 的相位常数。的相位常数。第九页，本课件共有16页 横向场分布方程：横向场分布方程：（2.3.15）上述方程中的介电常数与之前相比可以作近似：上述方程中的介电常数与之前相比可以作近似：微扰法：微扰法：忽略非线性项忽
6、略非线性项，令，令 ，求得相应的相位常，求得相应的相位常数数 对于对于单模光纤单模光纤 就是基模就是基模 的场函数，但对的场函数，但对相位常数考虑到非线性效应则应有一个修正量。相位常数考虑到非线性效应则应有一个修正量。考虑了非线性导致的折考虑了非线性导致的折射率变化和光纤的本征射率变化和光纤的本征损耗损耗（2.3.18）第十页，本课件共有16页 修正后的相位常数有如下的表示形式：修正后的相位常数有如下的表示形式：（2.3.19）（2.3.20）根据微扰公式可得：根据微扰公式可得：式中的式中的 是在是在忽略非线性效应忽略非线性效应条件下解得的，积条件下解得的，积分在光纤分在光纤模截面模截面内进行
7、的。内进行的。第十一页，本课件共有16页（2.3.16）由于由于 的准确形式不清楚，因此在频率的准确形式不清楚，因此在频率 把把 展成泰勒级数。展开式中的展成泰勒级数。展开式中的三次项及更高项通常被忽略三次项及更高项通常被忽略。准单色假定准单色假定傅傅氏氏逆逆变变换换将前面求解得到的相位常数修正项代入到方程将前面求解得到的相位常数修正项代入到方程（2.3.16）第十二页，本课件共有16页（2.3.26）得到得到信号包络函数在时域信号包络函数在时域的传播方程：的传播方程：为了方便，引入另一个为了方便，引入另一个非线性参数非线性参数：对于石英光纤，测试结果是对于石英光纤，测试结果是 。而。而 为光
8、纤的为光纤的有效面积有效面积，其定义为：，其定义为：第十三页，本课件共有16页将将（2.3.18）代到代到（2.3.20）不难得到：不难得到：因此方程因此方程（2.3.26）可以改写为如下形式：可以改写为如下形式：（2.3.27）上式描述了皮秒光脉冲在单模光纤内的传输，被称为上式描述了皮秒光脉冲在单模光纤内的传输，被称为非非线性薛定谔方程线性薛定谔方程。该方程是研究光信号在光纤中传播畸变的。该方程是研究光信号在光纤中传播畸变的基础。式中参数基础。式中参数 光纤衰减常数光纤衰减常数，由折射率的虚部决定。，由折射率的虚部决定。第十四页，本课件共有16页小结：小结：（1）考虑非线性效应的情况下得到波
9、动方程。）考虑非线性效应的情况下得到波动方程。（2）将波动方程为转换为只与电场强度有关。）将波动方程为转换为只与电场强度有关。（3）作傅里叶变换将时域方程转换为频域方程方便求）作傅里叶变换将时域方程转换为频域方程方便求 解，利用形式解将方程分离成两个独立方程。解，利用形式解将方程分离成两个独立方程。（4）分别对两个独立方程简化求解。）分别对两个独立方程简化求解。传输方程传输方程（2.3.27）是一个非线性的偏微分方程。除一些是一个非线性的偏微分方程。除一些特例解以外，一般情况下都得不到它的解析解，因而数值解法特例解以外，一般情况下都得不到它的解析解，因而数值解法成为求解光脉冲在传播中的演化问题的主要方法。成为求解光脉冲在传播中的演化问题的主要方法。第十五页，本课件共有16页第十六页，本课件共有16页