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1、第四章热传导方程2022/12/61第一页，本课件共有27页例2 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换2022/12/62第二页，本课件共有27页2022/12/63第三页，本课件共有27页例1 解定解问题解：对t求拉氏变换4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法2022/12/64第四页，本课件共有27页4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法令代入方程：解：4.2 4.2 一维初边值问题一维初边值问题2022/12/65第五页，本课件共有27页由例由例4知，以上特征值问题的知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为满足方程满足方程于是得到一系列
2、分离变量形式的于是得到一系列分离变量形式的特解特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为叠加原理，设原问题的解为故原问题的形式级数解为故原问题的形式级数解为2022/12/66第六页，本课件共有27页分离变量流程图2022/12/67第七页，本课件共有27页令代入方程：令例2 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题的中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为2022/12/68第八页，本课件共有27页于是得到一系列分离变于是得到一系列分离变
3、量形式的特解量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为理，设原问题的解为2022/12/69第九页，本课件共有27页例3 求下列定解问题解：令2022/12/610第十页，本课件共有27页于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解2022/12/611第十一页，本课件共有27页若 ，则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原
4、理，设原问题的解为叠加原理，设原问题的解为若2022/12/612第十二页，本课件共有27页例4 求下列热传导方程的定解问题解法一：令2022/12/613第十三页，本课件共有27页解法二：令由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为2022/12/614第十四页，本课件共有27页于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/12
5、/615第十五页，本课件共有27页例1 求下列定解问题解：先考虑对应的齐次问题其特征值和特征函数为其特征值和特征函数为由分离变量法可得由分离变量法可得特征值问题特征值问题4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题的特征函数展开法2022/12/616第十六页，本课件共有27页2022/12/617第十七页，本课件共有27页4.2.3 具有非齐具有非齐次边界条件的热次边界条件的热传导问题传导问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变量法求解以上问题。2022/12/618第十八页，本课件共有27页求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变量法求解以上问题。2022/12/6
6、19第十九页，本课件共有27页求定解问题解：令2022/12/620第二十页，本课件共有27页例例1 求解下列二维热传导方程的定解问题求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题的中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为4.3.1 矩形域上热传导问题矩形域上热传导问题4.3 高维初边值问题2022/12/621第二十一页，本课件共有27页于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原
7、问题的解为的叠加原理，设原问题的解为2022/12/622第二十二页，本课件共有27页 设有半径为设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：4.3.2 圆形薄盘上热传导问题圆形薄盘上热传导问题2022/12/623第二十三页，本课件共有27页令：令：2022/12/624第二十四页，本课件共有27页n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程 周期特征值问题周期特征值问题 的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为 令令 2022/12/625第二十五页，本课件共有27页4.3.3 圆形薄盘上轴对称热传导问题圆形薄盘上轴对称热传导问题 设有半径为设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，圆的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为度分布为 ，其中，其中r为圆盘内任一点的极半径，为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。求圆盘内的瞬时温度分布规律。2022/12/626第二十六页，本课件共有27页令：2022/12/627第二十七页，本课件共有27页